многочлен »
задачи с многочленами - страница 6
Доказать теорему о том, что многочлен в степени n не может иметь более n корней
Решение: Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем k — это элемент (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия: Данный многочлен делится на многочлен ; подстановка элемента c вместо x обращает уравнение в тождество. Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы. Говорят, что корень имеет кратность, если рассматриваемый многочлен делится на и не делится на Например, многочлен имеет единственный корень, равный кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.Многочлен 24у в квадрате, +10у - 25 разложили на множители. Какие многочлены являются этими множителями?
4у-5
4у+5
6у-5
6у+5
Решение: Есть формула разложения квадратного уравнения на множители: а(х-х1)(х-х2).
Находим корни уравнения у1=-5/4 и у2=5/6. Применяем формулу:
24(у+5/4)(у-5/6). Расписывает 24, как произведение: 6*4 и вносим по множителю в скобку( 6 вносим во вторую, чтобы сократилась дробь, 4 в первую): (4у+5)(6у-5)
Многочлен P(x) степени не выше 2 таков, что
Р(1)=6, Р(2)=15, Р(3)=28
Найдите Р(х). В ответе укажите Р(-2)
Решение: Пусть P(x) = ах² + bх + c
Тогда
Р(1) = а + b + c = 6
Р(2)= 4а + 2b + c = 15
Р(3)= 9а + 3b + c = 28
Получили систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
а + b + c = 6 => c = 6 - а - b
4а + 2b + c = 15 4а + 2b + 6 - а - b = 15
9а + 3b + c = 28 9а + 3b + 6 - а - b = 28
3а + b = 9 | * -2
8а + 2b = 22
-6а + -2b = - 18
8а + 2b = 22 (складываем уравнения почленно)
_____________________
2а = 4
a = 2
3а + b = 9
3*2 + b = 9
b = 9 - 6
b = 3
c = 6 - а - b = c = 6 - 2 - 3 = 6 - 5 = 1
c = 1
Итак P(x) = 2х² + 3х + 1
Р(-2) = 2*(-2)² + 3(-2) + 1 = 2*4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
Ответ: 3
Многочлены. Сложение и вычитание миогочленов 1. Найдите значение выражения 1,5 * 6^2 - 2^3
2. Представьте в виде степени выражение:
\(x^8\cdot x^2 \\ \frac{x^8}{x^2} \\ (x^8)^2 \\ \frac{(x^4)^5\cdot x^2}{x^{12}}\) Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
1) -За^2 Ь^4 * -Зa^2 Ь^5; 2) (-4a^2b^6)^3
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение (5х^2 + 6х - 3)-(2х^2 - Зх - 4).
....
Решение: Задание 1.
1,5 * 6² - 2³ = 1,5 * 36 - 8 = 54 - 8 = 46.
Задание 2.
1) х⁸ * х² = х¹⁰
2) х⁸ : х² = х⁶
3) (х⁸)² = х¹⁶
4) (х⁴)⁵ * х² / х¹² = х²⁰ * х² / х¹² = х²² / х¹² = х¹⁰.
Задание 3.
1) - 3а²b⁴ * 3a² * b⁵ = - 9a⁴b⁹
2) (- 4a²b⁶)³ = - 64a⁶b¹⁸
Задание 4.
(5x² + 6x - 3) - (2x² - 3x - 4) = 5x² + 6x - 3 - 2x² + 3x + 4 = 3x² + 9x + 1
Задание 5.
1) 4⁶ * 2⁹ / 32⁴ = (2²)⁶ * 2⁹ / (2⁵)⁴ = 2¹² * 2⁹ / 2²⁰ = 2²¹ / 2²⁰ = 2
2) (2 2/3)⁵ * (3/8)⁶ = (8/3)⁵ * (3/8)⁶ = 1⁵ * 3/8 = 3/8
Задание 6.
125a⁶b³ * (- 0,2a³b⁴)³ = 125a⁶b³ * (- 0,008a⁹b¹²) = - a¹⁵b¹⁵
Задание 7.
Обозначим требуемый многочлен за х.
(5a³ - 2ab + 6b) - x = 4a³ + 8b
x = (5a³ - 2ab + 6b) - (4a³ + 8b)
x = 5a³ - 2ab + 6b - 4a³ - 8b
x = a³ - 2ab - 2b
Задание 8.
(3n + 16) - (6 - 2n) = 3n + 16 - 6 + 2n = 5n + 10 = 5 (n + 2), а это выражение кратно 5.Многочлены
Докажите что при всех целых m значения выражения
(m+7)(m+5)-m(m-2)
делится на 7
Решение: (m+7)(m+5)-m(m-2)= преобразуем выражение выполнив умножение = m^2+5m+7m+35-m^2+2m= приводим подобные члены = 14m+35= выносим общий множитель и получаем выражение тождественное данному = 7(2m+5) - один из множителей произведения (7) делится на 7, значит и все произведение делится на 7. Так как выражения тождественны, то и первое выражение делится на 7.
