логарифм »

логарифмическое уравнение

  • Срочно решите логарифмические уравнения: a)\( \log_2(x-4)=3\); b) \(\log_2x + \log_2(x-3)=2 \)


    Решение:
    а) (х-4)=9, х = 13
    б) log х * (х-3) = 2
    log х^2 - 3x = 2
    х^2 - 3x = 1
    х^2 - 3x -1=0

    $$ log_{2} (x-4)= 3 \\ log_{2} (x-4)= log_{2} 2^{3} \\ (x-4)= 2^{3} \\ x-4= 8 \\ x= 8+4 \\ x= 12 \\ log_{2} x + log_{2} ( x-3) = 2 \\ log_{2}( x*( x-3)) = log_{2} 2^{2} \\ x*( x-3) = 2^{2} \\ x^{2} -3x = 4 \\ x^{2} -3x - 4=0 $$
    Подбором по формулам Виета
    $$ x_{1} =4 \\ x_{2} =-1 $$

  • Решить логарифмические уравнения:
    1) log2(x-5)-log2(2x+5)=3log2 2
    2)lg^(2)x-lgx-6=0 (подстановка log2x=y)
    3)2^x+2^(x-2)+2^(x-3)=11\\4 <-(дробь)
    4)9*3^2x-28*3^x+3=0 (подстановка 3^x=y)


    Решение: 1. log2(x-5)\(2x+5)=log2 8
    (x-5)\2x+5)=8
    x-5=16x+40
    15x=-45
    x=-3
    2. lgx=t
    t^2-t-6=0 t1=3, t2=-2
    lgx=3 lgx=-2
    x1=1000 x2=0,01
    3. 2^x+(2^x)\4+(2^x)\8=11\4 умножаем все уравнение на 8 и подставляем вместо 2^x=t
    8t+2t+t=22
    11t=22
    t=2
    2^x=2
    x=1
    4. 9y^2-28y+3=0
    y1=1\9 3^x=1\9
      x1=-2
    y2=3 3^x=3
      x2=1

  • Решить логарифмические уравнения: 4) \(\log_{27}(3x^2+4x-4)=\frac{1}{3}\)
    5) \( \log_5 x - \lg x = \log_{100} 16 \)


    Решение: 4) log₂₇(3x²+4x-4)=1/3
    одз:3x²+4x-4>0
    3x²+4x-4=0
    x1=-2 x2=2/3
      + - +
    //////////////////////////(-2)-(2/3)//////////////////////////
    x∈(-∞;-2)∪(2/3;-∞)
    log₂₇(3x²+4x-4)=log₂₇(27^(1/3))
    (3x²+4x-4)=3
    3x²+4x-7=0
    D=16-4·3(-7)=16+84=100
    x1=(-4-10)/6=-7/3 ∈ (-∞;-2)∪(2/3;-∞)
    x2=(-4+10)/6=1 ∈ (-∞;-2)∪(2/3;-∞)
    5) log₅x-lgx=log₁₀₀16
    одз: x>0
    (lgx)/lg5=(lg16)/2
    lgx=lg5·(lg16)/2
    lgx=lg5·(lg4)
    x=5^(lg4)

  • Решить логарифмические уравнения : 1) \(\log_{\frac{1}{2}}(3x-1)=\log_{\frac{1}{2}}(6x+8) \)
    2) \(\log_2(3x+1) \log_3 x=\log_3 x \)
    3) \( \log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2 \)
    4) \(\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5 \)
    5) \( \log_3^2x+7\log_3 x +10 =0 \)


    Решение: 1.3x-1=6x+8, 3x-6x=8+1,3x=9, x=9/(-3)=-3
    При х=-3 log₀,₅(3x-1) не имеет смысла.
    Ответ: нет корней 
    2.log₂(3x+1)·log₂x-log₂x=0,  log₂x ( log₂(3x+1)-1)=0, log₂x=0, x₁=2⁰=1
     log₂(3x+1)-1=0,  log₂(3x+1)=1, 3x+1=2¹, 3x+1=2, 3x=2-1, 3x=1, x₂=1/3.
    3.(x-2)(x+6)=3², x²+4x-12-9=0, x²+4x-21=0, D=16-4*(-21)=16+84=100
    √D=10, x₁=(-4+10)/2=3, x₂=(-4-10)/2=-7 не является корнем, т. к. при х=-7
    log₃(x+6) не имеет смысла, как  log₃(x-2)
      Ответ: х=3
    4. (3х-1)/(х+5)=5, 3х-1=5(х-5), 3х-1=5х+25, 3х-5х=25+1,2х=26, х= -13-не подходит по смыслу.
    Ответ: нет корней
    5. По определению логарифма имеем: х²-7=2, х²=9, х₁=-3, х₂=3
    Ответ: -3 и 3
     

  • Решите логарифмические уравнения: 1) \(\log_3 x=2-\log_{\frac{1}{3}}2 \)
    2) \(\log_{\frac{1}{2}}x -\log_2 x =2\)
    3) \( 3\cdot\log_5^2 x +\log_5 x=4 \)
    4) \(\log_3 \log_2(x+3) =1 \)
    5) \(\log_{\frac{1}{2}}x +\log_{\frac{1}{2}}(x+1)=1 \)


