многочлен »

задачи с многочленами - страница 5

  • 1. выполните на одз действия \( ( \frac{1}{X^2-3X} + \frac{1}{X} + \frac{1}{X-3} ) ^{-3} \)
    ЗАПИШИТЕ В стандартном виде многочлен Q(X), корни которого равны обратным значениям корней многочленов P(X) = 3X^2+X-15


    Решение: Если $$ P(x)=3x^2+x-15\\ 3x^2+x-15=0\\ D=1+4*3*15=\sqrt{181}^2\\ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{181}}{6}\\ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{181}}{6} $$
    тогда обратным к этим же корня будет корни 
    $$ y_{1}=\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}}\\ y_{2}=\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}}\\ $$
    тогда многочлен Q(x) представится 
    $$ Q(x)=(y-\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}})(y-\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}})\\ y=x\\ Q(x)=(x-\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{181}}{6}})(x-\frac{1}{\frac{-1-\sqrt{181}}{6}})\\ Q(x)=(x+\frac{6}{1-\sqrt{181}})(x+\frac{6}{1+\sqrt{181}})=\frac{15x^2-x-3}{3}\\ Q(x)=5x^2-\frac{x}{3}-1 \\ ОДЗ: х = 0, х = 3 \\ 1) (1/х(х-3)+1/х+1/х-3)^-3=((1+х_3+х)/х(х-3))^-3=\\=((2х-2)/х(х-3))^-3=x^3(x-3)^3/8(x-1)^3 \\ 2) 3x^2+х-15=0 \\ D=181 \\ x1=(\sqrt{181}-1)/6  \\ 1/x_1=6/(\sqrt{181}-1) -X1 \\ x2=-(\sqrt{181} +1)/6  1/x2=-6/(\sqrt{181}+1)-X_2 $$ X_1 и X_2 корни многочлена $$ Q(X) p=X_1+X_2=6/(\sqrt{181}-1-6/(\sqrt{181}+1)=\\=(6\sqrt{181}+6-6\sqrt{181} +6)/181-1=12/180=1/15 \\ q=X_1 \cdot X_2=6/(\sqrt{181}-1\cdot -6/(\sqrt{181}+1)=-36/180=-1/5 \\ Q(X)=X^2-pX+q=X^2-1/15X-1/5 $$ или 15Х^2-X-3

  • Найдите все многочлены вида f(x)=x^3+ax^2+(a+b)x+b+1, имеющие целые корни и удовлетворяющие условию 2a+ b=-2.


    Решение: $$ b=-2-2a $$
     $$ f(x) = x^3+ax^2+(-2-a)x-2a-1 $$
     Подставим x=-1 , получим 0, значит корень будет в любом случае равен x= -1 
     $$ (x-1)( x^2+x(a-1)-2a-1) = 0 \\ x^2+x(a-1)-2a-1 = 0 \\ D=a^2+6a+5 = (a+1)(a+5) $$ 
     то есть при $$ a= -5 $$
     Ответ существуют при $$ a= -1;-5 \\ b=0 ; 8 $$
     

  • Найдите значения параметра a, при котором многочлен имеет ровно три корня 3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a) Поподробнее объяснение если можно.


    Решение: 3(x+5)(x-7)(x+1)(x-a)= 0

    Если решать это уравнение, то получится 4 корня:

    х = -5,

    х = 7,

    х = -1

    х = а

    Чтобы корней было три, нужно, чтобы параметр а был бы равен одному из числовых корней, т. е. а = -5; -1; 7

    Пусть, например, а = -5, тогда

    3(x+5)(x-7)(x+1)(x+5) = 3(x+5)²(x-7)(x+1)

    очевидно, что корней 3:

    х = -5,

    х = 7,

    х = -1

    Ответ: а = -5; -1; 7

  • Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:
    а) x^6-5x^3+7
    б) x^4-x+2


    Решение: То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
    а) $$ x^6-5x^3+7 $$
    Делаем замену: x^3=y;
    $$ y^2-5y+7=0; $$
    Находим дискриминант:
    $$ y^2-5y+7=0;\\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3; $$
    Т. к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
    б) $$ x^4-x+2=0; $$
    Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
    $$ x^4-x+2=0;\\ x^4-x=-2; $$
    Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.

  • Решить. Составить многочлен с дейстьвительными коэффициентамти, корнями которого являются числа -2+i, 1+3i


    Решение: Если уравнение имеет корень 
    $$ x=-2+i $$ то он имеет сопряженный корень, так как при нем он имеет многочлен с целыми коэффициентами
    $$ x=-i-2 $$ 
    и того многочлен 
    $$ (x-(i-2))(x-(-i-2))=x^2+4x+5 $$
    но теперь второй корень 
    $$ x=1+3i\\ $$ сопряженный корень 
    $$ x=-3i+1\\\\ (x-3i-1)(x+3i-1)=x^2-2x+10 $$
    и того уравнение
    $$ (x^2+4x+5)(x^2-2x+10)=0\\ x^4+2x^3+7x^2+30x+50=0 $$

<< < 345 6 7 > >>