интеграл »
неопределенный интеграл - страница 3
Решить неопределенный интеграл ∫sin(1-5/3x)dx
Решение: Заносим под диффиринциал то что стоит в синусе, для того чтобы получить табличный интеграл, и чтобы значение интеграла не изменилось делим на производную того что заносим.
(1-5/3x)’=-5/3
$$ \int sin(1-\frac{5}{3}x)dx=\int sin(1-\frac{5}{3}x)*\frac{1}{-\frac{5}{3}}*d(1-\frac{5}{3}x)=\\=-\frac{3}{5}\int sin(1-\frac{5}{3}x)d(1-\frac{5}{3}x)=-\frac{3}{5}*(-cos(1-\frac{5}{3}x))+C=\\=\frac{3}{5}*cos(1-\frac{5}{3}x)+C $$
Найти неопределённый интеграл способом подстановки ∫(9+x^3)^4x^2dx
Решение: Внесем x² под знак дифференциала
x²dx=(1/3)d(x³)
обозначим x³=y тогда x²dx=(1/3)d(x³)=(1/3)dy, подставим в интеграл
=(1/3)∫(1+y)^4dy=(1/3)∫(1+y)^4d(1+y)
обозначим 1+y=z подставим в интеграл получим интеграл степенной функции после того как вычислим интеграл сделаем обратные замены переменных
(1/3)∫z^4dz=(1/3)(1/5)(z^5)+c=(1/15)((1+y)^5)+c=(1/15)(1+x³)^5+c
где с-любое числоВычислить неопределенный интеграл dx/(5*cos(x)+3)
Решение: Производная f(t) от ф-ции x=F(t) как обозначается?F’(t)=dx/dt=f(t) -> dx/dt=f(t) -> dx=f(t)dt -> dx=F’(t)dt
Вот так это dt и появляется.
А вот тебе полное решение:
integral 1/(5 cos(x)+3) dx
t = tg(x/2), dt = 1/2 sc^2(x/2) dx. sin(x) = (2t)/(t^2+1), cos(x) = (1-t^2)/(t^2+1) и dx = (2dt)/(t^2+1):
= integral 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)) dt
Упростим 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)),
получим 1/(4-t^2):
= integral 1/(4-t^2) dt = integral 1/(4(1-t^2/4)) dt = 1/4 integral 1/(1-t^2/4) dt
Для интегрирования 1/(1-t^2/4), сделаем еще одну подстановку:
s = t/2 and ds = 1/2 dt:
= 1/2 integral 1/(1-s^2) ds
Интеграл от 1/(1-s^2) равен arcth(s): = 1/2 arcth(s)+C
Вернемся к подстановке s = t/2:
= 1/2arcth(u/2)+С
Вернемся к подстановке t = tg(x/2):
1/2 arccth(2 ctg(x/2))+C= 1/4 (lg(sin(x/2)+2 cos(x/2))-lg(2 cos(x/2)-sin(x/2)))+C
Пояснение насчет подстановок:
$$ t(x) = \tan \frac{x}{2}\\ t’(x) = dt/dx\\ dt = t’(x)dx = \frac{(\frac{x}{2})’}{\cos^2 \frac{x}{2}}dx = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}dx = \\ =\frac{dx}{2}(1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}) = \frac{dx}{2}(1 + \tan^2 \frac{x}{2})= \frac{dx}{2}(1+t^2)\\ dx = \frac{2dt}{1+t^2} $$
По формуле двойного угла:
$$ \cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$
Теперь загоняем все в интеграл
$$ \int \frac{dx}{5\cos x+3}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = \int \frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\\ =\int \frac{2dt}{8-2t^2} = \int \frac{dt}{4-t^2} = -\int \frac{dt}{t^2-2^2} =\\ =-\frac{1}{4}\ln\frac{|t-2|}{|t+2|} + C $$
Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.
Вычислить неопределенный интеграл.