    Решение: 1
    x>0
    log(3)x=2+log(3)2
    log(3)x=log(3)18
    x=18
    2
    x>0
    -log(2)x-log(2)x=2
    -2log(20x=2
    log(20x=-1
    x=0,5
    3
    x>0
    log(5)x=a
    3a²+a-4=0
    D=1+48=49
    a1=(-1-7)/6=-4/3⇒log(5)x=-4/3⇒1/5∛5
    a2=(-1+7)/6=1⇒log(50x=1⇒x=5
    4
    x>-3
    log(3)log(2)(x+3)=1
    log(2)(x+3)=3
    x+3=8
    x=5
    5
    x>-1
    log(1/2)(x²+x)=1
    x²+x=0,5
    2x²+2x-1=0
    D=4+8=12
    x1=(-2-2√3)/4=-0,5(1+√3) не удов усл
    x2=0,5(√3-1)

  • 5. Решите уравнение \( 25^{2x-x^2}-5^{2x-x^2}=20 \)
    6. Решите уравнение \(\lg(x^2-3)\cdot\lg x =0\)
    7. Найдите значение x, при котором числа \(\log_2(x-3) \) и \(\log_2(x+21) - \log_2 x \) равны.
    8. Определите абсциссу общей точки графика функции \( y=\log_{x+1}(3x+3) \) и прямой y=2


    Решение: 5. 25^(2x - x^2) - 5^(2x - x^2) = 20
    5^(2x - x^2) = t
    t > 0
    t^2 - t - 20 = 0
    t1+t2 = 1
    t1*t2 =-20
    t1 = 5, t2 = -4 - не подходит
    5^(2x - x^2) = 5
    2x - x^2 = 1
    x^2 - 2x + 1 = 0
    x1 + x2 = 2;
    x1 * x 2 = 1
    x1 = 1, x2 = 1
    Ответ: x = 1;
    6. lg(x^2 - 3) *lg(x) = 0
    x > 0
    x^2 - 3 > 0
    x > sqrt(3)
    Произведение двух чисел равно нулю только когда одно из них или оба сразу равны нулю.
    lg(x^2 - 3) = 0
    lg(x) = 0
    Оба уравнения решений не имеют, т. к. нет такой степени, возведение в которую превращало бы число в ноль.
    Ответ: решений нет.
    7. log2(x - 3) = log2(x + 21)  - log2(x)
    x - 3 > 0
    x + 21 > 0 
    x > 0
    x > 3
    log2(x - 3) = log2((x + 21)/x))
    x - 3 = (x + 21)/x
    x^2 - 3x = x + 21
    x^2 -4x - 21 = 0
    x1 + x2 = 4
    x1 * x2 = -21
    x1 = 7, x2 = -3 - не подходит по ОДЗ.
    Ответ: х = 7
    8. log(x+1)(3x + 3) = 2
    3x + 3 > 0
    x + 1 > 0
    x + 1 != 1
    x > -1, x != 0
    log(x+1)(3) + log(x+1)(x+1) = 2
    log(x+1)(3) = 1
    x + 1 = 3
    x = 2
    Ответ: x = 2

  • Решить логарифмические уравнения 9. \( \frac{\log_2(9-2^x)}{3-x}=1 \)
    10. \(\lg(5-x) -\frac{1}{3}\lg(35-x^3) =0 \)


    Решение: 9)
    ОДЗ: x≠3
    $$ 9-2^x\ > \ 0 \\ -2^x\ > \ -9 \\ 2^x\ < \ 9 \\ \\ log _{2}(9-2^x)=3-x \\ \\ \\ 9-2^x=2^{3-x} \\ \\ 9-2^x-2^{3-x}=0 \\ \\ 9-2^x- \frac{8}{2^x}=0 \\ \\ y=2^x \\ \\ 9-y- \frac{8}{y}=0 \\ \\ 9y-y^2-8=0 \\ y^2-9y+8=0 \\ D=81-32=49 \\ y_{1}= \frac{9-7}{2}=1 \\ \\ y_{2}= \frac{9+7}{2}=8 $$
    При у=1
    $$ 2^x=1 \\ x=0 $$
    При у=8
    $$ 2^x=8 \\ x=3 $$
    не подходит по ОДЗ.
    Ответ: 0
    10)
    ОДЗ: 5-x>0
      -x>-5
      x<5
    35-x³>0
    -x³> -35
    x³ < 35
    x<∛35
    x<3.27
    В итоге ОДЗ: x∈(-∞; ∛35)
    $$ lg(5-x)-lg(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }=0 \\ \\ lg \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=10^0 \\ \\ \frac{5-x}{(35-x^3)^{ \frac{1}{3} }}=1 \\ \\ 5-x=(35-x^3)^{ \frac{1}{3} } \\ (5-x)^3=35-x^3 \\ 125-75x+15x^2-x^3-35+x^3=0 \\ 15x^2-75x+90=0 \\ x^2-5x+6=0 \\ D=25-24=1 \\ x_{1}= \frac{5-1}{2}=2 \\ \\ x_{2}= \frac{5+1}{2}=3 $$
    Ответ: 2; 3.

