интеграл »
неопределенный интеграл - страница 7
1) скорость прямолинейного движения точки задана уравнением V=3x/2 -2x
2) Найти уравнения пути и ускорения тела за время (t) 2с
3) вычислите неопределенный интеграл
Решение: Первая производная от пути является скорость, а вторая производная от пути является ускорением. нам дана функция скорости. следовательно проинтегрировав ее мы получим функцию пути. а взяв производную от нее получим ускорение.
$$ \int\limits { \frac{3x}{2-2x} } \, dx =- \frac{3}{2}x- \frac{3}{2}ln(-2+2x)+const \\ ( \frac{3x}{2-2x})’= \frac{3}{2-2x}+ \frac{6x}{(2-2x)^2} $$
найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием int x*lnx dx
Решение: int(x*ln(x)dxПусть
ln(x)=u dx/x=du
xdx=dv x^2/2=v
тогда, используя интегрирование по частям получим
int(x*ln(x)dx=x^2ln(x)/2-int((x^2/2)*(1/x)dx=
=x^2ln(x)/2-(1/2)*int(x)dx=x^2ln(x)/2-x^2/4
Проверим результат дифференцированием
y=x^2ln(x)/2-x^2/4
y ’ =[2x*ln(x)/2+(x^2/2)*(1/x)]-2x/4=x*ln(x)
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата
∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx
Решение: $$ \displaystyle I=\int\frac{11x-3}{x^2+6x+13}\,dx $$
Найдем производную знаменателя и выделим её в числителе.
$$ \displaystyle (x^2+6x+13)’=2x+6; \ 11x-3=5.5(2x+6)-36 $$
Теперь интеграл разбивается на два.
$$ \displaystyle I=\int\frac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13}\,dx-\int\frac{36}{x^2+6x+13}\,dx= \\ \\ 5.5\int\frac{2x+6}{x^2+6x+13}\,dx-36\int\frac{1}{x^2+6x+13}\,dx =I_1-I_2 $$
Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя.
$$ \displaystyle I_1=5.5\int \frac{du}{u}=5.5\ln(u)+C_1=5.5\ln(x^2+6x+13)+C_1 $$
Теперь займемся I₂.
Выделим в знаменателе полный квадрат.
x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4
Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂
$$ \displaystyle I_2=36\int \frac{du}{u^2+4} $$
Это табличный интеграл:
$$ \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}\, arctg \frac{x}{a}+C $$
Тогда можно записать
$$ \displaystyle I_2= 36\frac{1}{2}\,arctg \frac{u}{2}+C_2=18\,arctg \frac{x+3}{2}+C_2 $$
Окончательно получаем
$$ \displaystyle I=5.5\ln(x^2+6x+13)-18\,arctg \frac{x+3}{2}+C $$
Найти неопределенные интегралы. \( A) \int\limits \frac{xdx}{(x^2+4)^6}\\ б) \int\limits e^xsin(1+3e^x)dx\\ в) \int\frac{3x^3+1}{x^2-x} \, dx\\ \int\frac{dx}{sinx + tgx} \)
Решение: A)
$$ \int\limits \frac{xdx}{(x^2+4)^6} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(x^2+4)}{(x^2+4)^6} = \frac{1}{2} *(-\frac{1}{5*(x^2+4)^5})+C=-\frac{1}{10*(x^2+4)^5}+C $$
б)
$$ \int\limits e^xsin(1+3e^x)dx = \frac{1}{3}\int\limits sin(1+3e^x)d(1+3e^x)=\\=\frac{1}{3}*(-cos(1+3e^x))+C=- \frac{cos(1+3e^x)}{3}+C $$
в)
$$ \int\frac{3x^3+1}{x^2-x} \\, dx= \int(3x+3+\frac{3x+1}{x^2-x}) \\ dx=|\frac{3x+1}{x^2-x}= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x-1}=\\= \frac{Ax-A+Bx}{x^2-x}= \frac{(A+B)x-A}{x^2-x};A=-1;B=4|= \int(3x+3+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{x}) \\ dx= \frac{3x^2}{2}+3x+4*ln |x-1|-ln|x|+C=3x( \frac{x}{2}+1)+ ln\frac{(x-1)^4}{|x|}+C $$Решение примера г) в приложении.
