интеграл » определенный интеграл
  • Найти определенный интеграл \(\int\limits^6 _{2\sqrt {3} } \frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9}} \)


    Решение: Найти определенный интеграл $$ \int\limits^6 _{2\sqrt {3} } \frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } $$
    Решение
    В начале найдем неопределенный интеграл $$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } $$
    Сделаем замену переменных $$ x= \frac{3}{cosy}; dx = (\frac{3}{cosy})’ = \frac{3siny}{cos^{2} y} = \frac{3tgy}{cosy} $$
    Подставляем в интеграл
    $$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } = \int\frac{ \frac{3tgy}{cosy}}{ \frac{9}{cos^{2}y } \sqrt{ \frac{9}{cos^{2}y}-9}} \,dy= \frac{1}{9} \int \frac{siny}{ \sqrt{\frac{sin^{2}y}{cos^{2}y} }} \, dy= \frac{1}{9} \int{cosy} \, dx= \\ = \frac{siny}{9} $$
    Обратная замена переменных
    $$ siny= \sqrt{1-cos^{2}} = \sqrt{1-( \frac{3}{x})^{2} }= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{x} $$
    Поэтому можно записать
    $$ \int\frac{dx}{ x^{2} \sqrt{ x^{2} -9} } =\frac{siny}{9}= \frac{ \sqrt{x^{2}-9}}{9x} $$
    Подставляем выражение в определенный интеграл
    $$ \int\limits^6_{2\sqrt {3} }\frac{dx}{ x^{2}\sqrt{ x^{2}-9} }= \frac{ \sqrt{ x^{2} -9}}{9x} \left[\begin{array}{cc}6\\2\sqrt{3}\end{array}\right]=\frac{\sqrt{6^2-9}}{54}-\frac{\sqrt{12-9}}{18 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}-\frac{1}{18}= \\ =\frac{\sqrt{3}-1}{18} $$

  • Решить определенный интеграл
    Верхний предел \( \frac{ \pi }{2} \), а нижний \( - \frac{ \pi }{2} \).


    Решение: $$ \int dx=\int 1dx=\int x^0dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}+C=x+C\\\\\int sin xdx =-cosx +C\\\\\int sin^2xdx=[sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}]=\int(\frac{1-cos2x}{2})dx=\\=\frac{1}{2}(\int(1-cos2x)dx)=\frac{1}{2}(\int1dx-\int cos2xdx)\\=[d(2x)=2dx\rightarrow dx=\frac{d(2x)}{2}]=\frac{1}{2}(x+C-\int cos2x\frac{d(2x)}{2})=\\=\frac{1}{2}(x+C-\frac{1}{2}\int cos2xd(2x))=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}sin2x+C \\.=a^2(\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}dx+2\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}sinxdx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}sin^2xdx)=\\=a^2((x)|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}+2(-cosx)|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}+(\frac{x}{2}-\frac{sin(2x)}{4})|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}})= \\ =a^2((\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2}))-2(cos\frac{\pi}{2}-cos(-\frac{\pi}{2}))+\\+(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}-\frac{sin(2*\frac{\pi}{2})}{4})-(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}-\frac{sin(2*(-\frac{\pi}{2}))}{4}))=\\=a^2(\pi-2(0-0)+(\frac{\pi}{4}-\frac{0}{4})-(-\frac{\pi}{4}-\frac{0}{4}))=\\=a^2(\pi+\frac{\pi}{2})=\frac{3\pi a^2}{2} $$

  • Решить определенный интеграл: \( \int\limits^3_0 { x^2 \sqrt{9-x^2} } \, dx \)


    Решение: $$ \int _0^3\, x^2\sqrt{9-x^2}dx=[\, x=3sint,\, dx=3cost\, dt,\,\\\\ 9-x^2=9-9sin^2t=9(1-sin^2t)=9cos^2t,\; sint=\frac{x}{3},\; t=arcsin\frac{x}{3}\\\\x_1=0\; \to \; t_1=arcsin0=0,\; x_2=3 \; \to \; t_2=arcsin1=\frac{\pi}{2} ]=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{2}}9sin^2t\sqrt{9cos^2t}\cdot 3cost\, dt=\int _0^{\frac{\pi}{2}}\, 81sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\\\\=81\int _0^{\frac{\pi}{2}}(sint\cdot cost)^2dt=[\, sint\cdot cost=\frac{1}{2}sin2t\, ]=81\int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}sin^22t\, dt= \\ =\frac{81}{4}\int _0^{\frac{\pi}{2}}\, \frac{1-cos4t}{2}dt=\frac{81}{8}(t-\frac{1}{4}sin4t)|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{81}{8}(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{81}{16}\pi $$

