интеграл »

неопределенный интеграл - страница 7

  • Неопределенный интеграл. Интегрирование иррациональной функции \( \int\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx \)


    Решение: Делаем замену sqrt(x) = t,
    x = t^2
    dx = 2tdt
    Получилось$$ \int\limits { \frac{2t^{2}}{1+t} } \, dt $$
    двоечку выносим, делим числитель на знаменатель, получаем
    $$ 2 \int\limits {t+ \frac{1}{t+1} -1} \, dt $$
    дальше рассматриваем как сумму интегралов, в итоге получаем 
    t^2 +2ln(t+1)-2t +C
    обратная замена
    x + 2ln(sqrt(x)+1)-2sqrt(x) +C

  • 1. Исследование функции на выпуклость. алгоритм. примеры 2. найти неопределенный интеграл А=интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2)). результаты проверить дифференцированием.


    Решение: интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2))=ln(e^x+x^2)

    (ln(e^x+x^2))’=1/(e^x+x^2)*(e^x+2x).

    Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти

    вторую производную. И определить ее знак на интервале.

    Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, кривая выпукла,

    если производная больше нуля кривая вогнута.

    Пример

    y=2-x^2

    y’’=-2<0 для всех х следовательно кривая обращена выпуклостью вверх.

    Пример

    y=x^3

    y’’=6x

    при x<0 y’’<0 кривая выпукла

    при x>0 y’’>0 кривая вогнута.

    Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба.

  • Найти неопределенный интеграл. правильность полученных результатов проверить дифференцированием интеграл (x+12)dx/x^2-x-6 Решить подробно)


    Решение: $$ \int \frac{x+12}{x^2-x-6}dx=\int \frac{(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}+12}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}}dx=\\=[\, t=x-\frac{1}{2},\; dt=dx\, ]=\int \frac{t+\frac{25}{2}}{t^2-\frac{25}{4}}dt=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{25}{4}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2-\frac{25}{4})}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{2}}ln|\frac{t-\frac{5}{2}}{t+\frac{5}{2}}|=\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2-\frac{25}{4}|+ \\ +\frac{5}{2}ln|\frac{x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}}{x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}|+C=\frac{1}{2}ln|x^2-x-6|+\frac{5}{2}\cdot ln|\frac{x-3}{x+2}|+C $$

  • Найти неопределенный интеграл
    dx/\( \sqrt{4-x^2} \)


    Решение: $$ \int\limits {1/ \sqrt{4-x^2} } \, dx =1/2 \int\limits {1/ \sqrt{1-x^2/4} } \\ dx = \int\limits { 1/\sqrt{1-t^2} } \, dt = \ arcsint+C=arcsin(x/2)+C $$
    t=x/2⇒dt=1/2dx

    $$ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{4\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}= \\ \displaystyle =\int\frac{\frac{1}{2}dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}=\int\frac{d\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}=arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+C. $$

  • Вычислить неопределенный интеграл \( x \sqrt{x}dx \)


    Решение: Упростим подынтегральное выражение, используя свойства степеней $$ x^n \cdot x^m=x^{n+m}, \ \ \ \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}} $$
    А неопределенный интеграл найдем по формуле $$ \int {x^n} \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \int {x \cdot \sqrt{x}} \, dx = \int {x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \, dx = \int {x^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C =\frac{2}{5} \cdot \sqrt{x^5}+C $$

<< < 567 8 9 > >>