интеграл »
неопределенный интеграл - страница 9
Неопределенный интеграл \( \int \frac{x+4}{x^2+10x+26}dx \)
Решение: $$ I=\int {\frac{(x+5)-1}{(x+5)^2+1}} dx=\int\limits \frac{x+5}{(x+5)^2+1} dx-\int\limits \frac{1}{(x+5)^2+1} dx=I_1+I_2. $$
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:
$$ I_1 = \int {\frac{x+5}{(x+5)^2+1} d(x+5)}=[ {{x+5=u}}] = \int \frac{udu}{u^2+1} = \frac{1}{2} \int \frac{d(u^2+1)}{(u^2+1)}= \\ = \frac{1}{2} ln(u^2+1)+C_1 = \frac{1}{2} ln(x^2+10x+26)+C_1. \\ I_2 = \int {\frac{1}{(x+5)^2+1} d(x+5)}=[ {{x+5=t}}] = \int \frac{dt}{t^2+1} = arctg\ t+C_2= \\ = arctg(x+5)+C_2. $$
=> $$ I = \frac{1}{2} ln(x^2+10x+26)-arctg(x+5)+C. $$Вычислить неопределенный интеграл ()
\( \int\limits { \frac{xdx}{(x-1)^2(x^2-x+1)} } \)
Решение: Методом неопределенных коэффициентов
x/[(x-1)^2*(x^2-x+1)] = A1/(x-1) + A2/(x-1)^2 + (A3*x+A4)/(x^2-x+1) =
Приводим к общему знаменателю и получаем
x^3*(A1+A3) + x^2*(-2A1+A2-2A3+A4) + x*(2A1-A2+A3-2A4) + (-A1+A2+A4)
= -
(x-1)^2*(x^2-x+1)
Система
{ A1 + A3 = 0
{ -2A1 + A2 - 2A3 + A4 = 0
{ 2A1 - A2 + A3 - 2A4 = 1
{ -A1 + A2 + A4 = 0
{ A3 = -A1
{ A2 + A4 = A1
{ -2A1 + A1 + 2A1 = 0
{ 2A1 - A1 - A1 - A4 = 1
A1 = 0, A3 = 0, A4 = -1, A2 = A1 - A4 = 0 -(-1) = 1
Подставляем в интеграл
Int x/[(x-1)^2*(x^2-x+1)] dx = Int [1/(x-1)^2 - 1/(x^2-x+1)] dx =
= -1/(x-1) - 2/корень(3)*arctg [(2x-1)/корень(3)] + C
Вычислить неопределенный интеграл \( \int\limits {\frac{( \sqrt{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}{1+ \sqrt{x} }} \, dx \)
Решение: Очевидно дробь сократима $$ \frac{( \sqrt{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}{1+ \sqrt{x}}= \sqrt[6]{x}-1 \\ \int\limits {\frac{( \sqrt{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}{1+ \sqrt{x} }} \, dx = \int\limits {(\sqrt[6]{x}-1)} \, dx $$
Введем обозначение $$ \sqrt[6]{x}=t;x=t^6;dx=6t^5dt; $$, тогда
$$ \int\limits {(\sqrt[6]{x}-1)} \, dx=6\int\limits {(t-1)t^5} \, dt=6\int\limits {(t^6-t^5)} \, dt= \\ = \frac{6}{7}t^7-t^6+C= \frac{6}{7}x \sqrt[6]{x} -x+C. $$
Вычислите неопределенный интеграл \( \int\frac{2x^3 +5}{x^2-x-2}dx\\ \int\frac{2x^3+4x^2+2x-1}{(x+1)^2(x^2 +2x+2)}dx \)
Решение: Выделим целую часть из дроби
2x³+5 | x²-x-2
2x³-2x²-4x 2x+2
-
2x²+4x+5
2x²-2x-4
-
6x+9
Дробную часть представим как сумму дробей
x²-x-2=(x-2)(x+1)
x1+x2=1 U x1*x2=-2
(6x+9)/(x-2)(x+1)=A/(x-2)+B/(x+1)
Ax+A+Bx-2B=6x+9
(A+B)x +(A-2B)=6x+9
{A+B=6⇒A=6-B
{A-2B=9
6-B-2B= 9
3B=-3
B=-1
A=7
Получили под интегралом
(2x³+5)/(x²-x-2)=(2x+2)+7/(x-2)-1/(x+1)
$$ \int\limits {(2x+2)} \, dx + \int\limits {7/(x-2)} \, dx - \int\limits {1/(x+1)} \, dx = \ x^2+2x+7ln|x-2|-ln|x+1|+C $$
3
Сделаем преобразования подинтегральной функции
