интеграл »

неопределенный интеграл - страница 5

  • Решить неопределенный интеграл ∫sin(1-5/3x)dx


    Решение: Заносим под диффиринциал то что стоит в синусе, для того чтобы получить табличный интеграл, и чтобы значение интеграла не изменилось делим на производную того что заносим.
    (1-5/3x)’=-5/3
    $$ \int sin(1-\frac{5}{3}x)dx=\int sin(1-\frac{5}{3}x)*\frac{1}{-\frac{5}{3}}*d(1-\frac{5}{3}x)=\\=-\frac{3}{5}\int sin(1-\frac{5}{3}x)d(1-\frac{5}{3}x)=-\frac{3}{5}*(-cos(1-\frac{5}{3}x))+C=\\=\frac{3}{5}*cos(1-\frac{5}{3}x)+C $$

  • Найти неопределённый интеграл способом подстановки ∫(9+x^3)^4x^2dx


    Решение: Внесем x² под знак дифференциала
    x²dx=(1/3)d(x³)
    обозначим x³=y тогда x²dx=(1/3)d(x³)=(1/3)dy, подставим в интеграл
    =(1/3)∫(1+y)^4dy=(1/3)∫(1+y)^4d(1+y)
    обозначим 1+y=z подставим в интеграл получим интеграл степенной функции после того как вычислим интеграл сделаем обратные замены переменных
    (1/3)∫z^4dz=(1/3)(1/5)(z^5)+c=(1/15)((1+y)^5)+c=(1/15)(1+x³)^5+c
    где с-любое число

  • Вычислить неопределенный интеграл dx/(5*cos(x)+3)


    Решение: Производная f(t) от ф-ции x=F(t) как обозначается?

    F’(t)=dx/dt=f(t) -> dx/dt=f(t) -> dx=f(t)dt -> dx=F’(t)dt

    Вот так это dt и появляется.

    А вот тебе полное решение:

    integral 1/(5 cos(x)+3) dx

    t = tg(x/2), dt = 1/2 sc^2(x/2) dx. sin(x) = (2t)/(t^2+1), cos(x) = (1-t^2)/(t^2+1) и dx = (2dt)/(t^2+1):

    = integral 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)) dt

    Упростим 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)),

    получим 1/(4-t^2):

    = integral 1/(4-t^2) dt = integral 1/(4(1-t^2/4)) dt = 1/4 integral 1/(1-t^2/4) dt

    Для интегрирования 1/(1-t^2/4), сделаем еще одну подстановку:

    s = t/2 and ds = 1/2 dt:

    = 1/2 integral 1/(1-s^2) ds

    Интеграл от 1/(1-s^2) равен arcth(s): = 1/2 arcth(s)+C

    Вернемся к подстановке s = t/2:

    = 1/2arcth(u/2)+С

    Вернемся к подстановке t = tg(x/2):

    1/2 arccth(2 ctg(x/2))+C= 1/4 (lg(sin(x/2)+2 cos(x/2))-lg(2 cos(x/2)-sin(x/2)))+C

    Пояснение насчет подстановок:

    $$ t(x) = \tan \frac{x}{2}\\ t’(x) = dt/dx\\ dt = t’(x)dx = \frac{(\frac{x}{2})’}{\cos^2 \frac{x}{2}}dx = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}dx = \\ =\frac{dx}{2}(1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}) = \frac{dx}{2}(1 + \tan^2 \frac{x}{2})= \frac{dx}{2}(1+t^2)\\ dx = \frac{2dt}{1+t^2} $$

    По формуле двойного угла:

    $$ \cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $$

    Теперь загоняем все в интеграл

    $$ \int \frac{dx}{5\cos x+3}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = \int \frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\\ =\int \frac{2dt}{8-2t^2} = \int \frac{dt}{4-t^2} = -\int \frac{dt}{t^2-2^2} =\\ =-\frac{1}{4}\ln\frac{|t-2|}{|t+2|} + C $$

    Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

  • Вычислить неопределенный интеграл.
    \( \int\limits \sqrt[5]{3x+2dx}, \int\limits \frac{x+arcsinx}{ \sqrt{1- x^{2} } } dx \)


    Решение: При нахождении интегралов используем метод внесения под знак дифференциала
    1) интеграл от (3x+2)^(1/5)dx=1/3*интеграл от (3x+2)^(1/5)d(3x+2)=1/3*(3x+2)^(6/5)/(6/5)+C=5/18*(3x+2)^(6/5)+C
    под знак дифференциала внесено 3
    dx=1/3*d(3x+2)
    2) (x+arcsinx):√1-x^2=x/√1-x^2+arcsinx/√1-x^2
    Наш интеграл разбивается на 2 интеграла
    a) интеграл от xdx/√1-x^2=1/2* интеграл от dx^2/√1-x^2=-1/2интеграл от d(1-x^2)/√1-x^2=-1/2*интеграл от (1-x^2)^(-1/2)d(1-x^2)=-1/2*(1-x^2)^(1/2)/(1/2)+C=-√(1-x^2)+C
    под знак дифференциала внесено x
    dx=1/2*d(x^2)
    б) интеграл от arcsinxdx/√1-x^2=
    =интеграл от arcsinxd(arcsinx)=1/2(arcsinx)^2+C
    под знак дифференциала внесено 1/√1-x^2
    dx/√1-x^2=d(arcsinx)
    Ответ: -√(1-x^2)+1/2(arcsinx)^2+C

  • Решите неопределенный интеграл
    \( \int\limits { \frac{dx}{x(1+ \sqrt[3]{x})^2 } } \, dx \)


    Решение: Кор. куб(x) = t, x = t^3, dx = 3t^2 dt
    Int (3t^2)/[t^3*(1+t)^2] dt = 3*Int 1/[t*(1+t)^2] dt = 3*Int (A1/t + A2/(1+t) + A3/(1+t)^2)
    Метод неопр. коэф-тов
    A1/t + A2/(1+t) + A3/(1+t)^2 = [A1*(1+t)^2 + A2*t(1+t) + A3*t]/[t*(1+t)^2] =
    = [A1*(1 + 2t + t^2) + A2*t + A2*t^2 + A3*t]/[t*(1+t)^2] =
    = [t^2*(A1 + A2) + t*(2A1 + A2 + A3) + A1]/[t*(1+t)^2] = 1/[t*(1+t)^2]
    { A1 + A2 = 0
    { 2A1 + A2 + A3 = 0
    { A1 = 1
    A2 = -1, A3 = -1
    Int (3t^2)/[t^3*(1+t)^2] dt = 3*Int (1/t - 1/(1+t) - 1/(1+t)^2) dt =
    = 3*(ln |t| - ln |1+t| + 1/(1+t)) + C = 3*(ln |t/(1+t)| + 1/(1+t)) + C
    Подставь обратно t = кор. куб(x)

<< < 345 6 7 > >>