интеграл »
неопределенный интеграл - страница 6
Найти неопределенный интеграл \( \int e^{sin3x}cos3x dx \)
Решение: Прием называется введение под знак дифференциала
заметим что cos(3x)*dx = 1/3*cos(3x)*d(3x)=1/3*d(sin(3x))
действительно, (1/3*sin(3x))` = cos(3x)
тогда
integral e^(sin(3x))*cos(3x)dx = 1/3*integral e^(sin(3x))*d(sin(3x)) =1/3*integral e^y*dy = 1/3*(e^y+C) =1/3*e^y+C =1/3*e^(sin(3x))+C
******************************
при расчетах использовалась переменная у = (sin(3x))
Найти неопределенный интеграл \(\int\limits { \sqrt[3]{ln(3x+1)} /(3x+1)} \, dx \)
Решение:Ln(3x+1)=t⇒dt=3dx/(3x+1)⇒dx/(3x+1)=dt/3
$$ \int\limits { \sqrt[3]{ln(3x+1)} /(3x+1)} \, dx =1/3 \int\limits { \sqrt[n]{t} } \, dt =1/3*3/4 \sqrt[3]{t^4} = \ 1/4* \sqrt[3]{ln^4(3x+1)} +C $$
Найти неопределенный интеграл \(\int\limits {e^{5x+7}} \, dx\)
Решение: $$ \int\limits {e^{5x+7}} \, dx = \int\limits {\frac{e^{5x+7}}5} \, d(5x+7) =\frac{e^{5x+7}}5+C $$
Найти неопределенный интеграл
xln(x^2+2)dx
Решение: Замена переменной:
t=x²+2, dt=2x dx⇒ xdx= dt/2 и интегрирование по частям:
Тогда $$ \int\limits{xln( x^{2} +2)} \, dx= \int\limits{lnt} \frac{dt}{2} \, = \left[{u=lnt \atop {dv=dt}} \right. \left[ {{du= \frac{1}{t} dt} \atop {v=t2}} \right]= \\ = \frac{1}{2} (t\cdot lnt- \int\limits {t \frac{1}{t} } \, dt)= \frac{1}{2}(t\cdot lnt-t)=[t= x^{2} +2]= \\ = \frac{1}{2} ( ( x^{2} +2)ln( x^{2} +2)-( x^{2} +2)) +C $$
Найти неопределенный интеграл \(\int\limits \frac{2x^{10}+3 \sqrt[5]{x}-1 }{2x^2} dx\\ \int\limits \frac{ \sqrt[7]{ln^2(x+1)} }{x+1} dx \)
Решение: $$ \int\limits \frac{2x^{10}+3 \sqrt[5]{x}-1 }{2x^2} dx= \int\limits( \frac{2x^{10} }{2x^2} +\frac{3 \sqrt[5]{x} }{2x^2}-\frac{1 }{2x^2} )dx= \\ = \int\limits x^8dx + \frac{3}{2} \int\limits x^{-1.8}dx- \frac{1}{2} \int\limits x^{-2}dx= \\ = \frac{x^9}{9} + \frac{3}{2} * \frac{x^{-0.8}}{-0.8} - \frac{1}{2} * \frac{x^{-1}}{-1} +C= \frac{x^9}{9} - \frac{3}{1.6x^{0.8}} + \frac{1}{2x} +C \\ \int\limits \frac{ \sqrt[7]{ln^2(x+1)} }{x+1} dx= \int\limits \frac{ \sqrt[7]{ln^2(x+1)} }{x+1} d(x+1)= \int\limits \sqrt[7]{ln^2(x+1)} d(ln(x+1))= \\ = \int\limits ln^{ \frac{2}{7} }(x+1) d(ln(x+1))= \frac{ ln^{ \frac{9}{7} }(x+1)}{ \frac{9}{7} } +C= \frac{7 ln^{ \frac{9}{7} }(x+1)}{9 } +C $$
Найти неопределенный интеграл \( \int\limits{\frac{1}{(x-4)*ln^4(x-4)}} \, dx\\ \int\limits{\frac{2x+5}{\sqrt{5x^2+1}}}\,dx \)
