интеграл »
неопределенный интеграл - страница 2
Решить неопределенный интеграл∫ dx/(3x^2+2x-1)
Решение: $$ \int\frac{dx}{3x^2+2x-1}=\int\frac{dx}{3(x+1)(x-\frac{1}{3})}=\int\frac{dx}{(x+1)(3x-1)}=\\\\=[\frac{1}{(x+1)(3x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{3x-1}=\frac{A(3x-1)+B(x+1)}{(x+1)(3x-1)}\Rightarrow \\\Rightarrow1=A(3x-1)+B(x+1)\\x=-1:\ \ \ \ 1=A(3*(-1)-1)+B*0\rightarrow A=-\frac{1}{4}\\x=\frac{1}{3}:\ \ \ \ \ \ 1=A*0+B(\frac{1}{3}+1)\rightarrow B=\frac{3}{4}\\\frac{1}{(x+1)(3x-1)}=\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}+\frac{\frac{3}{4}}{3x-1}=\frac{3}{4(3x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}]= \\ \\\\\int(\frac{3}{4*3(x-\frac{1}{3})}-\frac{1}{4(x+1)})dx=\frac{1}{4}\int\frac{1}{x-\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}=\\=\frac{1}{4}ln|x-\frac{1}{3}|-\frac{1}{4}ln|x+1|+C $$
Решить неопределенный интеграл.
(x^3+x)/(x^4+1) dx
Решение: $$ \int\limits {\frac{x^3 + x}{x^4+1}} \, dx = \int\limits {\frac{x^3}{x^4+1}} \, dx + \int\limits {\frac{x}{x^4+1}} \, dx $$ $$ = \frac{1}{4} \int\limits {\frac{dx^4}{x^4+1}} + \frac{1}{2} \int\limits {\frac{dx^2}{x^4+1}} = \frac{1}{4} ln(x^4+1) + \frac{1}{2} arctg (x^2) + C $$
Здесь использовались замены $$ d(x^4) = 4 x^3 dx, d(x^2) = 2x dx $$
И табличные интегралы $$ \int\limits {\frac{1}{y+1}} \, dx = ln|y + 1| + C \\ \int\limits {\frac{1}{y^2+1}} \, dx = arctg(y) + C $$
найти неопределенный интеграл по частям
интеграл 3xlnxdx
Решение: Решение:
Основная формула:
$$ \int udv = uv-\int vdu $$
Тройку как константу мы можем вынести за знак интеграла:
$$ \int 3xlnxdx = 3\int xlnxdx $$
Вводим обозначения:
$$ u = ln x => du = \frac{dx}{x} \\ dv = xdx => v = \frac{x^2}{2} $$
Теперь подставляем в формулу:
$$ \int 3xlnxdx = 3(\frac{x^2lnx}{2}-\int \frac{x^2dx}{2x}) = \\ 3(\frac{x^2lnx}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2dx}{x}) = 3(\frac{x^2lnx}{2}-\frac{1}{2}\int xdx) = \\ = 3(\frac{x^2lnx}{2}-\frac{x^2}{4}+C) $$
Здравствуйте, найти неопределенный интеграл пользуясь методом разложения по частям. интеграл (x-3)e^(-2x)dx
Решение: $$ \int (x-3)e^{-2x}dx=- \frac{1}{2} \int (x-3)d(e^{-2x})=- \frac{1}{2}(x-3)e^{-2x}+\\ \\ +\frac{1}{2} \int e^{-2x} d(x-3) = - \frac{1}{2}(x-3)e^{-2x}+\frac{1}{2} \int e^{-2x} dx=\\ \\ = - \frac{1}{2}(x-3)e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x} +C= -\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{3}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x} +C = \\ \\ = -\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{5}{4}e^{-2x} +C $$$$ \int\ {(x-3)e^{-2x}} \, dx = \int\ {xe^{-2x}} \, dx-3 \int\ {e^{-2x}} \, dx = \\ =(- \frac{x}{2}e^{-2x}+ \frac{1}{2} \int\ {e^{-2x}} \, dx ) -3 \int\ {e^{-2x}} \, dx = \\ =- \frac{x}{2}e^{-2x}- \frac{5}{2} \int\ {e^{-2x}} \, dx = =- \frac{x}{2}e^{-2x}- \frac{5}{2}*(- \frac{1}{2}e^{-2x})= \\ = \frac{5}{4}e^{-2x}- \frac{x}{2}e^{-2x}+C $$
Задание 6.
