неопределенный интеграл - страница 10
Решить неопределенный интеграл \( \int(x\sqrt x - \frac{1}{\sqrt{x^3}} +1)dx \)
Решение: Переводим степени в простые дроби:
$$ \int(x^\frac{3}{2}-x^{-\frac{1}{3}}+1)dx $$
Используем линейность интегралов
$$ \int x^\frac{3}{2}dx-\int x^{-\frac{1}{3}}dx+\int dx $$
Каждый из них - мгновенный интеграл, находим первородные и добавляем свободный коеффициент
$$ F(x)=\frac{2}{5}\sqrt{x^5}-\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2}+x+Const $$
Вычислить неопределенный интеграл: 1) ((arccos(2x))^(2))/(sqrt(1-4x^(2)))
2) (2x+1)/((x-2)(x^(2)+9))
Решение: Исправленное решение во вложении
проверил численным интегрированием
1)arccos2x=t⇒dt=2dx/$$ \sqrt{1-4x^2} $$⇒
$$ \int\limits {arccos^22x/ \sqrt{1-4x^2} } \\ dx =1/2 \int\limits{t^2} \, dt =t^3/6=[tex]-1/6arccos^32x + C $$
2)(2x+1)/(x²+9)(x-2)=(AX+B)/(X²+9) + C/(x-2)
AX²-2AX+Bx-2B+Cx²+9C=2x+1
(A+C)x²=0⇒A+C=0⇒C=-A
(B-2A)x=2⇒B-2A=2⇒B=2A+2
9C-2B=1⇒-9A-4A-4=1⇒-13A=5⇒A=-5/13⇒C=5/13⇒B=2-10/13=16/13
(2x+1)/(x²+9)(x-2)= (-5/13x+16/13)/(x²+9)+(5/13)/(x-2)= -5x/13(x²+9) +16/13(x²+9)+5/13(x-2)
$$ \int\limits {(2x+1)/(x^2+9)(x-2)} \, dx=\\=-5/13 \int\limits {x/(x^2+9)} \, dx + \ 16/13 \int\limits {1/(x^2+9)} \, dx +5/13 \int\limits {1/(x-2)} \\ dx = \ -5/26ln/x^2+9/+16/39arctg(x/3)+5/13ln/x-2/+C $$
1)$$ -5/13 \int\limits {x/(x^2+9)} \, dx =-5/26 \int\limits {1/t} \, dt =-5/26lnt=-5/26ln(x^2+9) $$
x²+9=t⇒dt=2xdx⇒xdx=dt/2
2)$$ 16/13 \int\limits {1/(x^2+9)} \, dx =16/117 \int\limits {1/[(x/3)^2+1]} \, dx =16/39arctg(x/3) $$
3)$$ 5/13 \int\limits {x/1/(x-2)} \, dx =5/13*ln/x-2/ $$
Неопределенный интеграл \(\int{(2^{x+3}} + \frac{3}{ \sqrt{1-x^{2}} }) \, dx \)
Решение: $$ \int{(2^{x+3}} + \frac{3}{ \sqrt{1-x^{2}} }) \, dx =\int{2^{x+3}}\,dx+\int{ \frac{3}{ \sqrt{1-x^2} } }\,dx=(1)\int{2^{x+3}}\,d(x+3)+\\ +(2) \frac{3}{2} ln| \frac{1+x}{1-x} |=(3) \frac{ 2^{x+3} }{ln2} + \frac{3}{2} ln| \frac{1+x}{1-x} |+C $$, где C=const.
1. Подводим функцию под знак дифференциала.
