интеграл »
определенный интеграл
Решить определённый интеграл: \( \int_0^2\ln(x^2+4)dx \)
Решение: Интегрируем по частям $$ \int \limits^b_a {u} \, dv = uv |^b_a - \int \limits^b_a {v} \, du \\ \\ u= \ln{(x^2+4)}; \ \ du=\frac{2x \, dx}{x^2+4} \\ \\ dv=1 \, dx; \ \ v= \int 1 \, dx=x \\ \\ \int\limits^2_0 {\ln{(x^2+4})} \, dx = x \cdot \ln{(x^2+4)}|^2_0 - \int \limits^2_0 {x \cdot \frac{2x}{x^2+4}} \, dx = \\ \\ =(2 \cdot \ln{(2^2+4}) - 0) - 2\int \limits^2_0 {\frac{x^2}{x^2+4}} \, dx =2 \ln{8} - 2\int \limits^2_0 {\frac{(x^2+4)-4}{x^2+4}} \, dx = \\ \\ \\ =2 \ln{8} - 2 \cdot (\int \limits^2_0 {1} \, dx - \int \limits^2_0 {\frac{4}{x^2+4}} \, dx)= \ln{8}^2 - 2 \cdot (x|^2_0 -4 \int \limits^2_0 {\frac{1}{x^2+2^2}} \, dx)=\\ \\ = \ln64 - 2 \cdot (x - 4 \cdot \frac{1}{2} arctg \, \frac{x}{2})|^2_0 = \ln 64 - 2 \cdot (2 -2arctg\,1 - 0+0)=\\ \\ =\ln64 - 4 +4 \cdot \frac{\pi}{4}=\ln 64 -4 + \pi $$
Найти определенный интеграл \(\int\limits^6 _{2\sqrt {3} } \frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9}} \)
Решение: Найти определенный интеграл $$ \int\limits^6 _{2\sqrt {3} } \frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } $$
Решение
В начале найдем неопределенный интеграл $$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } $$
Сделаем замену переменных $$ x= \frac{3}{cosy}; dx = (\frac{3}{cosy})’ = \frac{3siny}{cos^{2} y} = \frac{3tgy}{cosy} $$
Подставляем в интеграл
$$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } = \int\frac{ \frac{3tgy}{cosy}}{ \frac{9}{cos^{2}y } \sqrt{ \frac{9}{cos^{2}y}-9}} \,dy= \frac{1}{9} \int \frac{siny}{ \sqrt{\frac{sin^{2}y}{cos^{2}y} }} \, dy= \frac{1}{9} \int{cosy} \, dx= \\ = \frac{siny}{9} $$
Обратная замена переменных
$$ siny= \sqrt{1-cos^{2}} = \sqrt{1-( \frac{3}{x})^{2} }= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{x} $$
Поэтому можно записать
$$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } =\frac{siny}{9}= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{9x} $$
Подставляем выражение в определенный интеграл
$$ \int\limits^6_{2\sqrt {3} }\frac{dx}{ x^{2}\sqrt{ x^{2}-9} }= \frac{ \sqrt{ x^{2} -9}}{9x} \left[\begin{array}{cc}6\\2\sqrt{3}\end{array}\right]=\frac{\sqrt{6^2-9}}{54}-\frac{\sqrt{12-9}}{18 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}-\frac{1}{18}= \\ =\frac{\sqrt{3}-1}{18} $$
Решить определенный интеграл
Верхний предел \( \frac{ \pi }{2} \), а нижний \( - \frac{ \pi }{2} \).
Решение: $$ \int dx=\int 1dx=\int x^0dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}+C=x+C\\\\\int sin xdx =-cosx +C\\\\\int sin^2xdx=[sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}]=\int(\frac{1-cos2x}{2})dx=\\=\frac{1}{2}(\int(1-cos2x)dx)=\frac{1}{2}(\int1dx-\int cos2xdx)\\=[d(2x)=2dx\rightarrow dx=\frac{d(2x)}{2}]=\frac{1}{2}(x+C-\int cos2x\frac{d(2x)}{2})=\\=\frac{1}{2}(x+C-\frac{1}{2}\int cos2xd(2x))=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}sin2x+C \\.=a^2(\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}dx+2\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}sinxdx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}sin^2xdx)=\\=a^2((x)|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}+2(-cosx)|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}+(\frac{x}{2}-\frac{sin(2x)}{4})|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}})= \\ =a^2((\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}))-2(cos\frac{\pi}{2}-cos(-\frac{\pi}{2}))+\\+(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}-\frac{sin(2*\frac{\pi}{2})}{4})-(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}-\frac{sin(2*(-\frac{\pi}{2}))}{4}))=\\=a^2(\pi-2(0-0)+(\frac{\pi}{4}-\frac{0}{4})-(-\frac{\pi}{4}-\frac{0}{4}))=\\=a^2(\pi+\frac{\pi}{2})=\frac{3\pi a^2}{2} $$
Определенные интегралы,
1) Интеграл (сверху 1/2, снизу 1) x^3dx
2) Интеграл (сверху 1/2, снизу 1/3)
dx/x^2
3) Интеграл (сверху 8, снизу 1)
x^2/3 dx
4) Интеграл (сверху 27, снизу 8)
dx/x^2/3
Решение: $$ 1) \int\limits^{ \frac{1}{2} }_1 { x^{3} } \, dx =- \int\limits^1_{ \frac{1}{2} } { x^{3} } \, dx=- \frac{ x^{4} }{4} |^1_{ \frac{1}{2} }=-( \frac{1}{4} - \frac{1}{64} )=- \frac{15}{64} \\ 2) \int\limits^{ \frac{1}{2} }_{ \frac{1}{3} } { \frac{1}{ x^{2} } } \, dx = - \frac{1}{x}|^ { \frac{1}{2} }_{ \frac{1}{3}}=-(2-3)=1 \\ 3) \int\limits^{ 8 }_{ 1 } { x^{ \frac{2}{3} } } \, dx = \frac{ 3x^{ \frac{5}{3} } }{5} |^8_1= \frac{3*32}{5} - \frac{3}{5} = \frac{93}{5} \\ \\ 4) \int\limits^{ 27 }_{ 8} \frac{1}{ x^{ \frac{2}{3} } } \, dx = 3x^{ \frac{1}{3} } |^{27}_8=3 \sqrt[3]{x} |^{27}_8=9-6=3 $$
Решить определенный интеграл: \( \int\limits^3_0 { x^2 \sqrt{9-x^2} } \, dx \)
Решение: $$ \int _0^3\, x^2\sqrt{9-x^2}dx=[\, x=3sint,\, dx=3cost\, dt,\,\\\\ 9-x^2=9-9sin^2t=9(1-sin^2t)=9cos^2t,\; sint=\frac{x}{3},\; t=arcsin\frac{x}{3}\\\\x_1=0\; \to \; t_1=arcsin0=0,\; x_2=3 \; \to \; t_2=arcsin1=\frac{\pi}{2} ]=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{2}}9sin^2t\sqrt{9cos^2t}\cdot 3cost\, dt=\int _0^{\frac{\pi}{2}}\, 81sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\\\\=81\int _0^{\frac{\pi}{2}}(sint\cdot cost)^2dt=[\, sint\cdot cost=\frac{1}{2}sin2t\, ]=81\int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}sin^22t\, dt= \\ =\frac{81}{4}\int _0^{\frac{\pi}{2}}\, \frac{1-cos4t}{2}dt=\frac{81}{8}(t-\frac{1}{4}sin4t)|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{81}{8}(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{81}{16}\pi $$