Найти неопределенные интегралы способом подстановки \( \int\limits^a_b {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt \)
Решение: Это определенный интеграл: есть пределы интегрирования.
$$ \int\limits^a_b {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int\limits^a_b {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)= \\ 5\int\limits^a_b {\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a= \\ = \frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}|^b_a=\frac{10}{3}((b^2-3)^{\frac{3}{2}}-(a^2-3)^{\frac{3}{2}}) $$
___________________________________________________________
Это неопределенный интеграл
$$ \int {10t* \sqrt{t^2-3} } \, dt = \int {5 \sqrt{t^2-3} } \, d(t^2)= \\ =5\int{\sqrt{t^2-3} } \, d(t^2-3)= \frac{5*2}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}}=\frac{10}{3} (t^2-3)^{\frac{3}{2}} $$
Найти неопределенные интегралы \( а) \int\frac{sinxdx}{\sqrt[4]{cos^3x}}; б) \int\frac{dx}{\sqrt[3]{1+x}} ; в) \int x^3lnxdx; г) \int\frac{2dx}{x^2 +2x} ; \)
Решение: 1)$$ \int\limits {cos^{- \frac{3}{4} }x} \, dcosx =-(cosx)^{-3/4+1}/1/4+C=-4cos^{ \frac{1}{4} }x+C=-4 \sqrt[4]{cosx}+C $$
2)$$ \int\limits {(x+1)^{-1/3}} \, d(x+1) =(x+1)^{2/3}/ \frac{2}{3} +Cc=3(x+1)^{ \frac{2}{3} }/2+C $$
3) по частям u=lnx dv=x^3dx
du=dx/x v=x^4/4
=$$ x^{4}*lnx/4- \int\limits { \frac{x^4}{4x} } \, dx = \frac{x^4lnx}{4}- \frac{1}{4} \int\limits {x^3} \, dx = \frac{x^4lnx}{4}- \frac{x^4}{4}+c $$
5)$$ \int\limits {1-sin^2x} \, dsinx =sinx- \frac{sin^3x}{3}+C $$
4) разложим на простейшие дроби
А/x+B/x+2=Ax+2A+Bx/x(x+2)=1/x-1/x+2
A+B=0 B=-1
2A=2 A=1
$$ \int\limits {( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+2}) } \, dx =ln|x|-ln|x+2|+C=ln |\frac{x}{x+2}|+C $$
Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. \(\int x^3(1-2x^4)^3 dx\\ \int\frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1)^2}}\\ \int\frac{ln x}{x^2}dx \)
Решение: 1
x³*(1-2x^4)³=x³*(1-6x^4+12x^8-8x^12)=x³-6x^7+12x^11-8x^15
S[x³*(1-2x^4)³]dx=S(x³-6x^7+12x^11-8x^15)dx=x^4/4-3x^8/4+x^12-x^16/2+C
проверка
(x^4/4-3x^8/4+x^12-x^16/2+C)’=4x³/4-24x^7/4+12x^11-16x^15/2+0=
=x³-6x^7+12x^11-8x^15
2
Sdx/∛(2x+1)²=3/2*∛(2x+1)+C
проверка
(3/2*∛(2x+1)+C)=3/2*1/3*1/∛(2x+1)² *2+0=1/∛(2x+1)²
3
u=lnx⇒du=dx/x
dv=dx/x²⇒v=-1/x
S(lnx/x²)dx=lnx*(-1/x)-S(-1/x)*dx/x=(-lnx)/x+Sdx/x²=(-lnx)/x-1/x=-1/x*(lnx+1)
проверка
(-1/x*(lnx+1))’=(-1/x)’*ln(x+1)-1/x*(lnx+1)’=1/x²*(lnx+1)-1/x*1/x=
=(lnx)/x²+1/x²-1/x²=(lnx)/x²
Неопределенный интеграл \( \int\limits{ \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \)
Решение: $$ \int\limits{ \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C \\ \int\limits{ \frac{1}{x^2+16} } \, dx+ \int\limits{ \frac{2x}{x^2+16} } \, dx \\ $$
первый табличный интеграл
второй приводим к табличному через замену
$$ \int\limits{ \frac{1}{x^2+a^2} } \, dx= \frac{1}{a}arctg \frac{x}{a}+C=- \frac{1}{a}arcctg \frac{x}{a}+C1 \\ \int\limits{ \frac{1}{x^2+16} } \, dx= \int\limits{ \frac{1}{x^2+4^2} } \, dx=\frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+C $$
второй приводим к следующему интегралу
$$ \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx=ln !x!+C \\ d(x^2+16)=2xdx \\ \int\limits { \frac{2x}{x^2+16} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{x^2+16} } \, d(x^2+16) $$
x^2+16=t
$$ \int\limits { \frac{1}{t} } \, dt = ln!t!+C1 $$
делаем обратную замену
$$ = ln(x^2+16)+C1 $$ модуль убрали так как x^2+16>0
Итак получаем
$$ \int\limits { \frac{2x+1}{x^2+16} } \, dx= \frac{1}{4}arctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C= \\ -\frac{1}{4}arcctg \frac{x}{4}+ln(x^2+16)+C $$
Найдите следующие неопределенные интегралы. интеграл от sin3x sinxdx. 2) интеграл от cos5xcos3xdx.