2. Выносим 3 за интеграл, пользуемся табличной формулой "высокого логарифма"
3. Пользуемся табличной формулой интегрирования показательной функции.Неопределенный интеграл ∫sin4xcos2xdx=
Решение: ∫sin4xcos2xdx=
по формуле произведения тригонометрических функций sinα на cosβ можно расписать интеграл как
∫1/2*(sin(4x-2x)+sin(4x+2x))dx=1/2∫(sin2x+sin(6x))dx=
или, используя свойства интеграла:
=1/2∫sin2xdx+1/2∫sin6xdx=
далее вводим замены:
t=2x, тогда dt=2dx dx=dt/2
k=6x, тогда dk=6dx dx=dk/6
=1/2∫1/2sin(t)dt+1/2∫1/6sin(k)dk=1/4(-cost)+1/12(-cos(k)=-1/4cos2x-1/12cos6x
Неопределенный интеграл \(\int\frac{dx}{4sinx+3cosx+5} \)
Решение: Применим универсальную тригонометрическую подстановку
$$ t=tg(\frac{x}{2}); \ \ arctg \, t=\frac{x}{2}; \ \ 2arctg \, t=x; \ \ \ \frac{2}{1+t^2} \, dt=dx; \\ \\ \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}, \ \ \cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \\ \int {\frac{1}{\frac{8t+3-3t^2}{1+t^2}+5}} \cdot \frac{2}{1+t^2} \, dt=\\=2\int {\frac{dt}{8t +3 -3t^2 +5+5t^2}}=\\=2\int {\frac{dt}{2t^2 + 8t +8}}=\int {\frac{dt}{t^2 + 4t +4}}= \\ \\ = \int {\frac{dt}{(t+2)^2}} = -\frac{1}{t+2}+C=-\frac{1}{tg (\frac{x}{2})+2}+C $$
Смотри приложенный файл
Найдите неопределенные интегралы. результат проверить дифференцированием. \(\int{\sqrt{(2-x^2)^3}x}\, dx=\\ \int arctg(\sqrt{x}) \ dx =\\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2}- \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \int \sqrt{(2 - x^2)^3} x dx\\\int \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} \ dx \)
Решение: $$ \int{\sqrt{(2-x^2)^3}x}\, dx=\frac12\int{\sqrt{(2-x^2)^3}}\, dx^2=\frac15(2-x^2)^{\frac52} $$Проверка:
$$ \frac{d(\frac25(2-x^2)^{\frac52})}{dx^2}=\frac12*\frac25*\frac52*(2-x^2)^{\frac32}*2=\\=(2-x^2)^{\frac32} $$
$$ 112_c \ \int arctg(\sqrt{x}) \ dx = [\sqrt{x} = t, \ \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = dt ] = \int 2t \ arctg(t) \ dt =\\\\t^2arctg(t) - \int t^2\frac{1}{1+t^2} \ dt = t^2arctg(t) - \int \frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2} \ dt =\\\\ t^2arctg(t) - \int 1 - \frac{1}{1 + t^2} \ dt = t^2arctg(t) - t + arctg(t) + C =\\\\ xarctg(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + arctg(\sqrt{x}) + C = (x+1)arctg({\sqrt{x}}) - \sqrt{x} + C $$
Проверка:
$$ ((x+1)arctg({\sqrt{x}}) - \sqrt{x} + C)’ = ((x+1)arctg({\sqrt{x}}))’ - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ (x+1)’*arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*(arctg({\sqrt{x}}))’ - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*(\sqrt{x})’\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \\ arctg({\sqrt{x}}) + (x+1)*\frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2}- \frac{1}{2\sqrt{x}}=\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + \frac{x + 1}{2\sqrt{x}(1 + x)} - \frac{1}{2\sqrt{x}} =\\\\ arctg({\sqrt{x}}) + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \boxed{ arctg({\sqrt{x}})} \\ 112_a \ \int \sqrt{(2 - x^2)^3} x dx = [2 - x^2 = t,2xdx = dt] = -\int \frac{\sqrt{t^3}}{2} \ dt =\\\\ -\int \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} \ dt = -\frac{1}{5}t^{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{5}(2 - x^2)^{\frac{5}{2}} + C =-\frac{1}{5}\sqrt{(2 - x^2)^5} + C $$
