интеграл »

неопределенный интеграл - страница 9

  • Найти неопределённый интеграл
    \( \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{ e^{2x} + e^{x}+1}} } \)


    Решение: Самый кондовый способ
    $$ \int\limits {\frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+e^x+1}}} = \int\limits { \frac{dx}{\sqrt{(e^{x}+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} } = \\\\ e^x+\frac{1}{2}=u\\ e^xdx=du\\\\ \int\limits{\frac{du}{(u-\frac{1}{2})\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}}\\\\ u=\frac{\sqrt{3}}{2}tga\\\\ du=\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{\sqrt{3}da}{2cos^2a}}{(\frac{\sqrt{3}tga}{2}-\frac{1}{2})\sqrt{\frac{3}{4}(tg^2a+1)}}}\\ $$
    Подставляя получаем 
     $$ \int\limits{\frac{2da}{\sqrt{3}sina-cosa}} $$ 
    воспользуемся универсальной тригонометрической заменой 
     $$ sina=\frac{2t}{1+t^2}\\ cosa=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ da=\frac{2dt}{1+t^2}\\\\ \int\limits {\frac{\frac{4dt}{1+t^2}}{\sqrt{3}*\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}} =\\\\ \int\limits {\frac{4dt}{t^2+2\sqrt{3}t-1} }=\\\\ \int\limits{\frac{4dt}{(t+\sqrt{3})^2-4}} = |t+\sqrt{3}=z ; \ \ \ dt=dz\\\\ \int\limits{\frac{4dz}{z^2-4}}=ln(2-z)-ln(2+z)+C=\\\\ ln(2-t-\sqrt{3})-ln(2+t+\sqrt{3})+C=\\\\ $$
    Заменяя на $$ t $$ и $$ u $$ получаем
    Ответ $$ x-ln(2\sqrt{e^{2x}+e^x+1}+e^x+2)+C $$
      
     

  • Вычислить неопределенный интеграл ()
    \( \int\limits^4_2 { \frac{ \sqrt{x^2-4} }{x^4} } \, dx \)


    Решение: С начало отбросим числа 
    $$ \int\limits { \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}} \, dx \\\\ u=\sqrt{x^2-4}\\ du=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}dx\\\\ \frac{dx}{x^4}=dv\\ v= \int\limits { \frac{-1}{3x^3}} \, dx \\\\ $$
     то есть наш интеграл запишется
      $$ \int\limits {udv} \, dx = uv- \int\limits {vdu} \, dx $$ это формула интегрирования по частям, подставим 
      $$ \sqrt{x^2-4}*\frac{-1}{3x^3} - \int\limits {\frac{-1}{3x^2*\sqrt{x^2-4}}}dx = \\ \frac{\sqrt{x^2-4}}{3x^3} + \frac{\sqrt{x^2-4}}{12x} + C = \frac{ (x^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12x^3} $$
      последний интеграл это по таблице 
    То есть $$ \int\limits^4_2 { \frac{\qsrt{x^2-4}}{x^4}} \, dx = \frac{ (x^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12x^3}+C\\ \frac{ (4^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12*4^3}-\frac{ (2^2-4)^{\frac{3}{2}}}{12*2^3} = \frac{12^{{3}{2}}}{12*64} $$

  • Найти неопределенный интеграл ( (x^5 + 2) / (x^2 - 4) ) dx.


    Решение: $$ \int\limits {(x^3+4x+17/2(x-2)+15/2(x+2)} \, dx = \ x^4/4+2x^2+8,5ln|x-2|+7,5ln|x+2|+C $$

    X^5 + 2 делим на x^2 - 4
    Получаем, что x^5 + 2 = (x^3 + 4x)(x^2 - 4) + 16x + 2
    16x + 2 = x + 2 + 15x
    x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
    Соответственно, все выражение принимает вид
    (x^3 + 4x)(x^2 - 4)/(x^2 - 4) + (x + 2)/( (x+2)(x-2) ) + 15x/( (x+2)(x-2) )
    Раскладываем последнюю дробь по методу неопределенных коэффициентов.
    A(x - 2) + B(x + 2) = 15x
    A = B = 7.5
    Получаем выражение вида
    (x^3 + 4x) + 1/(x - 2) + 7.5/(x - 2) + 7.5/(x + 2)
    Интегрируем, получаем
    x^4 / 4 + 2x^2 + 8.5*ln|x - 2| + 7.5*ln|x + 2| + C