\( \int\limits \sqrt[5]{3x+2dx}, \int\limits \frac{x+arcsinx}{ \sqrt{1- x^{2} } } dx \)
Решение: При нахождении интегралов используем метод внесения под знак дифференциала
1) интеграл от (3x+2)^(1/5)dx=1/3*интеграл от (3x+2)^(1/5)d(3x+2)=1/3*(3x+2)^(6/5)/(6/5)+C=5/18*(3x+2)^(6/5)+C
под знак дифференциала внесено 3
dx=1/3*d(3x+2)
2) (x+arcsinx):√1-x^2=x/√1-x^2+arcsinx/√1-x^2
Наш интеграл разбивается на 2 интеграла
a) интеграл от xdx/√1-x^2=1/2* интеграл от dx^2/√1-x^2=-1/2интеграл от d(1-x^2)/√1-x^2=-1/2*интеграл от (1-x^2)^(-1/2)d(1-x^2)=-1/2*(1-x^2)^(1/2)/(1/2)+C=-√(1-x^2)+C
под знак дифференциала внесено x
dx=1/2*d(x^2)
б) интеграл от arcsinxdx/√1-x^2=
=интеграл от arcsinxd(arcsinx)=1/2(arcsinx)^2+C
под знак дифференциала внесено 1/√1-x^2
dx/√1-x^2=d(arcsinx)
Ответ: -√(1-x^2)+1/2(arcsinx)^2+C
Решите неопределенный интеграл
\( \int\limits { \frac{dx}{x(1+ \sqrt[3]{x})^2 } } \, dx \)
Решение: Кор. куб(x) = t, x = t^3, dx = 3t^2 dt
Int (3t^2)/[t^3*(1+t)^2] dt = 3*Int 1/[t*(1+t)^2] dt = 3*Int (A1/t + A2/(1+t) + A3/(1+t)^2)
Метод неопр. коэф-тов
A1/t + A2/(1+t) + A3/(1+t)^2 = [A1*(1+t)^2 + A2*t(1+t) + A3*t]/[t*(1+t)^2] =
= [A1*(1 + 2t + t^2) + A2*t + A2*t^2 + A3*t]/[t*(1+t)^2] =
= [t^2*(A1 + A2) + t*(2A1 + A2 + A3) + A1]/[t*(1+t)^2] = 1/[t*(1+t)^2]
{ A1 + A2 = 0
{ 2A1 + A2 + A3 = 0
{ A1 = 1
A2 = -1, A3 = -1
Int (3t^2)/[t^3*(1+t)^2] dt = 3*Int (1/t - 1/(1+t) - 1/(1+t)^2) dt =
= 3*(ln |t| - ln |1+t| + 1/(1+t)) + C = 3*(ln |t/(1+t)| + 1/(1+t)) + C
Подставь обратно t = кор. куб(x)
(31) Неопределенный интеграл. Разложение на простейшие дроби.
dx/(x+1)*(3x+2)- все под интегралом
Решение: Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:
$$ \frac{1}{(x+1)(3x+2)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{3x+2} $$
Приводим дроби справа к общему знаменателю
$$ \frac{1}{(x+1)(3x+2)}= \frac{A(3x+2)+B(x+1)}{(x+1)(3x+2)} $$
Приравниваем числители
1=A(3x+2)+B(x+1)
1=(3A+B)x +2A+B
Это равенство двух многочленов. Справа многочлен первой степени. Слева можно считать тоже первой степени
0х+1
Приравниваем коэффициенты перед х и свободные слагаемы
0=3А+В
1=2А+В
Вычитаем из первого второе
-1=А
В=1-2А=1+2=3
$$ \int\ \frac{dx}{(x+1)(3x+2)}= \int\ \frac{3dx}{3x+2}- \int\ \frac{dx}{x+1}= \int\ \frac{d(3x+2)}{3x+2}- \int\ \frac{dx}{x+1}= \\ \\ =ln|3x+2|-ln|x+1|+C=ln| \frac{3x+2}{x+1}|+C $$Найдите Неопределённый интеграл.
\( \int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx \)
Найдите Определённый интеграл
\( \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx \)
Интегрирование методом замены переменной.
