интеграл »
неопределенный интеграл
Вычислить неопределенный интеграл:
1.\( \int\limits \frac{ e^{x} \, dx}{ \sqrt{2+ e^{x} } } \)
2.\( \int\limits \frac{ (x+1) \, dx}{ \sqrt{ x^{2} +x+ 1 } } \)
Решение: Для начала нужно вспомнить что такое дифференциал. Дифференциал от одной переменной, это тоже самое что и производная по этой переменной умноженная на dx.$$ d(f(x))=(f(x))’_xdx $$
$$ \int\frac{e^xdx}{\sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdx\rightarrow dx=\frac{d(2+e^x)}{e^x}]=\\=\int\frac{e^x}{\sqrt{2+e^x}}*\frac{d(2+e^x)}{e^x}=\int(2+e^x)^{-\frac{1}{2}}d(2+e^x)=\\=\frac{(2+e^x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{2+e^x}+C \\ \int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}})dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx $$
Посчитаем интегралы отдельно.
$$ \frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dx\rightarrow dx=\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\int (x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^2+x+1)=\\=\frac{1}{2}*\frac{(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\sqrt{x^2+x+1}+C $$
Для этого интеграла вспомним такую формулу:
$$ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C $$
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
$$ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=[d(x+\frac{1}{2})=dx]=\frac{1}{2}\int\frac{d(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=\frac{1}{2}*ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C $$
В итоге получаем интеграл:
$$.=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\\=\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C $$
Решите неопределенный интеграл: \( 1)\int 3^{8x+1}\, dx=\\ 4)\; \int \frac{x^4+x^3+2x}{x^3+x^2+x+1} dx \)
Решение: $$ 1)\int 3^{8x+1}\, dx=[\, t=8x+1,\; dt=8\, dx\, ]=\frac{1}{8}\int 3^{t}dt=\\\\=\frac{1}{8}\cdot \frac{3^{t}}{ln3}+ C=\frac{3^{8x+1}}{8\cdot ln3}+C \\ 4)\; \int \frac{x^4+x^3+2x}{x^3+x^2+x+1} dx=\int (x+\frac{-x^2+x}{x^3+x^2+x+1} )dx=\\=\frac{x^2}{2}+\int \frac{-x(x+1)}{x^2(x+1)+(x+1)} dx=\\\\=\frac{x^2}{2}+\int \frac{-x(x+1)}{(x+1)(x^2+1)}\\ dx=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{x^2+1}=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\\=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot ln (x^2+1)+C\\\\Mozno:\; \; \; t=x^2+1\;,\; \; dt=2x\, dx\;. $$Найти неопределенный интеграл: интеграл(х+2)^4 dx
Решение: Есть несколько способов вычислить этот интеграл. Метод #1 пусть u=x+2u=x+2. Тогда пусть du=dxdu=dx и подставим dudu:∫u4du∫u4du Интеграл unun есть un+1n+1un+1n+1:∫u4du=u55∫u4du=u55 Если сейчас заменить uu ещё в:15(x+2)515(x+2)5 Метод #2 Перепишите подынтегральное выражение:(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16 Интегрируем почленно: Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x4dx=x55∫x4dx=x55 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫8x3dx=8∫x3dx∫8x3dx=8∫x3dx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x3dx=x44∫x3dx=x44 Таким образом, результат будет: 2x42x4 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫24x2dx=24∫x2dx∫24x2dx=24∫x2dx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x2dx=x33∫x2dx=x33 Таким образом, результат будет: 8x38x3 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫32xdx=32∫xdx∫32xdx=32∫xdx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫xdx=x22∫xdx=x22 Таким образом, результат будет: 16x216x2 Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:∫16dx=16x∫16dx=16x Результат есть: x55+2x4+8x3+16x2+16xx55+2x4+8x3+16x2+16x Теперь упростить:15(x+2)515(x+2)5 Добавляем постоянную интегрирования:15(x+2)5+constant15(x+2)5+constantОтвет:
15(x+2)5+constant
Помогитерешить неопределенный интеграл 1/(х-1)*(x^2+1)
Решение: $$ I=\int \frac{dx}{(x-1)(x^2+1)} $$
Представим подинтегральное выражение в виде суммы дробей с разными более простыми знаменателями. Используем метод неопр. коэф-тов.
$$ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x^2+1} \\ \\ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{ax^2+a+bx^2-bx+cx-c}{(x-1)(x^2+1)} \\ \\ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{(a+b)x^2+(c-b)x+(a-c)}{(x-1)(x^2+1)} =\ > \ \begin{cases} a+b=0 \\ c-b=0 \\ a-c=1 \end{cases} \\ \begin{cases} a=-b \\ c=b \\ a= \frac{1}{2} \end{cases} =\ > \ \begin{cases} a= \frac{1}{2} \\ b=- \frac{1}{2} \\ c= -\frac{1}{2} \end{cases} $$
Теперь:
$$ I=\int \dfrac{dx}{(x-1)(x^2+1)}=\int \dfrac{ \frac{1}{2} }{x-1}dx + \int \dfrac{- \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} }{x^2+1}dx= \\ =\frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x-1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ xdx}{x^2+1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x^2+1} = \\ =\frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x-1} - \frac{1}{4} \int \dfrac{ d(x^2+1)}{x^2+1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x^2+1} = \\= - \frac{1}{2} ln|x-1|- \frac{1}{4}ln(x^2+1)- \frac{1}{2}arctg\ x+C $$Вычислить неопределенный интеграл.
1) ∫ (4х - 1/х^5 - корень 6 степени из х) dx;
2) ∫ dx/ х^2+10;
3) ∫ dx/ корень из 49 - x^2;
4) ∫ dx/ 3-x^2;
5) ∫ dx/ x^9;
6) ∫ (9^x + 9/sin^2x) dx;
Решение: $$ \int (4x - 1/x^5 - \sqrt[6]{x})dx = \int(4x-x^{-5}-x^{1/6})dx = \\ =2x^2+x^{-4}/4 +6x^{7/6}/7 + C \\ \int \frac{dx}{x^2+10} = \frac{1}{10}\int\frac{dx}{1+(x/\sqrt{10})^2} = \\ =\frac{\sqrt{10}}{10}\int\frac{d(x/\sqrt{10})}{1+(x/\sqrt{10})^2} = \frac{1}{\sqrt{10}}\arctan(\frac{x}{\sqrt{10}})+C \\ \int \frac{dx}{49-x^2} = \frac{1}{49}\int\frac{dx}{1-(x/7)^2} = \\ =\frac{7}{49}\int\frac{d(x/7)}{1-(x/7)^2} = \frac{1}{14}\ln\left|\frac{x/7+1}{x/7-1}\right| + C $$
Аналогично предыдущему
$$ \int \frac{dx}{3-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x/\sqrt{3}+1}{x/\sqrt{3}-1}\right| + C \\ \int \frac{dx}{x^9} = \frac{-8}{x^8} + C \\ \int (9^x+\frac{9}{\sin^2{2x}})dx = \frac{9^x}{\ln 9} + 4.5\int\frac{d(2x)}{\sin^2{2x}} = \\=9^x/\ln 9 -4.5\cot(2x) $$
