определенный интеграл - страница 6
Решить определенный интеграл \(\int\limits_0^1 \sqrt{1+3x^2}\, dx \)
Решение: $$ \int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\int \frac{1+3x^2}{\sqrt{1+3x^2}} dx=\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x^2}} +\int \frac{3x^2}{\sqrt{1+3x^2}} dx=I\\\\a)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{1+3x^2}}dx=[\, t=\sqrt3x\;,\; dt=\sqrt3\, dx\, ]=\frac{1}{\sqrt3}\int \frac{dt}{1+t^2}=\\\\=\frac{1}{\sqrt3}arctgt+C=\frac{1}{\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+C\\\\b)\int \frac{3x\cdot x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}=[\, u=x,\; du=dx\;,\; dv=\frac{3x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}\;,\; v=\int \frac{3x\, dx}{\sqrt{1+3x^2}}=\\\\=(t=1+3x^2,\; dt=6x\, dx)= \\ =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t}+C=\sqrt{1+3x^2}\, ]=x\cdot \sqrt{1+3x^2}-\int \sqrt{1+3x^2}\, dx;\\\\\\I=\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+x\cdot \sqrt{1+3x^2}-\int \sqrt{1+3x^2}\, dx\; \Rightarrow \\\\2\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{\sqrt3}arctg{\sqrt3x}+x\cdot \sqrt{1+3x^2}+2C\\\\\int \sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{2\sqrt3}arctg(\sqrt3x)+\frac{x}{2}\cdot \sqrt{1+3x^2}+C $$
$$ \int _0^1\sqrt{1+3x^2}\, dx=\frac{1}{2\sqrt3}arctg(\sqrt3x)|_0^1+ \ \frac{x}{2}\cdot \sqrt{1+3x^2}|_0^1= $$
$$ =\frac{1}{2\sqrt3}arctg\sqrt3+\frac{1}{2}\sqrt{4}=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot \frac{\pi}{3}+1=\frac{\pi \sqrt3}{18}+1 $$Тригонометрическая постановка
x=tgt/√3, тогда 1+x²=1+tg²t=1/cos²t
dx=dt/√3cos²t
если х=0 tgt=0 t=0
если x=1, значит tgt=√3, t=π/3
$$ \int\limits^1_0 { \sqrt{1+3x^2} } \, dx = \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx=[1=cos^2x+sin^2x]= \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{cos^2x+sin^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx \\ \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{cos^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2x}{ \sqrt{3}cos^3x } } \, dx= \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cosx } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2xcosx}{ \sqrt{3}cos^4x } } \, dx= \\ \\ =\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{1}{ \sqrt{3}cosx } } \, dx+\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { \frac{sin^2xd(sinx)}{ \sqrt{3}(1-sin^2x)^2 } } \, dx $$
Первый интеграл- есть в таблице, второй интеграл от дроби.
Или по формуле интегрирования по частям:
u=√(1+3x²); dv=dx
Решить определенный интеграл \( \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{x\cdot sinx}{cos^3x}} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0 {\frac{x\cdot sinx}{cos^3x}} \, dx =[\, u=x,\; du=dx,\; dv=\frac{sinx\, dx}{cos^3x}\;,\\\\v=\int \frac{sinx\, dx}{cos^3x}=[t=cosx,\; dt=-sinx\, dx\, ]=\\\\=-\int t^{-3}dt=-\frac{t^{-2}}{-2}=\frac{1}{2cos^2x}\, ]=uv-\int v\, du=\\\\=\frac{x}{2cos^2x}|_0^{\frac{\pi}{4}}-\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{2cos^2x}= \frac{\frac{\pi}{4}}{2cos^2\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{2}\cdot tgx|_0^{\frac{\pi}{4}}= $$
$$ =\frac{\pi }{8\cdot \frac{1}{2}} -\frac{1}{2}tg\frac{\pi}{4}= $$ $$ \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} $$решить определенный интеграл \( \int\limits^4_1(3\sqrt{x}+1)dx \)
Решение: $$ \int\limits^4_1(3\sqrt{x}+1)dx=\frac{2*3x^\frac{3}{2}}{3}+x=2\sqrt[2]{x^3}+x =\\= (2*\sqrt[2]{4^3}+4)-(2*\sqrt[2]{1^3}+1)=(2*8+4)-(2*1+1)=\\=20-3=17 $$Объясняю: корень из x - это x в степени 1/2, интегрируем по формуле x^n. т. е.
$$ \int{\sqrt{x}}dx=\int{x^\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{(1+\frac{1}{2})}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{2x^\frac{3}{2}}{3} $$
Множитель 3-ойка сокращается.
1 же интегрируем как x.
Решить определенный интеграл \( \int\limits^a_{-a} {(3x^2-a)} \, dx \)
Решение: найдем неопределенный интеграл. делаем замену 2х=t, dx=dt/2. интеграл J=1/2*int arccost*dt находим по частям, arccos=u, dt=dv, du=-dt/√(1-t^2), тогда J=uv-int v*du=t*arccost+int dt/√(1-t^2), в последнем интеграле делаем замену 1-t^2=y^2, dt=-y*dy/t, тогда int dt/√(1-t^2)=int dy=y+C, возвращаясь к t и x, окончательно имеем J=1/2[x*arccos2x-√(1-4x^2)]+C. пределы подставите сами/
$$ \int\limits^a_{-a} {(3x^2-a)} \, dx= \int\limits^a_{-a} {3x^2} \, dx- \int\limits^a_{-a} {a} \, dx= \\ 3 \frac{x^3}{3}|^{a}_{-a}-ax|^{a}_{-a}=(a^3-(-a)^3)-a(a-(-a))= \\ (a^3+a^3)-a*2a=2a^3-2a^2=2a^2(a-1) $$
РЕШИТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ \( \int _0^2(2^{x}-2^{\frac{x}{2}})dx \)
Решение: $$ \int _0^2(2^{x}-2^{\frac{x}{2}})dx=\int _0^22^{x}dx-\int _0^22^{\frac{x}{2}}dx=\frac{2^{x}}{ln2}|_0^2-2\int _0^22^{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}dx=\\\\=\frac{2^2}{ln2}-\frac{2^0}{ln2}-2\int _0^22^{\frac{x}{2}}\cdot d(\frac{x}{2})=\frac{4}{ln2}-\frac{1}{ln2}-2\cdot \frac{2^{\frac{x}{2}}}{ln2}|_0^2=\\\\=\frac{3}{ln2}-2(\frac{2}{ln2}-\frac{1}{ln2})=\frac{3}{ln2}-\frac{2}{ln2}=\frac{1}{ln2}\\\\\\\int 2^{ \frac{x}{2}}\cdot d(\frac{x}{2})=\int 2^t\cdot dt=\frac{2^{t}}{ln2}+C=\frac{2^{\frac{x}{2}}}{ln2}+C $$