  • Решить логарифмические уравнения. 1) \(\log_4\frac{1}{x^2} +\log_4\sqrt x=-3 \)
    2) \(\lg10x\cdot\lg0,1x=3 \)
    3) \(\log_{0,5}(2x-3)-\frac{1}{2}\log_{0,5}(2x+3)=0 \)
    4) \(\log_2(x^2-3x+10)=3 \)
    5) \( \log_3^2 x-\log_3 x =2 \)


    Решение: 1) log(4,1/x^2) представим как -2log(4,x), log(4,^/x) как 1/2 log(4,x). ответ 16
    2) представим lg10x как сумму lg10+lgx, а lg0,1x как lg0,1+lgx. Ответ: x1=100, x2=0,01
    3)log(0,5,2x-3)-1/2*log(0,5,2x+3)=0
    -log(2,2x-3)+1/2*log(2,2x+3)=0 вносим во второй логарифм 1/2, получаем корень квадратный
    2х-3=^\/2x+3|
    при 2x+3>0 2x+3=2x-3 не имеет смысла
    при 2x+3<0 4x=0 x=0
    4) приравняем значение под знаком log восьми(ибо 2^3=8 по опред-ю). решаем кв. уравнение(х1=2 х2=1)
    5) введём t=log(3,x). решаем кв. уравнение относительно t(то бите t^2-t-2=0) ответ х1=-2 х2=1

  • Решить логарифмические уравнения: 1) \( \log_{0,3}(-x^2+5x+7)=\log_{0,3}(10x-7) \)
    2) \(\log_2(x^2+x-1)=\log_2(-x+7) \)
    3) \(\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31) \)


    Решение: Если в уравнениях основания логарифмов равны, то их можно опускать.

    1)$$ log_{0,3}(-x^{2}+5x+7)=log_{0,3}(10x+7) \\ -x^{2}+5x+7-10x-7=0 \\ -x^{2}-5x=0 \\ -x(x+5)=0 \\ x_1=0,x_2=-5 $$

    2) Логарифмы опускаем,

    $$ x^{2}+x-1=-x+7 \\ x^{2}+x-1+x-7=0 \\ x^{2}+2x-8=0 \\ D=4+32=6^{2} \\ x_1=\frac{-2+6}{2}=2, x_2=-4 $$ 3)$$ -x^{2}+4x+5=-x-31 \\ -x^{2}+4x+5+x+31=0 \\ -x^{2}+5x+36=0 \\ D=25+4 \cdot36=169=13^{2} \\ x_1=\frac{-5+13}{-2}=-4, x_2=9 $$

    ОдЗ: то что в скобках логарифма должно быть больше 0

    Если в уравнениях основания логарифмов равны, то их можно опускать.

    1)

    ОД3  10x+7>0

    -x^2+5x+7>0

    не удовлетворяет одз

    ответ х=0

    2) Логарифмы опускаем,

    одз x^2+x-1>0

    x<7

    оба корня удовлетворяют одз

    3) одз -x^2+4x+5>0 <=>x>-1 x<5

      x<-31

    тут нет решений так как в одз не входит ни одно число

    P.S Решение выше неверное, там не учитывалось одз

  • Решить логарифмические уравнения \( log_4(x+2)^2-2log_\frac{1}{4}(x+2)=8 \)
    \( (log_3(x-1)^2-2)lg(4-x)=0 \)
    \( 3^{log^2_{3}x}+x^{log_3x}=162 \)


    Решение: 1)$$ log_4(x+2)^2-2log_\frac{1}{4}(x+2)=8 \\ 2log_4(x+2) + 2log_4(x+2)=8\\4log_4(x+2)=8\\log_4(x+2)=2\\x+2=4^2\\x=14 $$
    Ответ: 14
    2)$$ (log_3(x-1)^2-2)lg(4-x)=0\\2(log_3(x-1)-1)lg(4-x) $$
    доп. условие
    1$$ log_3(x-1)=1 $$ или $$ lg(4-x)=0 \\ x-1=3 $$ или $$ 4-x=1 \\ x=4 $$ или $$ x=3 \\ x=4 $$ не подходит по доп. условию
    Ответ: 3
    3)$$ 3^{log^2_{3}x}+x^{log_3x}=162 \\ 3^{log_3x*log_3x}+x^{log_3x}=162\\x^{log_3x}+x^{log_3x}=162\\x^{log_3x}=81\\x^{log_3x}=x^{log_x81}\\log_3x=log_x3^4\\log_3x=4\frac{1}{log_3x}\\log^2_3x=4 \\ log_3x=2 $$ и $$ log_3x=-2 \\ x=9 $$ и $$ x=\frac{1}{9} $$
    1/9 не подходит...
    Ответ: 9

1 2 3 > >>