интеграл »

неопределенный интеграл - страница 8

  • Составить уравнение касательной к параболе у=2x^2 - 12x + 20 в точке с абсциссой x=4

    Или: Найдите неопределённый интеграл \( \int \frac{tg2x}{cos^{2}x}\, dx \)


    Решение: 1) Общее уравнение касательной к графику функций

    y = f(x₀) + f ’(x₀)(x – x₀), x₀ - абцисса точки касания

    f(4) = 2*4² - 12*4 + 20 = 4

    f ’(x) = 4x - 12

    f ’(4) = 4

    y = 4 + 4(x - 4) = 4x - 12 - уравнение касательной к параболе

    2) $$ \int{\frac{tg2x}{Cos^2x}}\, dx = \int{tg(2x)}\, d(tgx) = \int{\frac{2tgx}{1-tg^2x}}\, d(tgx) \\ \int{\frac{2tgx}{1-tg^2x}}\, d(tgx) = \int{\frac{-1}{1-tg^2x}}\, d(1-tg^2x) = - ln|1-tg^2x| + C $$

  • Решить неопределенные интегралы вида

    1) \( \int sin11x*cos3x dx \)

    2) \( \int sin^3 *2x * cos2x dx \)

    3) \( \int (1 - 8x^2)*cos4x dx \)


    Решение: 1)-(4*cos(14*x)+7*cos(8*x))/112+ C

    2)sin(2*x)^4/8+ C

    3) -(((16*x^2-2)*sin(4*x)+8*x*cos(4*x))/2-sin(4*x))/4+ C

    Такие огромные ответы получились 

    sin11x*cos3x=1/2(sin14x+sin8x)

    d(sinx)=cosx

    - cos x cos x C sin x C - x - sin x x cos x -sin x C Такие огромные ответы получились sin x cos x sin x sin x d sinx cosx...

  • Найдите неопределенные интегралы:
    1. \( \int\limits^{} \, \sqrt[]{5-2x} \ \ dx \)
    2. \( \int\limits^ {} \,( 2x^{2} - 7)^{5} \ xdx \)
    3. \( \int\limits^ {} \, 4^{x^{3}} x^{2} \ dx \)
    4. \( \int\limits^ {} \, \frac{cosx}{ \sqrt[3]{3sinx} } dx \)
    с решением.


    Решение: 1) Так как d(5-2x)=-2·dx, заменим dx на -d(5-2x)/2
    $$ =- \frac{1}{2} \int\limits { (5-2x) ^{ \frac{1}{2} } } \, d(5-2x)=- \frac{1}{2}\cdot \frac{(5-2x) ^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2} +1} +C= \\ =- \frac{1}{3}(5-2x) \sqrt{5-2x} $$
    2) Так как d(2x²-7)=4xdx, заменим х dx  на d(2x²-7)/4
    $$ = \frac{1}{4} \int\limits {(2 x^{2}-7) ^{5} } \, d(2 x^{2} -7) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(2 x^{2} -7) ^{6} }{6} +C= \frac{(2 x^{2}-7)x^{6} }{24}+C $$
    3) Так как d(x³)=3x²dx, заменим x²dx  на d(x³)/3
    $$ = \frac{1}{3} \int\limits {4 ^{x^{3} } } \, d( x^{3}) = \frac{1}{3} \cdot 4 ^{x ^{3} } \cdot ln4 +C $$
    4) Так как d(sinx)=cos x dx, заменим  cos x dx на d(sin x)
    $$ = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \int\limits {(sinx) ^{ -\frac{1}{3} } } \, d(sinx)= \frac{1}{ \sqrt[3]{3} }\cdot \frac{(sinx) ^{- \frac{1}{3}+1 } }{- \frac{1}{3}+1 } +C = \frac{3}{2 \sqrt[3]{3} } \sqrt[3]{sin ^{2} x}+C $$