  • Найти неопределенный интеграл пользуясь методом разложения рациональных дробей на простейшие интеграл (5x-11)/(x(x^2+4)) dx


    Решение: $$ \mathfrak{I}=\int \dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=\int \dfrac{A}{x} dx+\int \dfrac{Bx+C}{x^2+4} dx=\\ \\ = \int \dfrac{Ax^2+4A+Bx^2+Cx}{x(x^2+4)} dx= \int \dfrac{(A+B)x^2+Cx+4A}{x(x^2+4)} dx =\ > \ \\ \\ \begin{cases} A+B=0 \\ C=5 \\ 4A=-11 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} A=-11/4 \\ C=5 \\ B=11/4 \end{cases} =\ > \ \\ \mathfrak{I}=\int \dfrac{5x-11}{x(x^2+4)} dx=\int \dfrac{- \frac{11}{4} }{x} dx+\int \dfrac{ \frac{11}{4} x+5}{x^2+4} dx= \\ \\ =- \frac{11}{4} \int \dfrac{dx}{x} +\frac{11}{4} \int \dfrac{xdx}{x^2+4} +5\int \dfrac{dx}{x^2+4} = \mathfrak{I_1}+\mathfrak{I_2}+\mathfrak{I_3} \\ \\ \mathfrak{I_1}=- \frac{11}{4} \int \dfrac{dx}{x}= - \frac{11}{4} ln\ |x|+C_1;\\ \\ \mathfrak{I_2}= \frac{11}{4} \int \dfrac{xdx}{x^2+4} =\frac{11}{8} \int \dfrac{d(x^2+4)}{x^2+4} =\frac{11}{8} ln(x^2+4)+C_2; \\ \mathfrak{I_3}=5\int \dfrac{dx}{x^2+4} = \frac{5}{2} \int \dfrac{d( \frac{x}{2}) }{( \frac{x}{2})^2+1} = \frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C_3. \\ \mathfrak{I}=- \frac{11}{4} ln\ |x|+\frac{11}{8} ln(x^2+4)+\frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C. $$
    Ответ: $$ - \frac{11}{4} ln\ |x|+\frac{11}{8} ln(x^2+4)+\frac{5}{2} arctg \frac{x}{2} +C. $$

    mathfrak I int dfrac x- x x dx int dfrac A x dx int dfrac Bx C x dx int dfrac Ax A Bx Cx x x dx int dfrac A B x Cx A x x dx begin cases A B C A - end cases begin cases A - C...

  • (32) Неопределенный интеграл. Разложение на простейшие дроби. \( \int { \frac{x-1}{x(x^2+1)} } \, dx \)


    Решение: $$ \int { \frac{x-1}{x(x^2+1)} } \, dx \\ \frac{x-1}{x(x^2+4)}= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ x-1=A(x^2+4)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+4A \\ A+B=0 \\ C=1 \\ 4A=-1 \Rightarrow A=- \frac{1}{4} \Rightarrow B= \frac{1}{4} \\ \int\ \frac{x-1}{x(x^2+1)} \, dx =- \frac{1}{4} \int\ { \frac{1}{x} } \, dx + \int\ { \frac{ \frac{1}{4}x+1 }{x^2+4} } \, dx = \\ =- \frac{1}{4}ln|x|+ \frac{1}{4} \int\ { \frac{x}{x^2+4} } \, dx + \int\ { \frac{1}{x^2+4} } \, dx = \\ \\ =- \frac{1}{4}ln|x|+ \frac{1}{8}ln(x^2+4)+ \frac{1}{2}arctg \frac{x}{2}+C $$

<< < 789 10 11 > >>