  • Решить определенный интеграл \( \int\limits^2_0 {x} \, \frac{3( x^{2} +5x)}{38} \\ dx \)


    Решение: $$ \int\limits^2_0 {\frac{3( x^{2} +5x)}{38}} \, dx = \frac{3}{38} \int\limits^2_0 {(x^{2} +5x)} \, dx = \\ \\ = \frac{3}{38} ( \frac{x^3}{3} +5* \frac{x^2}{2} )|^2_0=\frac{3}{38}[(\frac{2^3}{3} +5* \frac{2^2}{2})-(\frac{0^3}{3} +5* \frac{0^2}{2})]= \\ \\ =\frac{3}{38}(\frac{8}{3} +10)=\frac{3}{38}(\frac{8+10*3}{3})=\frac{3}{38}*\frac{38}{3}=1 \\ \int\limits^2_0 {\frac{3x( x^{2} +5x)}{38}} \, dx = \frac{3}{38} \int\limits^2_0 {x(x^{2} +5x)} \, dx =\frac{3}{38} \int\limits^2_0 {(x^{3} +5x^2)} \, dx \\ \\ = \frac{3}{38} ( \frac{x^4}{4} +5* \frac{x^3}{3} )|^2_0=\frac{3}{38}[(\frac{2^4}{4} +5* \frac{2^3}{3})-(\frac{0^4}{4} +5* \frac{0^3}{3})]= \\ \\ =\frac{3}{38}(4 + \frac{40}{3})=\frac{3}{38}(\frac{4*3+40}{3})=\frac{3}{38}*\frac{52}{3}= \frac{52}{38} = \frac{26}{19} =1 \frac{7}{19} =1,368 $$

  • Найти определённый интеграл:
    1) \( \int\limits^ \frac{ \pi }{6} _0 {cos2x} \, dx \)
    2) \( \int\limits^0_{-3} {(3 x^{3}-4x+2) } \, dx \)


    Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0 \, cos2x\, dx =[\, t=2x\;,\; dt=2\, dx\;,\; dx= \frac{dt}{2}\;,t_1=0,\; t_2=\frac{\pi}{3}\, ]=\\\\=\int _0^{\frac{\pi}{3}}cost\cdot \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\cdot sint|_0^{\frac{\pi}{3}\, }=\frac{1}{2}\, (sin\frac{\pi}{3}-sin0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4} \\ \int\limits^0_{-3} {(3x^3-4x+2)dx} \, dx =\left (3\cdot \frac{x^4}{4}-4\cdot \frac{x^2}{2}+2x\right )|_{-3}^0\, =\\\\=\frac{3}{4}\cdot 81-2\cdot 9-6= \frac{243}{4} -24= \frac{147}{4} =36,75 $$

  • Решите определенный интеграл
    \( \int\limits^5_0 { \frac{dx}{2x+ \sqrt{3x+1} } } \)


    Решение: Замена √(3x+1) = t, 3x+1 = t^2, x = (t^2-1)/3, dx = 2t/3 dt, t(0) = 1, t(5) = 4
    Int(1, 4) 2t/3*1/(2*(t^2-1)/3 +t) dt = 2/3*3*Int(1, 4) t/(2t^2-2+3t) dt =
    По методу неопределенных коэффициентов разложим на сумму дробей
    t/[(t+2)(2t-1)] = A1/(t+2) + A2/(2t-1) = [A1*(2t-1) + A2*(t+2)]  /[(t+2)(2t-1)] =
    = [t*(2A1 + A2) + (-A1 + 2A2)] /[(t+2)(2t-1)]
    Система
    { 2A1 + A2 = 1
    { -A1 + 2A2 = 0
    { 2A1 + A2 = 1
    { -2A1 + 4A2 = 0
    Складываем уравнения
    5A2 = 1, A2 = 1/5, A1 = 2A2 = 2/5
    Интеграл
    2/3*3*Int(1, 4) t/(2t^2-2+3t) dt = 2*Int(1, 4) [2/5*1/(t+2) + 1/5*1/(2t+1)] dt =
    = 4/5*ln|t+2| + 2/5*1/2*ln|2t+1| |(1, 4) = 4/5*(ln 6 - ln 3) + 2/5*(ln 9 - ln 3) =
    = 4/5*ln 2 - 2/5*ln 3