  • Решить неопределенные интегралы:
    1) \( (1) \int\limits dx/ \sqrt{6x-x^2}\\ (2) \int\limits cos(^5)4xdx\\ (3)\int\limits xdx/x^2+10\\ 4)\int\limits dx/2x+3\\\\\\ \)


    Решение: $$ 1)\;\int\frac{dx}{\sqrt{6x-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{9-9+6x-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{9-(x-3)^2}}=\left(\begin{array}{c}u=x-3\\du=dx\end{array}\right)=\\=\int\frac{du}{\sqrt{9-u^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}=\arcsin\frac{u}3+C=\arcsin\left(\frac{x-3}3\right)+C\\\\2)\;\int\cos^54x\;dx=\left(\begin{array}{c}u=4x\\du=4dx\end{array}\right)=\frac14\int\cos^54x\;dx\\\int\cos^nax\;dx=\frac{\cos^{n-1}ax\cdot\sin ax}{an}+\frac{n-1}n\int\cos^{n-2}ax\;dx \\ \frac14\int\cos^54x\;dx=\frac14\left(\frac15\sin u\cos^4u+\frac45\int\cos^3u\;du\right)=\\=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac15\int\cos^3u\;du=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac1{15}\sin u\cos^2u+\\+\frac2{15}\int\cos u\;du=\frac1{20}\sin u\cos^4u+\frac1{15}\sin u\cos^2u+\frac2{15}\sin u+C=\\=\frac1{960}\left(150\sin4x+25\sin12x+3\sin20x\right)+C\\\\3)\;\int\frac{x\;dx}{x^2+10}=\left(\begin{array}{c}u=x^2+10\\du=2x\;dx\end{array}\right)=\frac12\int\frac{du}u=\frac12\ln u+C=\\=\frac12\ln(x^2+10)+C \\ 4)\;\int\frac{dx}{2x+3}=\left(\begin{array}{c}u=2x+3\\du=2dx\end{array}\right)=\frac12\int\frac{du}u=\frac12\ln u+C=\frac12\ln(2x+3)+C $$

  • Неопределенный интеграл sinx^2cosxdx


    Решение: Неопределенный интеграл sin x^2cosxdx = косинус х мы присоединяем к дифференциалу dx, а дифференциал (производная) от косинус х это минус синус х, минус выносим за знак интеграла и получаем
    = минус неопр. инт. sin x^2d(sin x) = так как d у нас теперь не по х, а по sin x, то для удобства заменим sin x=y, получаем = минус неопр. инт. y^2dy = по формуле получим = минус y^3/3 + c = делаем обратную замену = минус sinx^3/3 + c

    Неопределенный интеграл sin x cosxdx косинус х мы присоединяем к дифференциалу dx а дифференциал производная от косинус х это минус синус х минус выносим за знак интеграла и...

  • Решить неопределенный интеграл
    (sin2x)^4dx


    Решение: $$ \int\ {(sin2x)^4} \, dx \\ 2x=m \\ dx= \frac{1}{2}dm \\ = \frac{1}{2} \int\sin^{4}m \, dm= \frac{1}{2} \int\ \frac{(1-cos2m)^2}{2^2} \, dm \\ = \frac{1}{8} \int\((1-2cos2m+cos^{2}2m) \, dm= \\ = \frac{1}{8}m- \frac{1}{4}* \frac{1}{2}sin2m+ \frac{1}{8} \int\ {cos^{2}2m} \, dm \\ = \frac{1}{8}m- \frac{1}{8}sin2m+ \frac{1}{8} \int\ { \frac{1+cos4m}{2} } \, dm \\ = \frac{1}{8}m- \frac{1}{8}sin2m+ \frac{1}{16}m+ \frac{1}{16}* \frac{1}{4}sin4m \\\\ = \frac{1}{8}2x- \frac{1}{8}sin4x+ \frac{1}{16}2x+ \frac{1}{16} \frac{1}{4}sin8x \\ = \frac{x}{4}- \frac{sin4x}{8}+ \frac{x}{8}+ \frac{sin8x}{64} \\ = \frac{3x}{8} - \frac{sin4x}{8}+ \frac{sin8x}{64}+C $$

