интеграл »
неопределенный интеграл
Вычислить неопределенный интеграл:
1.\( \int\limits \frac{ e^{x} \, dx}{ \sqrt{2+ e^{x} } } \)
2.\( \int\limits \frac{ (x+1) \, dx}{ \sqrt{ x^{2} +x+ 1 } } \)
Решение: Для начала нужно вспомнить что такое дифференциал. Дифференциал от одной переменной, это тоже самое что и производная по этой переменной умноженная на dx.$$ d(f(x))=(f(x))’_xdx $$
$$ \int\frac{e^xdx}{\sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdx\rightarrow dx=\frac{d(2+e^x)}{e^x}]=\\=\int\frac{e^x}{\sqrt{2+e^x}}*\frac{d(2+e^x)}{e^x}=\int(2+e^x)^{-\frac{1}{2}}d(2+e^x)=\\=\frac{(2+e^x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{2+e^x}+C \\ \int\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}})dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx $$
Посчитаем интегралы отдельно.
$$ \frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dx\rightarrow dx=\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]=\\=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=\frac{1}{2}\int (x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}d(x^2+x+1)=\\=\frac{1}{2}*\frac{(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\sqrt{x^2+x+1}+C $$
Для этого интеграла вспомним такую формулу:
$$ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C $$
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
$$ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=[d(x+\frac{1}{2})=dx]=\frac{1}{2}\int\frac{d(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}=\\=\frac{1}{2}*ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C $$
В итоге получаем интеграл:
$$.=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx=\\=\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{2}ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}|+C $$
Решите неопределенный интеграл: \( 1)\int 3^{8x+1}\, dx=\\ 4)\; \int \frac{x^4+x^3+2x}{x^3+x^2+x+1} dx \)
Решение: $$ 1)\int 3^{8x+1}\, dx=[\, t=8x+1,\; dt=8\, dx\, ]=\frac{1}{8}\int 3^{t}dt=\\\\=\frac{1}{8}\cdot \frac{3^{t}}{ln3}+ C=\frac{3^{8x+1}}{8\cdot ln3}+C \\ 4)\; \int \frac{x^4+x^3+2x}{x^3+x^2+x+1} dx=\int (x+\frac{-x^2+x}{x^3+x^2+x+1} )dx=\\=\frac{x^2}{2}+\int \frac{-x(x+1)}{x^2(x+1)+(x+1)} dx=\\\\=\frac{x^2}{2}+\int \frac{-x(x+1)}{(x+1)(x^2+1)}\\ dx=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{x^2+1}=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\\=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot ln (x^2+1)+C\\\\Mozno:\; \; \; t=x^2+1\;,\; \; dt=2x\, dx\;. $$Найти неопределенный интеграл: интеграл(х+2)^4 dx
Решение: Есть несколько способов вычислить этот интеграл. Метод #1 пусть u=x+2u=x+2. Тогда пусть du=dxdu=dx и подставим dudu:∫u4du∫u4du Интеграл unun есть un+1n+1un+1n+1:∫u4du=u55∫u4du=u55 Если сейчас заменить uu ещё в:15(x+2)515(x+2)5 Метод #2 Перепишите подынтегральное выражение:(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16 Интегрируем почленно: Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x4dx=x55∫x4dx=x55 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫8x3dx=8∫x3dx∫8x3dx=8∫x3dx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x3dx=x44∫x3dx=x44 Таким образом, результат будет: 2x42x4 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫24x2dx=24∫x2dx∫24x2dx=24∫x2dx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫x2dx=x33∫x2dx=x33 Таким образом, результат будет: 8x38x3 Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:∫32xdx=32∫xdx∫32xdx=32∫xdx Интеграл xnxn есть xn+1n+1xn+1n+1:∫xdx=x22∫xdx=x22 Таким образом, результат будет: 16x216x2 Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:∫16dx=16x∫16dx=16x Результат есть: x55+2x4+8x3+16x2+16xx55+2x4+8x3+16x2+16x Теперь упростить:15(x+2)515(x+2)5 Добавляем постоянную интегрирования:15(x+2)5+constant15(x+2)5+constantОтвет:
15(x+2)5+constant
Помогитерешить неопределенный интеграл 1/(х-1)*(x^2+1)
Решение: $$ I=\int \frac{dx}{(x-1)(x^2+1)} $$
Представим подинтегральное выражение в виде суммы дробей с разными более простыми знаменателями. Используем метод неопр. коэф-тов.
