интеграл »
неопределенный интеграл - страница 6
(31) Неопределенный интеграл. Разложение на простейшие дроби.
dx/(x+1)*(3x+2)- все под интегралом
Решение: Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:
$$ \frac{1}{(x+1)(3x+2)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{3x+2} $$
Приводим дроби справа к общему знаменателю
$$ \frac{1}{(x+1)(3x+2)}= \frac{A(3x+2)+B(x+1)}{(x+1)(3x+2)} $$
Приравниваем числители
1=A(3x+2)+B(x+1)
1=(3A+B)x +2A+B
Это равенство двух многочленов. Справа многочлен первой степени. Слева можно считать тоже первой степени
0х+1
Приравниваем коэффициенты перед х и свободные слагаемы
0=3А+В
1=2А+В
Вычитаем из первого второе
-1=А
В=1-2А=1+2=3
$$ \int\ \frac{dx}{(x+1)(3x+2)}= \int\ \frac{3dx}{3x+2}- \int\ \frac{dx}{x+1}= \int\ \frac{d(3x+2)}{3x+2}- \int\ \frac{dx}{x+1}= \\ \\ =ln|3x+2|-ln|x+1|+C=ln| \frac{3x+2}{x+1}|+C $$Найдите Неопределённый интеграл.
\( \int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx \)
Найдите Определённый интеграл
\( \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx \)
Интегрирование методом замены переменной.
\( \int\limits {(3x+2)^5} \, dx \)
Решение: $$ \displaystyle \int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx =\int 4x^3\,dx-\int 6x^2\, dx-\int 4x\, dx+\int 3\, dx\\ \\ \boxed{\int\limits {(4x^3-6x^2-4x+3)} \, dx =x^4-2x^3-2x^2+3x+C} $$
========================
$$ \displaystyle \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =\int_1^22x\,dx+\int_1^23\,dx\\ \\ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =\left.x^2\right|_{1}^2+\left.3x\right|_{1}^2\\ \\ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx = (4-1)+(6-3)\\ \\ \\ \boxed{ \int\limits^2_1 {(2x+3)} \, dx =6} $$
========================
$$ \displaystyle \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\int\limits {(3x+2)^5} \cdot \dfrac{1}{3}\cdot d(3x+2)\\ \\ \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{3}\cdot\int\limits {(3x+2)^5} \, d(3x+2)\\ \\ \int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}(3x+2)^6\\ \\ \\ \boxed{\int\limits {(3x+2)^5} \, dx =\dfrac{1}{18}(3x+2)^6+C} $$Вычислить неопределенный интеграл:
1) (x)/(sin^(2)(2x))dx
2) (sqrt(x)-x+1)/(sqrt(x^(3)))
Решение: $$ 1) \int\limits { \frac{x}{sin ^{2}2x } } \, dx=[u=x,du=dx||dv= \frac{dx}{sin ^{2}2x }, v=\frac{ctg2x}{2}]= \\ =\frac{xctg2x}{2} - \int\limits \frac{ctg2x}{2} \, dx ==\frac{xctg2x}{2} - \int\limits \frac{sin2x}{2cos2x} \, dx=\frac{xctg2x}{2} + \int\limits \frac{d(cos2x)}{4cos2x} \, = \\ =\frac{xctg2x}{2} + \frac{1}{4}ln|cos2x|+C \\ \\ 2) \int\limits \frac{ \sqrt{x} -x+1}{ \sqrt{x ^{3} } } \, dx= \int\limits (\frac{ \sqrt{x}}{ \sqrt{x ^{3} } }- \frac{x}{ \sqrt{x ^{3} }} + \frac{1}{ \sqrt{x ^{3} } }) \, dx= \int\limits (\frac{ 1}{ {x } }- \frac{1}{ \sqrt{x}} + \frac{1}{ \sqrt{x ^{3} } }) \, dx= \\ =ln|x|-2 \sqrt{x} - \frac{2}{ \sqrt{x} } +C $$
Вычислите неопределенный интеграл методом замены переменной (подстановки): ∫ x^2 (3+2x^3)^4 dx
Решение: Заменим переменные t = 2x³+3
Тогда dt =6x²dx
Подставляем полученные значения в интеграл
$$ \int\limits{x^2 (3+2x^3)^4 } \, dx = \int\limits{ \frac{1}{6}*t^4 } \, dt=\frac{1}{6}\int\limits{t^4 } \, dt= \frac{t^5}{6*5}+C=\frac{t^5}{30}+C $$
Сделаем обратную замену переменных
$$ \frac{t^5}{30}+C =\frac{(2x+3)^5}{30}+C $$
Вычислить неопределенный интеграл ()
\( \int\limits { \frac{(2x+1)}{(x-1)^2(x^2+2x+3)} } \, dx \)
Решение: Метод неопределенных коэффициентов
(2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)] = A1/(x-1) + A2/(x-1)^2 + (A3*x+A4)/(x^2+2x+3) =
= [A1*(x-1)(x^2+2x+3) + A2*(x^2+2x+3) + (A3*x+A4)(x-1)^2] / [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] =
= [A1(x^3+x^2+x-3)+A2(x^2+2x+3)+A3*x(x^2-2x+1)+A4(x^2-2x+1)] /
/ [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] =
= [x^3(A1+A3)+x^2(A1+A2-2A3+A4)+x(A1+2A2+A3-2A4)+(-3A1+3A2+A4)] /
/ [(x-1)^2*(x^2+2x+3)] = (2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)]
Система
{ A1 + A3 = 0
{ A1 + A2 - 2A3 + A4 = 0
{ A1 + 2A2 + A3 - 2A4 = 2
{ -3A1 + 3A2 + A4 = 1
{ A3 = -A1
{ A1 + A2 + 2A1 + A4 = 0
{ 2A2 - 2A4 = 2
{ -3A1 + 3A2 + A4 = 1
{ A3 = -A1
{ A4 = A2 - 1
{ 3A1 + A2 + A2 - 1 = 0
{ -3A1 + 3A2 + A2 - 1 = 1
{ A3 = -A1
{ A4 = A2 - 1
{ 3A1 + 2A2 = 1
{ -3A1 + 4A2 = 2
Складываем 3 и 4 уравнения
6A2 = 3, A2 = 1/2, A4 = 1/2 - 1 = -1/2
3A1 + 2*1/2 = 1, A1 = 0, A3 = 0
Подставляем обратно в интеграл
Int (2x+1)/[(x-1)^2*(x^2+2x+3)] dx =
= Int [1/2*1/(x-1)^2 - 1/2*1/(x^2+2x+3)] dx =
= 1/2*Int 1/(x-1)^2 dx - 1/2*Int 1/((x+1)^2+2) dx =
= -1/2*1/(x-1) - 1/2*1/sqrt(2)*arctg [(x+1)/sqrt(2)] + C