Решение: 1)sin(x)*sin(3x)
так как
sin (3x)= sin(2x + x) = sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x), то
sin(x)*sin(3x)=sin(x)*[ sin(2x) cos(x) + sin(x)cos(2x)]=
=sin(x)*[2sin(x)cos(x)*cos(x)+sin(x)*(2cos^2(x)-1)]=
=sin^2(x)*[2cos^2(x)+2cos^2(x)-1]=sin^2(x)*[4cos^2(x)-1]=
=4sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(x)
a. int(4sin^2(x)cos^2(x))dx=int(2sin(x)cos(x))^2dx=int(sin(2x)^2dx=
=int((1/2)*(1-cos(2*2x)))dx=(1/2)*(x-(1/4)*sin(4x))+c
б. int(sin^2(x))dx=(-1/2)int(1-cos(2x))dx=(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x))]+c
итого
int sin(x)*sin(3x)dx=(1/2)*[x-(1/4)*sin(4x)]+c1+(-1/2)*[x-(1/2)sin(2x)]+c2=
=(1/2)*[(1/2)sin(2x)-(1/4)sin(4x)]+c
Вычислить неопределенный интеграл ()
\( \int\limits {(x^2+2x-1)cos3x} \, dx \)
Решение: Int (x^2+2x-1)*cos 3x dx = Int x^2*cos 3x dx + 2*Int x*cos 3x dx - Int cos 3x dx = A
Решаем каждый интеграл по отдельности. Первый - 2 раза по частям.
Int x^2*cos 3x dx = 1/9*Int (3x)^2*cos 3x dx = |3x = y, dy = 3dx| =
= 1/27*Int y^2*cos y dy = |u=y^2, dv=cos y dy, du = 2y dy, v=sin y| =
= 1/27*(y^2*sin y - 2*Int y*sin y dy) = |u=y, dv=sin y, du=dy, v=-cos y| =
= 1/27*y^2*sin y - 2/27*(-y*cos y + Int cos y dy) =
= y^2/27*sin y + 2y/27*cos y - 2/27*sin y = x^2/3*sin 3x + 2x/9*cos 3x - 2/27*sin 3x
Int x*cos 3x dx берется точно также, только один раз по частям.
Int x*cos 3x dx = |y = 3x| = 1/9*Int y*cos y dy = |u=y, dv=cos y, du=dy, v=sin y| =
1/9*(y*sin y - Int sin y dy) = x/3*sin 3x + 1/9*cos 3x
Int cos 3x dx = 1/3*sin 3x
Подставляем все это в интеграл
A = x^2/3*sin 3x+2x/9*cos 3x-2/27*sin 3x+2x/3*sin 3x+2/9*cos 3x-1/3*sin 3x+C =
= sin 3x*(x^2/3 + 2x/3 - 2/27 - 1/3) + cos x*(2x/9 + 2/9) + C =
= 1/3*sin 3x*(x^2 + 2x + 1) + x/9*cos x*(2x + 2) - 2/27*sin 3x + C