$$ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{bx+c}{x^2+1} \\ \\ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{ax^2+a+bx^2-bx+cx-c}{(x-1)(x^2+1)} \\ \\ \dfrac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{(a+b)x^2+(c-b)x+(a-c)}{(x-1)(x^2+1)} =\ > \ \begin{cases} a+b=0 \\ c-b=0 \\ a-c=1 \end{cases} \\ \begin{cases} a=-b \\ c=b \\ a= \frac{1}{2} \end{cases} =\ > \ \begin{cases} a= \frac{1}{2} \\ b=- \frac{1}{2} \\ c= -\frac{1}{2} \end{cases} $$
Теперь:
$$ I=\int \dfrac{dx}{(x-1)(x^2+1)}=\int \dfrac{ \frac{1}{2} }{x-1}dx + \int \dfrac{- \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} }{x^2+1}dx= \\ =\frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x-1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ xdx}{x^2+1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x^2+1} = \\ =\frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x-1} - \frac{1}{4} \int \dfrac{ d(x^2+1)}{x^2+1} - \frac{1}{2} \int \dfrac{ dx}{x^2+1} = \\= - \frac{1}{2} ln|x-1|- \frac{1}{4}ln(x^2+1)- \frac{1}{2}arctg\ x+C $$Вычислить неопределенный интеграл.
1) ∫ (4х - 1/х^5 - корень 6 степени из х) dx;
2) ∫ dx/ х^2+10;
3) ∫ dx/ корень из 49 - x^2;
4) ∫ dx/ 3-x^2;
5) ∫ dx/ x^9;
6) ∫ (9^x + 9/sin^2x) dx;
Решение: $$ \int (4x - 1/x^5 - \sqrt[6]{x})dx = \int(4x-x^{-5}-x^{1/6})dx = \\ =2x^2+x^{-4}/4 +6x^{7/6}/7 + C \\ \int \frac{dx}{x^2+10} = \frac{1}{10}\int\frac{dx}{1+(x/\sqrt{10})^2} = \\ =\frac{\sqrt{10}}{10}\int\frac{d(x/\sqrt{10})}{1+(x/\sqrt{10})^2} = \frac{1}{\sqrt{10}}\arctan(\frac{x}{\sqrt{10}})+C \\ \int \frac{dx}{49-x^2} = \frac{1}{49}\int\frac{dx}{1-(x/7)^2} = \\ =\frac{7}{49}\int\frac{d(x/7)}{1-(x/7)^2} = \frac{1}{14}\ln\left|\frac{x/7+1}{x/7-1}\right| + C $$
Аналогично предыдущему
$$ \int \frac{dx}{3-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left|\frac{x/\sqrt{3}+1}{x/\sqrt{3}-1}\right| + C \\ \int \frac{dx}{x^9} = \frac{-8}{x^8} + C \\ \int (9^x+\frac{9}{\sin^2{2x}})dx = \frac{9^x}{\ln 9} + 4.5\int\frac{d(2x)}{\sin^2{2x}} = \\=9^x/\ln 9 -4.5\cot(2x) $$
Интеграл ( 1+ x5) в степени 7 dx
Интеграл sin в квадрате х умножить на cosX dx
на и неопределенный интеграл
Решение: Всё это решается через первообразной.
В первом функция составная
$$ \int\limits {(1+x^5)^7} \, dx= \int\limits {(x^{35}+7x^{30}+21x^{25}+35x^{20}+35x^{15}+21x^{10}+7x^5+1)} \, dx= \\ = \frac{x^{36}}{36} + \frac{7x^{31}}{31}+ \frac{21x^{26}}{26}+ \frac{5x^{21}}{3} + \frac{35x^{16}}{16} + \frac{21x^{11}}{11}+ \frac{7x^6}{6}+x+C \\ \int\limits {\sin^2x\cdot \cos x} \, dx = \int\limits {(1-\cos^2x)\cos x} \, dx = \frac{\sin^3x}{3} +C $$
Вычислить неопределённый интеграл методом неопределенных коэффициентов, подробно.
13/(х^2+4)(x+3)dx
Решение: 13/((x^2 + 4)(x+3))
Убеждаемся, что знаменатель разложить на более "мелкие" множители мы уже не можем:
x^2 + 4 =0 - корней нет, значит, разложить на множители не получится
(A*x + B)/(x^2 + 4) + C/(x+3) = 13/((x^2 + 4)(x+3)) - представляем нашу дробь в виде суммы таких дробей. Приводим к более наглядному виду:
(А*x^2 + 3A*x + B*x + 3B + C*x^2 + 4C) = 13. Знаменатели опустил, т. к. они одинаковые и очевидные.