  • Решить определенный интеграл (от -п/2 до п/2) ∫cos^3(x)/√sinxdx


    Решение: Под знаком интеграла раскладываете cos^3x=cos^2x*cosx

    cos^2x=1-sin^2x; cosxdx=d(sinx), и производим замену sinx=t

    получим интеграл ((1-t^2)/(√t))dt дальше пользуясь свойством суммы разложим на два интеграла

    1) ∫1/(корень из (t))dt

    2) ∫t^(3/2)dt

    оба интеграла табличные решаете их и возвращаетеся к sinx=t дальше просто значения границ определённого подставим и получим ответ)

  • Решите определенный интеграл
    \( \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{(5+2x+x^2)^3} } } \ \)


    Решение: X^2 + 2x + 5 = x^2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)^2 + 4
    Замена x+1 = 2*tg y, x = 2tg y - 1, dx = -2/cos^2 y dy = -2(1 + tg^2 y) dy
    √(x^2+2x+5)^3 = (4tg^2 y + 4)^(3/2) = 4^(3/2)*(1 + tg^2 y)^(3/2) = 8(1 + tg^2 y)^(3/2) 
    Int dx / √(x^2+2x+5)^3 = -2*Int (1 + tg^2 y) dy / (8(1 + tg^2 y)^(3/2)) =
    -1/4*Int dy / √(1 + tg^2 y) = -1/4*Int dy* √(cos^2 y) = -1/4* Int cos y dy = 
    = -1/4*sin y + C = -1/4*sin(arctg (x+1)/2) + C
     

  • Высчитать определенный интеграл \( \int\limits^{12\sqrt{3}}_0\frac{12x^5}{{\sqrt{x^6+1}}} \, dx \)


    Решение: Обозначим через u=x⁶+1 ⇒ du=6x⁵ dx ⇒ 12x⁵ dx=2 du

      12x⁵ dx du

     ∫ - = 2 ∫ - = 2 * 2√u+ C= 4√u+ C=4√(x⁶+1) +C 

      √(x⁶+1) √u

    Когда будем вычислять определённый интеграл, надо сделать двойную подстановку от 0 до 12√3, получим:

     ∫. = 4√(х⁶+1) |₀ = 4( √( 12⁶ *3³+1) - √( 0⁶+1) ) = 4(√(12⁶ *27+1) - 1) 

  • Найти определенный интеграл \( \int\limits^6_2 {(4x+1)/( \sqrt{2x-3} +7)} \, dx\\ \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {sin(2x- \pi /4)cosx} \, dx \)


    Решение: A
    t=√(2x-3)+7,dt=dx/√(2x-3)
    $$ \int\limits^6_2 {(4x+1)/( \sqrt{2x-3} +7)} \, dx = \int\limits {(2t^3+7t)/(t+7)} \, dt= $$
    2t³+7t |t+7
    2t³+14t²  2t²-14t+105
    -
       -14t²+7t
       -14t²-98t
       -
       105y
       105t+735
       -
    - 735 = $$ \int\limits {(2t^2-14t+105-735/(t+7)} \\ dt =2/3* \sqrt{(2x-3)^3} -7t^2+105t- \\ 735\ln( \sqrt{2x-3} +7)|6-2=2/3*1-7*9+105*3-735\ln10-2/3*1 \\ +7*1-105*1+735\ln8= 161 1/3+735\ln0,8 \\ sin(2x-\pi/4)*cosx=sin2x*cos\pi/4*cosx-cos2x*sin\pi/4*cosx=\\=√2/2*sin2xcosx-√2/2*cos2xcosx=√2/2*1/2*(sinx+sin3x-cosx-cos3x)=\\=√2/4*(sinx+sin3x-cosx-cos3x) \\ \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {sin(2x- \pi /4)cosx} \, dx = \\ \sqrt{2} /4* \int\limits^{ \pi /2}_{- \pi /2} {(sinx+sin3x-cosx-cos3x)} \, dx = \\ \sqrt{2} /4(-cosx-1/3*cos3x-sinx-1/3*sin3x)| \pi /2-(- \pi /2)= \\ \sqrt{2}/4*(-0-1/3*0-1+1/3*1 +0+1/3*0+1-1/3*1)= \\ \sqrt{2} /4*(-2)=- \sqrt{2} /2 $$

1 2 3 > >>