Проверка:
$$ (-\frac{1}{5}\sqrt{(2 - x^2)^5} + C)’ = -\frac{(2 -x^2)’}{5}\frac{5}{2}\sqrt{(2-x^2)^3} = \frac{2x}{5}\frac{5}{2}\sqrt{(2-x^2)^3} =\\\\ \boxed{ x\sqrt{(2-x^2)^3} } \\ 112_b \ \int \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} \ dx = [3x^2 - 7x + 11 = t,(6x - 7)dx = dt] =\\\\ \int \frac{1}{t} \ dt = ln(t) + C = ln(3x^2 - 7x + 11) + C $$
Проверка:
$$ (ln(3x^2 - 7x + 11) + C)’ = (3x^2 - 7x + 11)’*\frac{1}{3x^2 - 7x + 11} =\\\\ \boxed{ \frac{6x - 7}{3x^2 - 7x + 11} } $$
Решите неопределенные интегралы: \( 1)\; \int \frac{sin^4x}{cos^2x}dx\\ 2)\; \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}} \)
Решение: $$ 1)\; \int \frac{sin^4x}{cos^2x}dx=\int \frac{sin^2x\cdot sin^2x}{cos^2x}dx=\int tg^2x\cdot sin^2x\, dx=\\\\=\int tg^2x\cdot (1-cos^2x)dx=\int tg^2x\, dx-\int tg^2x\cdot cos^2x\, dx=\int \frac{sin^2x}{cos^2x}dx-\\\\-\int \frac{sin^2x}{cos^2x}\cdot cos^2x\, dx=\int \frac{1-cos^2x}{cos^2x}dx-\int sin^2x\, dx=\int \frac{dx}{cos^2x}-\int dx-\\\\-\int \frac{1-cos2x}{2}dx=tgx-x-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}sin2x)+C \\ 2)\; \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}}=[\, x=t^{12},\, dx=12t^{11}dt,\; \sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{t^{12}}=t^4,\, \sqrt[4]{x}=t^3\, ]=\\\\=\int \frac{12\cdot t^{11}\, dt}{t^4+2t^3}=12\int \frac{t^3\cdot t^8}{t^3(t+2)}dt=12\int \frac{t^8}{t+2}dt=\\\\=12\int (t^7-2t^6+4t^5-8t^4+16t^3-32t^2+64t-128-\frac{256}{t+2})dt=\\\\=12(\frac{t^8}{8}-\frac{2t^7}{7}+\frac{2t^6}{3}-\frac{8t^5}{5}+4t^4-\frac{32t^3}{3}+32t^2-128t-\\\\-256\cdot ln|t+2|+C,\; \; gde\; \; t=\sqrt[12]{x} $$Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием. 1) ∫xdx/7+x^2
2) ∫(x+18dx)/x^2-4x-12
3) ∫(3-x)cosxdx
Решение: x dx 1 2x dx 1 d(7+x²) 1∫ -= - ∫- =- ∫ - =- ln(7+x²)+C
7+x² 2 7+x² 2 7+x² 2
[1/2 *ln(7+x²)+C ]¹= 1/2*[ 2x /(7+x²)+0]= x /(7+x²)
x+18 (x-2)+20 1 2(x-2) dx
2) ∫-dx=∫ - dx= - ∫- dx+20 ∫ - =
x²-4x-12 (x-2)²-16 2 (x-2)²-16 (x-2)²-16
1 1 | x-2-4 | 1 5 | x-6 |
=- *ln|(x-2)²-16|+20 *- *ln |-| +C= - *ln |x²-4x-12|+-*ln |-| +C
2 2*8 | x-2+4 | 2 4 | x+2 |
3) ∫(3-x) cosx dx=[ u=3-x, du=-dx, dv=cosx dx, v=sinx ] =(3-x)sinx+∫ sinx dx=
=(3-x)sinx-cosx+C
[(3-x)sinx-cosx]¹= -sinx+(3-x)cosx+sinx +0=(3-x)cosx
Вычислить неопределенный интеграл \( \int\frac{x-3x^2+5}{x^2}dx \)
Решение: Решение:
Представим подынтегральную функцию как сумма (или разность) дробей, предварительно применив свойство линейности интеграла:
$$ \int (\frac{x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2})\, dx = \\ = \int \frac{dx}{x} - \int 3 \, dx + 5\int \frac{dx}{x^2} = \ln |x| - 3x - \frac{5}{x} + C $$
P.S. перед тем, как мы получили три интеграла, каждую дробь мы поделили на x, x² и 1 соответственно.
$$ \int\limits {1/x-3+5/x^2} \, dx =ln|x|-3x-5/x+C $$
