логарифмически

Решить логарифмические системы:
1) \( \left \{ {{ x^{2} + y^{2} =5} \atop { log_{2}x+ log_{2} y=1 }} \right. \)
2) \( \left \{ {{ x^{2} - y^{2}=12 } \atop { log_{2}x- log_{2}y=1 }} \right. \)
3) \( \left \{ {{ x^{2} + y^{2}=25 } \atop { lgx+lgy=lg12}} \right. \)
4) \( \left \{ {{ log_{0,5} + log_{0,5}=-1 } \atop {x-2y=3}} \right. \)

X²+y²=5  (2/y)²+y²=5   4+y⁴=5y²  y⁴-5y²+4=0
log₂x+log₂y=1    log₂xy=log₂2    xy=2    x=2/y
y²=t   ⇒
t²-5t+4=0   D=9
t₁=1   y₁=1   x₁=2    y₂=-1    x₂=-2
t₂=4   y₃=2   x₃=1    y₄=-2    x₄=-1.
Остальные системы решаются аналогично.

Решить логарифм: \( \log_7(4x^2-18x+13) - \log_7(2x-8)=0 \)

log7 (4x^2 - 18x + 13) = log7 (2x - 8);

т. к. логарифмы по одному основанию, то их можно убрать.

4x^2 - 18x + 13 = 2x - 8;

4x^2 - 20x + 21 = 8;

Решаем как обычное квадратное.

x1 = 1.5,  x2 = 3.5

Ответ B

Первое, что нужно делать - искать область допустимых значений (ОДЗ):
$$ \left \{ {{4x^2-18x+13\ > \ 0} \atop {2x-8\ > \ 0}} \right.; $$, первое неравенство квадратное, решаем методом интервалов с первоначальным разложением квадратного трёхчлена, находя его корни: $$ 4x^2-18x+13=0; D_1=9^2-4*13=29; x= \frac{9б \sqrt{29} }{4}; $$, $$ 4(x- \frac{9- \sqrt{29} }{4})(x- \frac{9+ \sqrt{29} }{4})\ > \ 0; \\ x\ > \ \frac{9+ \sqrt{29} }{4}; x\ < \ \frac{9- \sqrt{29} }{4}; $$. Из второго неравенства системы следует, что x > 4, то есть первый промежуток отбрасываем 100%, $$ \frac{9+ \sqrt{29} }{4}\ < 4; $$, из этого следует, что x>4 по ОДЗ.
Теперь решаем само уравнение: $$ log_7(4x^2-18x+13)=log_7(2x-8); 4x^2-18x+13=2x-8; \\ 4x^2-20x+21=0; D_1=10^2-4*21=16=4^2; x= \frac{10б4}{4}; \\ x=1,5; x=3,5 $$, оба решения не соответствуют ОДЗ, поэтому правильный ответ, где нет корней

Как сравнить логарифмические функции по их свойствам?
log2(5) и log2(3)?

Преобразование логарифмических выражений. Вычислить: \(100^{\lg\sqrt5}\); \(\log_{64}\frac{1}{16}\); \(10^{2-3\lg5}\)
Прологарифмировать выражение \(x=\frac{a^7}{c^3}\)
Найти x, если \(\lg x =2\lg3+3\lg2\)

Решения логарифмических неравенств
Log1/2X<Log1/2(2X+6)+2

  2) 2х+6˃0; х˃-3

  значит х принадлежит промежутку (0;+).

2. заменим 2 на log1/2(1/2)^2, тогда неравенство примет вид

log 1/2x< log1/2(2x+6)+log1/2(1/2)^2,

log1/2x< log1/2(2x+6)+log1/2(1/4), 

log 1/2x< log1/2[(2х+6)·(1/4)], 

так как основания log равны влевой и вправой части и 1/2 <1, то знак неравенство меняется на противоположный

х˃(2х+6)·(1/4), раскроем скобки в левой части

х˃1/2х+3/2,

х-1/2х˃3/2,

1/2х˃3/2,

х˃3,     хϵ(3;+∞)

Так как в одз хϵ(0;+∞), то общее решение хϵ(3;+∞)

Ответ: хϵ(3;+∞)

Уравнение логарифмическое \(\log_3^2(x-2)^3 + 2\log_3(x-2)^2=5\)

Решить логарифмические неравенства и равенства:
1.lg(x^2-2x)=lg30-1
2.log3(x^2+7x-5)>1

1
ОДЗ
x(x-2)>0
x=0  x=2
x∈(-∞;0) U (2;∞)
lg(x²-2x)=lg(30/10)
lg(x²-2x)=lg3
x²-2x=3
x²-2x-3=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=-1 U x2=3
2
log(3)(x²+7x-5)>1
{x²+7x-5>0  (1)
{x²+7x-5>3⇒x²+7x-8>0  (2)
1)D=49+20=69
x1=(-7-√69)/2 U x2=(-7+√69)/2
x<(-7-√69)/2 U x>(-7+√69)/2
2)x1+x2=-7 U x1*x2=-8
x1=-8 U x2=1
x<-8 U x>1
x∈(-∞;-8) U (1;∞)

решение логарифмических неравенств: 2log12(√x+5 +1) < log12(x+10); (4x – 1) log2x≥0; 3log8(2x-1) – 2log0,25(x+2)≤0,5log√23

(√x+5 +1)*(√x+5 +1)< x+10

x+5 + 2(√x+5)+1 < x+10

(√x+5 )< 2

x+5 < 4

x< -1

учитывая ОДЗ  x> -10, x> -5

(-5; -1)

2) 4x -1=0,  x = 0,25

log x = 0, x = 1, x> 0

(0;0,25] [1; до бесконечности)

3) переходик к основанию 2

log2(2x-1) +log2(x+2)≤log2(3)

(2х-1)*(х+2)≤3

2х*х+3х -5 ≤ 0

[-2,5;1] учитывая ОДЗ х > 0,5, x > -2

(0,5;1]

Логарифмическое уравнение \( \lg(x^2-8) =\lg(2-9x) \)

логарифмические уравнения решить 1) log₇x =2; 2) log₅x = -3; 3) \(\log_{\frac{1}{8}}(x-4)=-1\) 4) log₂ (x² - 2x) = 0; 5) log₀.₅ (x³ + 1) = -1; 6) log₃.₂(2-x) =log₃.₂(3x+6); 7) log₂(x-6)(x-8) = 3; 8) \( log_{ \sqrt{5} } (4x-6) - log_{ \sqrt{5} } 5 = log_{ \sqrt{5} } (2x-5) \)