(2x³+4x²+2x-1)/[(x+1)²(x²+2x+2)]=(2x+1)/(x²+2x+2)-1/(x+1)²=
(2x+2)/(x²+2x+2)-1/(2x+2x+2)-1/(x+1)²=
=(x²+2x+2)`/(x²+2x+2)-1/[(x+1)²+1]-1/(x+1)²
$$ \int\limits {(x^2+2x+2)`/(x^2+2x+2)} \, dx - \int\limits {1/[(x+1)^2+1]} \, dx - \\ \int\limits {1/(x+1)^2} \, dx =ln|x^2+2x+2|-arctg(x+1)+1/(x+1)+C $$Дан неопределенный интеграл: (x+5)/(x^2+x-2)
Решение: Сначала знаменатель х² + х - 2 разложили на множители, вычислив его корни, например, с помощью дискриминанта: х² + х - 2 = (х + 2)(х - 1).
Затем представили исходную дробь $$ \frac{x+5}{ x^{2} +x-2} $$ как сумму дробей с различными знаменателями х + 2 и х - 1, а числители нашли, например, методом неопределенных коэффициентов:
$$ \frac{x+5}{ x^{2} +x-2} = \frac{a}{ x+2} + \frac{b}{ x-1} = \frac{ax-a+bx+2b}{ x^{2} +x-2} = \frac{(a+b)x+(2b-a)}{ x^{2} +x-2} $$
Сравниваем исходный и полученный числители:
х + 5 = (a + b)x + (2b - a)
Отсюда следует, что
$$ \left \{ {a+b=1} \atop {2b-a=5}\right. =\\= \left \{ {3b=6} \atop {a=1-b}\right. =\\= \left \{ {b=2} \atop {a=-1}\right. $$
Найденный значения для а и b подставим в числители дробей:
$$ \frac{x+5}{ x^{2} +x-2} = \frac{-1}{x+2}+ \frac{2}{x-1} =- \frac{1}{x+2}+ \frac{2}{x-1} $$Найдите неопределённый интеграл:
\( \int\limits {((2x-x)^4-17x^9+\sqrt2)} \, dx \)
Решение: $$ 2x-x=x\\\\\int ((2x-x)^4-17x^9+\sqrt2)dx=\int (x^4-17x^9+\sqrt2)dx=\\\\=\frac{x^5}{5}-17\cdot \frac{x^{10}}{10}+\sqrt2\cdot x+C $$
В скобке скорее всего была написана линейная функция, а не (2х-х). Тогда форула для интеграла будет такой:
$$ \int (kx+b)^{n}dx=\frac{1}{k}\cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1}+C $$
Например,
$$ \int (2x-3)^4dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x-3)^5}{5}+C\\\\\int \frac{dx}{(5-3x)^4}=\int (5-3x)^{-4}dx=-\frac{1}{3}\cdot \frac{(5-3x)^{-3}}{-3}+C=\frac{1}{9(5-3x)^3}+C $$
Решить нужно неопределённый интеграл \(\int\frac{(\sqrt[3]{x^2} -1)^2}{\sqrt{x^3}} dx \)
Решение: Возвести в квадрат и почленно разделить, представив в виде дробной степени :))
$$ \int{\frac{x^{\frac49}-2x^\frac23+1}{x^{\frac13}}} \, dx = \int{ (x^{\frac19} -2x^{\frac13}+x^{-\frac13})} \, dx=\frac{x^{1\frac49}}{1\frac49}-\frac{2x^{1\frac13}}{1\frac13}+\frac{3x^\frac23}2=\\\\=\frac{9x^{1\frac49}}{13}-\frac{6x^{1\frac13}}{4}+\frac{3x^\frac23}2=\frac{9x \sqrt[9]{x} }{13}-\frac{3x \sqrt[3]{x} }{2}+\frac{3 \sqrt[3]{x^2} }{2} $$
Найдите неопределенный интеграл \(\int arctg\sqrt{6x-1} dx \)
Решение: Для начала делаем замену:
$$ t= \sqrt{6x-1} \\ dt= \frac{3dx}{ \sqrt{6x-1} } = \frac{3dx}{t} \\ dx= \frac{tdt}{3} $$
Получаем такой интеграл: $$ \int\limits arctgt \frac{tdt}{3} $$
Берем его по частям:
$$ u=arctgt \\ du= \frac{dt}{t^2+1} \\ dv= \frac{tdt}{3} \\ v = \frac{t^2}{6} \\ \int\limits udv=uv-\int\limits vdu \\ \int\limits arctgt \frac{tdt}{3} = \frac{t^2arctgt}{6} - \frac{1}{6} \int\limits \frac{t^2}{t^2+1}dt = \frac{1}{6} (t^2arctgt-\int\limits \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt )= \\ = \frac{1}{6} (t^2arctgt-\int\limits (1-\frac{1}{t^2+1})dt )=\frac{1}{6} (t^2arctgt+arctgt -t)+C= \\ =\frac{t^2+1}{6} arctgt - \frac{t}{6} +C $$
Теперь обратная замена и ответ:
$$ t= \sqrt{6x-1} \\ t^2=6x-1 \\ \int\limits arctg \sqrt{6x-1} dx=xarctg \sqrt{6x-1} - \frac{\sqrt{6x-1}}{6} +C $$
Решить неопределенный интеграл \( 1) \int\limits { \frac{4}{x} } \, dx \\ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } } \, dx \)
Решение: $$ 1) \int\limits { \frac{4}{x} } \, dx =4\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx=4\ln|x|+C $$
2)
$$ \int\limits { \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } } \, dx=\int\limits { x^{- \frac{1}{3}} } \, dx= \frac{x^{- \frac{1}{3}+1} }{- \frac{1}{3}+1} +C= \dfrac{3 \sqrt[3]{x^2} }{2} +C $$
Найдите неопределенный интеграл \( \int\limits {\frac{dx}{sinx\sqrt{1+cosx}}} \, dx \)
Решение: $$ \int\limits {\frac{dx}{sinx\sqrt{1+cosx}}} \, dx =[\, cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2},\sqrt{1+cosx}=\sqrt{2cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt2cos\frac{x}{2}\, ]=\\=\int \frac{dx}{sinx\cdot \sqrt2\cdot cos\frac{x}{2}} =\int \frac{dx}{2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}\cdot \sqrt2cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{(sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2})dx}{sin\frac{x}{2}\cdot cos^2\frac{x}{2}} =\\\\=\frac{1}{2\sqrt2}\int (\frac{sin\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{sin\frac{x}{2}})dx=\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{sin\frac{x}{2}dx}{cos^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{sin\frac{x}{2}dx}{sin^2\frac{x}{2}} = \\ =\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{-2dt}{t^2}\; \; [\, t=cos\frac{x}{2},dt=-\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}dx\, ]+\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{sin\frac{x}{2}dx}{1-cos^2\frac{x}{2}}=\\\\=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{t^{-1}}{-1} +\frac{1}{2\sqrt2}\int \frac{-2dt}{1-t^2} =\frac{1}{\sqrt2\, t}-\frac{1}{\sqrt2}\int \frac{dt}{-(t^2-1)}=\\\\=\frac{1}{\sqrt2\, t}+\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{2}\cdot ln\left |\frac{t-1}{t+1} \right |+C= \\ =\frac{1}{\sqrt2cos\frac{x}{2}}+\frac{1}{2\sqrt2}\cdot ln\left |\frac{cos\frac{x}{2}-1}{cos\frac{x}{2}+1}\right |+C $$