Исследовать функцию и построить ее график.
y= x - 3x^2
Задание 7.
Найти неопределенный интеграл.
∫cosx*sin^3 xdx
Решение: $$ 7.\; \; \int cosx\cdot sin^3x\, dx=[\, t=sinx,\; dt=cosx\, dx\, ]=\int t^3\, dt=\\\\=\frac{t^4}{4}+C=\frac{sin^4x}{4}+C\\\\6.\; \; y=x-3x^2\\\\y’=1-6x=0,\; x=\frac{1}{6},\; \\\\+++(\frac{1}{6})-\\\\x_{max}=\frac{1}{6},\; y_{max}=\frac{1}{6}-3\cdot (\frac{1}{6})^2=\frac{1}{6}-\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\\\\y’’=-6e 0 \; -\; net\; tochek\; peregiba $$
Асимптот нет.
График - парабола.
Пересечение с осью ОХ : $$ x-3x^2=0 $$.
$$ x(1-3x)=0\\\\x_1=0,\; x_2=\frac{1}{3}\\\\(0,0),\; (\frac{1}{3},0) $$
Найдите неопределенный интеграл
∫(x^2-3)^4*xdx
Решение: Решение:
Проведем замену.
$$ x^2-3=t $$
Тогда
$$ d(x^2-3) = dt \\ 2xdx = dt \\ xdx = \frac{dt}{2} $$
А значит,
$$ \int(x^2-3)^4xdx=\frac{1}{2}\int t^4dt=\frac{1}{2}*\frac{t^5}{5} + C $$
Возвращаясь к замене,
$$ \frac{1}{2} * \frac{t^5}{5} + C = \frac{1}{2} * \frac{(x^2-3)^5}{5} + C $$
Ответ: $$ \int (x^2-3)^4xdx = \frac{(x^2-3)^5}{10} + C $$
Найти неопределенный интеграл
∫xdx/(x^3+4)
Решение: $$ \int \frac{x\, dx}{x^3+4}=\int (\frac{A}{x+\sqrt[3]4}+\frac{Bx+C}{x^2-\sqrt[3]4x+\sqrt[3]{16}})dx=I\\\\x=A(x^2-\sqrt[3]4x+\sqrt[3]{16})+(Bx+C)(x+\sqrt[3]4)\\\\x=-\sqrt[3]4\; \to \; A=\frac{x}{x^2-\sqrt[3]4x+\sqrt[3]{16}}=\frac{-\sqrt[3]4}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{16}}=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\\\\x^2\, |\; 0=A+B\;,\; \; B=-A=\frac{1}{3\sqrt[3]4}\\\\x^0\, |\; 0=\sqrt[3]{16}\cdot A+\sqrt[3]4\cdot C\;,\; \; C=-\frac{\sqrt[3]{16}A}{\sqrt[3]4}=\frac{1}{3} \\ I=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{dx}{x+\sqrt[3]4}+\int \frac{\frac{1}{3\sqrt[3]4}x+\frac{1}{3}}{x^2-\sqrt[3]4x+\sqrt[3]{16}}dx=\\\\=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\cdot ln|x+\sqrt[3]4|+\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{x+\sqrt[3]4}{(x-\frac{\sqrt[3]4}{2})^2-\frac{\sqrt[3]{16}}{4}+\sqrt[3]{16}}dx=\\\\=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\cdot ln|x+\sqrt[3]4|+\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{x+\sqrt[3]4}{(x-\frac{1}{\sqrt[3]2})^2+\frac{3}{\sqrt[3]4}}dx= \\ =[\, t=x-\frac{1}{\sqrt[3]2}\, ]= \\ =-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\cdot