Решение: $$ \int\limits{\frac{1}{(x-4)*ln^4(x-4)}} \, dx= \int\limits{\frac{1}{ln^4(x-4)}}*\frac{1}{x-4} \, dx= \\ =\int\limits{(ln(x-4))^{-4}} \, d(ln(x-4))=\frac{(ln(x-4))^{-4+1}}{-4+1}+C=-\frac{1}{3ln^3(x-4)}+C $$
-
$$ \int\limits{\frac{2x+5}{\sqrt{5x^2+1}}}\,dx =\int\limits { \frac{2x}{ \sqrt{5x^2+1} } } \, dx +5 \int\limits {\frac{1}{ \sqrt{5x^2+1} }} \, dx = \\ =\int\limits { \frac{1}{ \sqrt{5x^2+1} } } \, d(x^2) +5 \int\limits {\frac{1}{ \sqrt{5x^2+1} }} \, dx = \\ = \frac{1}{5} \int\limits{(5x^2+1)^{-\frac{1}{2}}}\,d(5x^2+1)+5* \frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits {\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5}x)^2+1} }} \, d(\sqrt{5}x)= \\ = \frac{1}{5}* \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}*(5x^2+1)^{- \frac{1}{2}+1}+\sqrt{5}*ln|\sqrt{5}x+ \sqrt{5x^2+1} |+C= \\ = \frac{2}{5}*\sqrt{5x^2+1}+\sqrt{5}*ln|\sqrt{5}x+ \sqrt{5x^2+1} |+C $$
-
$$ \int\limits {x^3ln(x)} \, dx=\int\limits {ln(x)} \, d(\frac{x^4}{4})=\frac{x^4}{4}*ln(x)-\int\limits {\frac{x^4}{4}} \, d(ln(x))= \\ =\frac{x^4}{4}*ln(x)-\int\limits {\frac{x^4}{4}}* \frac{1}{x}\, dx= \\ =\frac{x^4}{4}*ln(x)-\frac{1}{4}\int\limits {x^3}\, dx =\frac{x^4}{4}*ln(x)-\frac{1}{4}* \frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{4}(ln(x)-\frac{1}{4})+C $$
-
$$ \int\limits { \frac{2x^3-x^2+12x-2}{x^2-2x-8} } \, dx $$ = [деление в столбик] =
$$ = \int\limits {[2x+3+ \frac{34x+22}{x^2-2x-8} ]} \, dx=x^2+3x+ \int\limits {\frac{34x+22}{x^2-2x-8}} \, dx \\ =x^2+3x+ \int\limits {\frac{34x+22}{(x-1)^2-3^2}} \, dx =x^2+3x+ \int\limits {\frac{34x-34+56}{(x-1)^2-3^2}} \, dx= \\ =x^2+3x+ 17\int\limits {\frac{2(x-1)}{(x-1)^2-3^2}} \, dx+56\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2-3^2}} \, dx= \\ =x^2+3x+ 17\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2-3^2}} \, d((x-1)^2-3^2)+56\int\limits {\frac{1}{(x-1)^2-3^2}} \, d(x-1)= \\ =x^2+3x+ 17ln|(x-1)^2-3^2|+56* \frac{1}{2*3}*ln| \frac{x-1-3}{x-1+3}|+C= \\ =x^2+3x+ 17*ln|x^2-2x-8|+\frac{28}{3}ln| \frac{x-4}{x+2}|+C $$
Найти неопределенный интеграл способом подстановки. x/(sqrt(1-2x^2))dx
Решение: $$ \mathfrak{I}=\int \frac{xdx}{ \sqrt{1-2x^2}} $$
Первая замена $$ \sqrt{2} \cdot x=t $$
Тогда $$ x= \frac{t}{ \sqrt{2} } \ =\ > \ dx= \frac{dt}{ \sqrt{2} } $$
Получаем:
$$ \mathfrak{I}=\int \dfrac{ \frac{t}{ \sqrt{2} }* \frac{dt}{ \sqrt{2} } }{ \sqrt{1-t^2}}= \frac{1}{2} \int \dfrac{tdt}{\sqrt{1-t^2}} =- \frac{1}{2} \int \dfrac{d(1-t^2)}{2\sqrt{1-t^2}} $$
Вторая замена: $$ 1-t^2=u $$
Получаем:
$$ \mathfrak{I}=- \frac{1}{2} \int \dfrac{du}{2\sqrt{u}}=- \frac{1}{2} \sqrt{u} +C $$
Теперь вернем х:
$$ \mathfrak{I}=- \frac{1}{2} \sqrt{1-t^2} +C=- \frac{1}{2} \sqrt{1-( \sqrt{2} \cdot x) ^2} +C= - \frac{1}{2} \sqrt{1-2x^2} +C $$
найти неопределённый интеграл \( \int\limits{\frac{60}{(x^2+4)*(x+4)^2}} \, dx, \)
Решение: $$ \frac{60}{(x^2+4)(x+4)^2}= \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{(x+4)^2}+ \frac{Cx+D}{x^2+4}= \\ =\frac{A(x+4)(x^2+4)+B(x^2+4)+(Cx+D)(x+4)^2}{(x+4)^2(x^2+4)}= \\ =\frac{(A+C)x^3+(4A+B+8C+D)x^2+(4A+16C+8D)x+(16A+4B+16D)}{(x+4)^2(x^2+4)} $$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в числителе
$$ \[\left\{\begin{aligned}&A+C=0 \\& 4A+B+8C+D=0\\&4A+16C+8D=0 \\&16A+4B+16D=60\\\end{aligned}\right.\] \Rightarrow\[\left\{\begin{aligned}&A= \frac{6}{5}\\& B=3\\&C=- \frac{6}{5} \\&D= \frac{9}{5}\\\end{aligned}\right.\] \\ \frac{60}{(x^2+4)(x+4)^2}= \frac{6}{5(x+4)}+ \frac{3}{(x+4)^2}+ \frac{-\frac{6}{5}x+ \frac{9}{5}}{x^2+4}; \\ \frac{60}{(x^2+4)(x+4)^2}= \frac{6}{5(x+4)}+ \frac{3}{(x+4)^2}- \frac{6x-9}{5(x^2+4)}; $$
∫ x ln² xdx
Найти неопределённый интеграл. Результат проверить дифференцированием.
Решение: Решение сводится к трем идеям:
1) Интегрирование по частям
2) Из интегрирования по частям можно выразить неизвестный интеграл, поскольку он будет участвовать и в правой части. Надо будет его перенести в левую часть.
3) Вычисление неизвестного интеграла x*ln^2(x)*dx через нахождение более простого интеграла x*ln(x)*dx
Найти неопределенный интеграл: \( \int\limits1/(sinx-cosx), dx \)
Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
$$ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\dx=\frac{2dt}{1+t^2} $$
Где t=tg(x/2)
$$ \int\frac{1}{sinx-cosx}dx=\int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}*\frac{2dt}{1+t^2}=\int\frac{1+t^2}{2t-1+t^2}*\frac{2dt}{1+t^2}=2\int\frac{dt}{t^2+2t-1}=\\=2\int\frac{dt}{(t^2+2t+1)-2}=-2\int\frac{d(t+1)}{(\sqrt{2})^2-(t+1)^2}=-2*\frac{1}{2*\sqrt{2}}ln|\frac{\sqrt{2}+(t+1)}{\sqrt{2}-(t+1)}|+C=\\=-\frac{\sqrt{2}}{2}ln|\frac{\sqrt{2}+1+tg\frac{x}{2}}{\sqrt{2}-1-tg\frac{x}{2}}|+C $$