Составляем простенькую систему уравнений, приравнивая коэффициенты перед соответствующими степенями:
A + C = 0
3A + B = 0
3B + 4C = 13
A = - C
B = -3A = 3C
9C + 4C = 13
C = 1
A =-1
B =3
Т. о. исходный интеграл свели к сумме двух интегралов:
S (3-x)/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3)dx
При этом первый можно разбить еще на два:
S 3/(x^2 + 4) dx - S x/(x^2 + 4) dx + S 1/(x + 3) dx
S 3/(x^2 + 4) dx = (3/2)*arctg(x/2) + C - табличный интеграл
S 1/(x + 3) dx = ln(x + 3) + c - табличный
S x/(x^2 + 4) dx = 1/2 *S 1/(x^2 + 4) d(x^2 + 4) = 0.5 * ln(x^2 + 4) + c - аналогично предыдущему.
Ответ: (3/2)*arctg(x/2) + ln(x + 3) + (1/2)* ln(x^2 + 4) + cНайти неопределенные интегралы и правильность полученных результатов проверить дифференцированием 1) интеграл (x+12)dx/x^2-x-6 2) интеграл arctg 4x dx Решить подробно)
Решение: x dx 1 2x dx 1 d(7+x²) 1 ∫ -= - ∫- =- ∫ - =- ln(7+x²)+C 7+x² 2 7+x² 2 7+x² 2 [1/2 *ln(7+x²)+C ]¹= 1/2*[ 2x /(7+x²)+0]= x /(7+x²) x+18 (x-2)+20 1 2(x-2) dx 2) ∫-dx=∫ - dx= - ∫- dx+20 ∫ - = x²-4x-12 (x-2)²-16 2 (x-2)²-16 (x-2)²-16 1 1 | x-2-4 | 1 5 | x-6 | =- *ln|(x-2)²-16|+20 *- *ln |-| +C= - *ln |x²-4x-12|+-*ln |-| +C 2 2*8 | x-2+4 | 2 4 | x+2 | 3) ∫(3-x) cosx dx=[ u=3-x, du=-dx, dv=cosx dx, v=sinx ] =(3-x)sinx+∫ sinx dx= =(3-x)sinx-cosx+C [(3-x)sinx-cosx]¹= -sinx+(3-x)cosx+sinx +0=(3-x)cosx
найдите неопределенные интегралы. правильность полученных результатов проверьте дефференцированием. а) интеграл(x^4-1/2х-4)dx
б) интергал х^2 под корнем 3х-7dx
Решение: $$ \frac{1}{2} \int\limits { \frac{ x^{4} -1}{x-2} } \, dx $$
если поделить многочлен на многочлен, то получим
$$ \frac{ x^{4} -1}{x-2} = x^{3} +2 x^{2} +4x +8 + \frac{15}{x-2} $$
если проинтегрировать каждое слагаемое,
то получим: $$ \frac{1}{2} ( \frac{ x^{4} }{4}+ \frac{2 x^{3} }{3} + \frac{4 x^{2} }{2} +8x+15ln|x-2|) +C $$
Проверить можно, взяв производную полученного выражения
б) $$ \int\limits { x^{2} \sqrt{3x7} } \, dx = \left[\begin{array}{ccc}3x-7 =t&3dx= dt\\x= \frac{t+7}{3}& dx= \frac{1}{3} dt\end{array}\right] $$=
$$ \frac{1}{3} * \frac{1}{9} \int\ {(t+7) ^{2}t } \, dt = \frac{1}{27} \int\ {(t ^{3} +14 t^{2}+7t) } \, dt $$=
=$$ \frac{1}{27} ( \frac{ t^{4} }{4} + \frac{14 t^{3} }{3} + \frac{7 t^{2} }{2}) +C= $$
=$$ \frac{(3x-7) ^{2} }{108} + \frac{14(3x-7) ^{ \frac{3}{2} } }{81} + \frac{7(3x-7)}{54} +C $$Найти неопределённый интеграл: xdx/3x^2+8
Решение: $$ \int\limits { \frac{x}{3 x^{2} +8} } \, dx =* \\ \\ u=3 x^{2} +8; \\ \frac{du}{6} =x dx==\ > \ \\ \\ \frac{1}{6} \int\limits { \frac{du}{u} } \, = \frac{1}{6} lnu==\ > \ \\ \\ *=\frac{1}{6} ln(3 x^{2} +8)+C $$