ln|x+\sqrt[3]4|+\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{t+\frac{1}{\sqrt[3]2}+\sqrt[3]4}{t^2+\frac{3}{\sqrt[3]4}}dt=\\\\=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\cdot ln|x+\sqrt[3]4|+\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{t\, dt}{t^2+\frac{3}{\sqrt[3]4}}+\\\\+\frac{1}{3\sqrt[3]4}\int \frac{\frac{8}{\sqrt[3]2}}{t^2+\frac{3}{\sqrt[3]4}}dt=-\frac{1}{3\sqrt[3]4}\cdot ln|x+\sqrt[3]4|+\frac{1}{6\sqrt[3]4}\cdot ln|t^2+\frac{3}{\sqrt[3]4}|+\\\\+\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt[3]2}{\sqrt3}arctg\frac{\sqrt[3]2\cdot t}{\sqrt3}+C\;,\; \; t=x-\frac{1}{\sqrt[3]2} $$
Вычеслите неопределенный интеграл | (4-3x)^7 dx
Решение: Есть подозрение, что тут надо сделать замену переменной. Если засунуть под дифференциал 4, ничего не изменится. х надо умножить на -3, а чтобы ничего не изменилось - всё разделить на -3. Получаем : было dx стало d(4-3x)/(-3);
Получили интеграл (-1/3)*|(4-3x)^7 d(4-3x), где | означает интеграл. Заменяем переменную 4-3x=y и получим: (-1/3)*|y^7 dy; что легко берётся.(1/3)*(1/8)y^8;
Возвращаем переменную х обратной заменой и окончательно получаем:
-(1/24)*(4-3x)^8
как-то.Найти неопределенный интеграл:
1) знак интеграла (3x-2)^2dx
2) знак интеграла (2-x)^4-17x^9+корень из 2)dx
Решение: 1) I. $$ \int {(3x-2)^2} \, dx = \int {9x^2-12x+4} \, dx = 9\int {x^24} \, dx - 12\int {x} \, dx +\\+ 4\int\ {} \, dx = 9\cdot \frac{x^3}{3} - 12\cdot\frac{x^2}{2} + 4x = 3x^3 - 6x^2 + 4x + C, $$
II. $$ \int {(3x-2)^2} \, dx = \frac{1}{3}\int {(3x-2)^2} \, d(3x-2) = \frac{1}{9}(3x-2)^3+C $$
2) $$ \int {(2-x)^4-17x^9+\sqrt{2}} \, dx = -\int {(2-x)^4} \, d(2-x) - 17\int {x^9} \, dx +\\+ \sqrt{2}\int {} \, dx = -\frac{1}{5}(2-x)^5 - \frac{17}{10} x^{10} + x \sqrt{2} = 0,2(x-2)^5 - 1,7x^{10} + x \sqrt{2}+C $$
$$ 1) \int\limits {(9x^2-12x+4)} \, dx =3x^3-6x^2+4x+C \\ 2) \int\limits {(16-32x+24x^2-8x^3+x^4-17x^9+ \sqrt{2}) } \, dx =16x-16x^2+8x^3 \\ -2x^4+x^5/5-17 x^{10}/10+x \sqrt{2} +C $$
Найти неопределенный интеграл, желательно по частям.
(3x-7)*cos2x dx
Решение: $$ ∫(3x-7) × cos2x dx $$
замена \([U= 3x-7; du=3dx; dv=cos2x dx; V= \frac{1}{2}sin2x]\)
тогда получаем:
$$ (3x-7) × \frac{1}{2}sin2x \\ - ∫\frac{1}{2}sin2x*3dx =\\= \frac{(3x-7)*sin2x}{2} - \frac{3}{2} \\∫ sin 2x dx =\\= \frac{(3x-7)*sin2x}{2} - \frac{3}{2} × (-\frac{1}{2} cos2x) + C =\\= \frac{(3x-7)*sin2x}{2} + \frac{3cos2x}{4} + C $$