  • Вычислите неопределенный интеграл s (3-sin 2x) dx


    Решение: Прилагаю таблицу интегралов.
    Интеграл суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов, т. е.:
    s (3-sin2x)dx=s (3)dx - s (sin2x)dx=3x + C1 - 1/2*s (sin2x)d2x=
    1/2 перед интегралов выносим, чтобы под дифференциалом х умножить на 2, т. е. как бы умножаем и делим на одно и то же число, чтобы ничего не изменилось. Делаем это для того, чтобы переменная интегрирования стала такой же, как и аргумент синуса, чтобы его можно было проинтегрировать. 
    =3х+C1-1/2*(-cos(2x))+C2=3x+C1+1/2*cos2x+C2
    С1 и С2 - это константы, которые появляются в неопределенном интеграле, их можно объединить в одну, т. е. С1+С2=С. Тогда получим итоговое выражение:
    3х+1/2*cos2x+C

    Прилагаю таблицу интегралов.Интеграл суммы разности равен сумме разности интегралов т. е. s  -sin x dx s dx - s sin x dx x C  - s sin x d x перед интегралов выносим чтобы под...

  • Найдите неопределённый интеграл : \( \int\limits sin2xdx \)


    Решение: $$ \int\limits {sin2x} \, dx = $$
     Сделаем замену: u=2x du=2dx
    $$ = \frac{1}{2} \int\limits {sin(u)} \, du =- \frac{cos(u)}{2} +C=- \frac{1}{2} cos(2x)+C $$

    Ответ смотри в приложении:

    int limits sin x dx  Сделаем замену u x du dx frac int limits sin u du - frac cos u C - frac cos x C Ответ смотри в приложении...

  • Вычислить неопределенный интеграл (
    \( \int\limits {(1-x+2x^2)sin4x} \, dx \)


    Решение: Int (1 - x + 2x^2)*sin 4x dx = Int sin 4x dx - Int x*sin 4x dx + 2*Int x^2*sin 4x dx =
    = -1/4*cos 4x - |u=x, dv=sin 4x dx, du=dx, v=-1/4*cos 4x| +
    + |u=x^2, dv=sin 4x dx, du=2x dx, v=-1/4*cos 4x| =
    = -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/4*Int cos 4x dx - x^2/2*cos 4x + Int x*cos 4x dx =
    = -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
    + |u=x, dv=cos 4x dx, du=dx, v=1/4*sin 4x| =
    = -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
    + x/4*sin 4x - 1/4*Int sin 4x dx =
    = -1/4*cos 4x + x/4*cos 4x - 1/16*sin 4x - x^2/2*cos 4x + 
    + x/4*sin 4x + 1/16*cos 4x + C

  • Решить неопределенный интеграл(интегрирование по частям):

    \( x*ln*(x^2+1)*dx \)


    Решение: $$ \int x \ln(x^2+1)dx = \frac{1}{2}\int(\ln(x^2+1))d(x^2+1) = \frac{1}{2}\int(\ln t)dt $$

    Интегрирование логарифма производится по частям

    представим, что

    $$ u = \ln t; v = t\\ du = u’dt = \frac{dt}{t}\\ dv = v’dt = dt\\ \int \ln t dt = \int u dv = uv - \int vdu = t \ln t - \int t\frac{dt}{t} = \\ = t \ln t - \int dt = t \ln t - t +C $$

    далее вернемся к нашему интегралу:

    $$ \frac{1}{2}\int \ln t dt =\frac{t \ln t - t}{2} + C = \frac{x^2+1}{2}\ln (x^2+1) - \frac{x^2+1}{2} + C = \\ =\frac{x^2+1}{2}\ln(\frac{x^2+1}{e}) + C $$

<< < 678 9 10 > >>