\( \int\limits {(3x+2)^5} \, dx \)
Решение: $$ \displaystyle \int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx =\int 4x^3\,dx-\int 6x^2\, dx-\int 4x\, dx+\int 3\, dx\\ \\ \boxed{\int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx =x^4-2x^3-2x^2+3x+C} $$
========================
$$ \displaystyle \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =\int_1^22x\,dx+\int_1^23\,dx\\ \\ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =\left.x^2\right|_{1}^2+\left.3x\right|_{1}^2\\ \\ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx = (4-1)+(6-3)\\ \\ \\ \boxed{ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =6} $$
========================
$$ \displaystyle \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\int\limits {(3x+2)^5} \cdot \dfrac{1}{3}\cdot d(3x+2)\\ \\ \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{3}\cdot\int\limits {(3x+2)^5} \, d(3x+2)\\ \\ \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}(3x+2)^6\\ \\ \\ \boxed{\int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{18}(3x+2)^6+C} $$Вычислить неопределенный интеграл:
1) (x)/(sin^(2)(2x))dx
2) (sqrt(x)-x+1)/(sqrt(x^(3)))
Решение: $$ 1) \int\limits { \frac{x}{sin ^{2}2x } } \, dx=[u=x,du=dx||dv= \frac{dx}{sin ^{2}2x }, v=\frac{ctg2x}{2}]= \\ =\frac{xctg2x}{2} - \int\limits \frac{ctg2x}{2} \, dx ==\frac{xctg2x}{2} - \int\limits \frac{sin2x}{2cos2x} \, dx=\frac{xctg2x}{2} + \int\limits \frac{d(cos2x)}{4cos2x} \, = \\ =\frac{xctg2x}{2} + \frac{1}{4}ln|cos2x|+C \\ \\ 2) \int\limits \frac{ \sqrt{x} -x+1}{ \sqrt{x ^{3} } } \, dx= \int\limits (\frac{ \sqrt{x}}{ \sqrt{x ^{3} } }- \frac{x}{ \sqrt{x ^{3} }} + \frac{1}{ \sqrt{x ^{3} } }) \, dx= \int\limits (\frac{ 1}{ {x } }- \frac{1}{ \sqrt{x}} + \frac{1}{ \sqrt{x ^{3} } }) \, dx= \\ =ln|x|-2 \sqrt{x} - \frac{2}{ \sqrt{x} } +C $$
Вычислите неопределенный интеграл методом замены переменной (подстановки): ∫ x^2 (3+2x^3)^4 dx
Решение: Заменим переменные t = 2x³+3
Тогда dt =6x²dx
Подставляем полученные значения в интеграл
$$ \int\limits{x^2 (3+2x^3)^4 } \, dx = \int\limits{ \frac{1}{6}*t^4 } \, dt=\frac{1}{6}\int\limits{t^4 } \, dt= \frac{t^5}{6*5}+C=\frac{t^5}{30}+C $$
Сделаем обратную замену переменных
$$ \frac{t^5}{30}+C =\frac{(2x+3)^5}{30}+C $$
Вычислить неопределенный интеграл ()
\( \int\limits { \frac{(2x+1)}{(x-1)^2(x^2+2x+3)} } \, dx \)
Решение: Метод неопределенных коэффициентов
(2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)] = A1/(x-1) + A2/(x-1)^2 + (A3*x+A4)/(x^2+2x+3) =
= [A1*(x-1)(x^2+2x+3) + A2*(x^2+2x+3) + (A3*x+A4)(x-1)^2] / [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] =
= [A1(x^3+x^2+x-3)+A2(x^2+2x+3)+A3*x(x^2-2x+1)+A4(x^2-2x+1)] /
/ [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] =
= [x^3(A1+A3)+x^2(A1+A2-2A3+A4)+x(A1+2A2+A3-2A4)+(-3A1+3A2+A4)] /
/ [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] = (2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)]
Система
{ A1 + A3 = 0
{ A1 + A2 - 2A3 + A4 = 0
{ A1 + 2A2 + A3 - 2A4 = 2
{ -3A1 + 3A2 + A4 = 1
{ A3 = -A1
{ A1 + A2 + 2A1 + A4 = 0
{ 2A2 - 2A4 = 2
{ -3A1 + 3A2 + A4 = 1
{ A3 = -A1
{ A4 = A2 - 1
{ 3A1 + A2 + A2 - 1 = 0
{ -3A1 + 3A2 + A2 - 1 = 1
{ A3 = -A1
{ A4 = A2 - 1
{ 3A1 + 2A2 = 1
{ -3A1 + 4A2 = 2
Складываем 3 и 4 уравнения
6A2 = 3, A2 = 1/2, A4 = 1/2 - 1 = -1/2
3A1 + 2*1/2 = 1, A1 = 0, A3 = 0
Подставляем обратно в интеграл
Int (2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)] dx =
= Int [1/2*1/(x-1)^2 - 1/2*1/(x^2+2x+3)] dx =
= 1/2*Int 1/(x-1)^2 dx - 1/2*Int 1/((x+1)^2+2) dx =
= -1/2*1/(x-1) - 1/2*1/sqrt(2)*arctg [(x+1)/sqrt(2)] + C
