интеграл »
определенный интеграл - страница 7
Решите определенный интеграл \( \int\limits_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi}\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right)\mathrm{d}x \)
Решение: Определенные интегралы считаем по формуле Ньютона-Лейбница: $$ \int\limits_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Bigl.\Phi\Bigl|_a^b \\ \int\limits_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi}\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \right)\mathrm{d}x = \int\limits_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi}\cos \frac{x}{2} \mathrm{d}x -\int\limits_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi}\sin \frac{x}{2} \mathrm{d}x = \\ = 2\sin \frac{x}{2} \\Bigl|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} - (-2\cos \frac{x}{2})\Bigl|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} = 2(\sin \frac{x}{2})\Bigl|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} + \cos \frac{x}{2})\Bigl|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi})= \\ = 2 (\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{4})=2(1-\frac{\sqrt{2}}{2} + 0-\frac{\sqrt{2}}{2})= \\= 2 - 2\sqrt{2} $$
Решите определенный интеграл \( a) \; \int\limits_{-1}^2(x+3x^2+4x^3)dx\\ \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}}(sinx+\frac{2}{cos^2x})dx \)
2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой e=x^2 -x-6 и осью Ox
Решение: 1.a)
$$ \int\limits^{2}_{-1} {x+3 x^{2} +4x^{3}} \, dx = (\frac{1}{2}x^{2}+x^{3}+x^{4}) |=2+8+16-(\frac{1}{2}-1+1)= \\ =26-\frac{1}{2}=25\frac{1}{2} $$
1. б)
$$ =(-cosx+2tgx)|=-cos( \pi /3)+2tg( \pi /3)-cos0-2tg0= \ - \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} -1-0=2\sqrt{3}-1 \frac{1}{2} $$
2.
$$ \int\limits^{3}_{-2} {(x^{2} -x-6)} \, dx =( \frac{1}{3}x^{3}- \frac{1}{2} x^{2} -6x) |=9-4.5-18-( \frac{-8}{3}- 2+12 ) $$
Решите определенный интеграл \( \int\limits_0^1(2х²+5х)dx \)
Решение: =2х²+5х| с 0 по 1 = 2·(1)²+5·1-0=7Наша функция: f(x)=5+4x
Вычислим первообразную (интеграл) для нашей функции (константу, возникающую при интегрировании, здесь не учитываем):
F(x)=∫f(x)dx=∫5+4x dx= 5x+2x^2
В итоге получили: F(x)=5x+2x^2
По теореме Ньютона-Лейбница определенный интеграл можно представить как:
b b
∫f(x)dx=F(x) | = F(b)-F(a)
a a
Подставляем:
1 1
∫5+4x dx=(5x+2x^2)| = (5+2)-0=7
0 0Найти определенный интеграл \( \int\limits^2_1 {\frac{x^2-1}{2x}} \, dx \)
Решение: Сначала рассмотрим неопределенный интеграл. Разобьем его на два интеграла:$$ F(x)=\int{\frac{x^2-1}{2x}}\, dx=\int{\frac{x^2}{2x}}\, dx-\int{\frac{1}{2x}}\, dx=\int{\frac{x}{2}}\, dx-\int{\frac{1}{2x}}\, dx= $$
$$ \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}ln|x|+C $$.
Подставим пределы интегрирования. Сначала верхний (х=2):
F(2)=0.25*4-0.5ln2=1-0.5ln2.
Затем нижний (х=1):
F(1)=0.25*1-0.5ln1=0.25
Подводим итог:
$$ \int\limits^2_1 {\frac{x^2-1}{2x}} \, dx=F(2)-F(1)=1-0.5ln2-0.25=0.75-0.5ln2 $$
Решить определенный интеграл \( \int\limits_0^3 \frac{1}{x^2+3x-4} \, dx \)
Решение: Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $$ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)=\left.{F }\right|_{ a }^{ b } $$
Выразим в знаменателе полный квадрат для формулы: $$ \int {\frac{1}{x^2 - a^2}} \, dx = \frac{1}{2a} \cdot \ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+C $$
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке $$ x=1 \\ \lim_{\varepsilon \to 0+} [ \int\limits^{1-\varepsilon}_0 {\frac{1}{x^2+3x-4}} \, dx + \int\limits^3_{1+\varepsilon}{\frac{1}{x^2+3x-4}} \, dx $$ = I
Решим неопределенный интеграл:
$$ \int \frac{1}{x^2+3x-4} \, dx = \int \frac{1}{(x^2+2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x+(\frac{3}{2})^2)-\frac{9}{4}-4} \, dx = \int \frac{1}{(x+\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \, dx= \\ =\int \frac{1}{(x+\frac{3}{2})^2-(\frac{5}{2})^2} \, dx = \frac{1}{2 \cdot \frac{5}{2}} \cdot \ln|\frac{x+\frac{3}{2}-\frac{5}{2}}{x+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}}|+C=\frac{1}{5} \cdot \ln|\frac{x-1}{x+4}|+C \\ I =\frac{1}{5} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0+} (\ln|\frac{x-1}{x+4}|_{ 0 }^{1-\varepsilon } + \ln|\frac{x-1}{x+4}|_{ 1+\varepsilon }^{3 })= \\ =\frac{1}{5} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0+} (\ln|\frac{1-\varepsilon-1}{1-\varepsilon+4}|- \ln{|\frac{-1}{4}|+\ln|\frac{2}{7}|- \ln|\frac{1+\varepsilon-1}{1+\varepsilon+4}|)= \\ =\frac{1}{5} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0+} (\ln|\frac{-\varepsilon}{5-\varepsilon}|+\ln|\frac{8}{7}|- \ln|\frac{\varepsilon}{5+\varepsilon}|)=\\ \frac{1}{5} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0+} \ln\frac{8 \cdot (5+\varepsilon)}{7 \cdot(5-\varepsilon)}= \\ =\boxed{ \frac{1}{5} \cdot \ln\frac{8}{7}}} $$
