неопределенный интеграл - страница 4
Неопределенный интеграл. Интегрирование иррациональной функции \( \int\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx \)
Решение: Делаем замену sqrt(x) = t,
x = t^2
dx = 2tdt
Получилось$$ \int\limits { \frac{2t^{2}}{1+t} } \, dt $$
двоечку выносим, делим числитель на знаменатель, получаем
$$ 2 \int\limits {t+ \frac{1}{t+1} -1} \, dt $$
дальше рассматриваем как сумму интегралов, в итоге получаем
t^2 +2ln(t+1)-2t +C
обратная замена
x + 2ln(sqrt(x)+1)-2sqrt(x) +C1. Исследование функции на выпуклость. алгоритм. примеры 2. найти неопределенный интеграл А=интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2)). результаты проверить дифференцированием.
Решение: интеграл((e^x+2x)dx/(e^x+x^2))=ln(e^x+x^2)(ln(e^x+x^2))’=1/(e^x+x^2)*(e^x+2x).
Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости необходимо найти
вторую производную. И определить ее знак на интервале.
Если во всех точках интервала вторая производная меньше нуля, кривая выпукла,
если производная больше нуля кривая вогнута.
Пример
y=2-x^2
y’’=-2<0 для всех х следовательно кривая обращена выпуклостью вверх.
Пример
y=x^3
y’’=6x
при x<0 y’’<0 кривая выпукла
при x>0 y’’>0 кривая вогнута.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба.
Найти неопределенный интеграл. правильность полученных результатов проверить дифференцированием интеграл (x+12)dx/x^2-x-6 Решить подробно)
Решение: $$ \int \frac{x+12}{x^2-x-6}dx=\int \frac{(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}+12}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}}dx=\\=[\, t=x-\frac{1}{2},\; dt=dx\, ]=\int \frac{t+\frac{25}{2}}{t^2-\frac{25}{4}}dt=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{25}{4}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2-\frac{25}{4})}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{2}}ln|\frac{t-\frac{5}{2}}{t+\frac{5}{2}}|=\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2-\frac{25}{4}|+ \\ +\frac{5}{2}ln|\frac{x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}}{x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}|+C=\frac{1}{2}ln|x^2-x-6|+\frac{5}{2}\cdot ln|\frac{x-3}{x+2}|+C $$Найти неопределенный интеграл
dx/\( \sqrt{4-x^2} \)
Решение: $$ \int\limits {1/ \sqrt{4-x^2} } \, dx =1/2 \int\limits {1/ \sqrt{1-x^2/4} } \\ dx = \int\limits { 1/\sqrt{1-t^2} } \, dt = \ arcsint+C=arcsin(x/2)+C $$
t=x/2⇒dt=1/2dx$$ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{4\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=\int\frac{dx}{2\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}= \\ \displaystyle =\int\frac{\frac{1}{2}dx}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}=\int\frac{d\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}}=arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+C. $$
Вычислить неопределенный интеграл \( x \sqrt{x}dx \)
Решение: Упростим подынтегральное выражение, используя свойства степеней $$ x^n \cdot x^m=x^{n+m}, \ \ \ \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}} $$
А неопределенный интеграл найдем по формуле $$ \int {x^n} \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \int {x \cdot \sqrt{x}} \, dx = \int {x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \, dx = \int {x^{\frac{3}{2}}} \, dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C =\frac{2}{5} \cdot \sqrt{x^5}+C $$
Вычислите неопределенный интеграл:
x^2*x^1/2 dx;
(8sin x - 9/cos^2 x)dx;
cos8x * sin 6x dx;
(4x-7)^6dx;
V(t)=3t^2-4t+1.
Решение: 1. $$ \int{x^2\sqrt{x}}\, dx\ =\ \int{x^{\frac{5}{2}}}\, dx\ =\ \frac{2x^{\frac{7}{2}}}{7}. $$2. $$ \int{(8sinx-\frac{9}{cos^2x})}\, dx\ =\ -8cosx-9tgx. $$
3. $$ \int{cos8x*sin6x}\, dx\ =\ \frac{1}{2}\int{sin14x}\, dx\ -\ \frac{1}{2}\int{sin2x}\, dx\ = $$
= $$ -\frac{1}{28}cos14x\ +\ \frac{1}{4}cos2x\ =\ \frac{1}{28}(7cos2x\ -\ cos14x). $$
4. $$ \int{(4x-7)^6}\, dx\ =\ \frac{1}{4}\int{(4x-7)^6}\, d(4x-7)\ =\ \frac{1}{28}(4x-7)^7. $$
5. $$ \int{(3t^2-4t+1)}\, dt\ =\ t^3-2t^2+t. $$
Найти неопределенный интеграл
\( \int\limits \frac{e^{x}dx }{ e^{2x}-5 e^{x} +4 } \)
Решение: $$ \int\limits{ \frac{e^x}{e^{2x}-5e^x+4} } \, dx = \int\limits {\frac{e^x}{(e^x-4)(e^x-1)}} \, dx = \\\\ \int\limits {\frac{4}{3(e^x-4)}-\frac{1}{3(e^x-1)}} \, dx = \frac{4}{3}\int\limits {\frac{dx}{e^x-4}} - \frac{1}{3} \int\limits {\frac{dx}{e^x-1}} \, dx \\\\\ 1) \int\limits {\frac{dx}{ e^x-4 }} = \ \ \ |e^x=u ; \ \ \ \ e^xdx=du\\\\ $$
$$ \int\limits {\frac{du}{u(u-4)}} = \int\limits ({\frac{1}{4(u-4)} - \frac{1}{4u}})du = \frac{1}{4}*ln(u-4)-\frac{lnu}{4}\\\\ $$
получаем
$$ \frac{1}{4}(ln(4-e^x)-x) $$ так же и со вторым
Получаем ответ
$$ \frac{1}{3}(ln(4-e^x)-ln(1-e^x))+C $$
Неопределенный интеграл:((x-1)/e^(2x))dx
Решение: Решаем методом: $$ u\cdot v=\int u’v+\int uv’ $$:
Из линейности интеграла следует: $$ \int\frac{1-x}{e^{2x}}dx=\int\frac{dx}{e^{2x}}dx-\int\frac{x}{e^{2x}}dx $$
Решаем сначала второй интеграл, а результат используем в подстановке.
$$ \int\frac{dx}{e^{2x}}=-\frac{1}{2e^{2x}} $$
Теперь решаем второй подстановкой
Определяем:
$$ u=x\Rightarrow\ du=dx\\ dv=\frac{1}{e^{2x}}dx\Rightarrow\ v=-\frac{1}{2e^{2x}} $$
Подставляем:
$$ -\frac{x}{2e^{2x}}=\int\frac{x}{e^{2x}}dx+\int-\frac{1}{2e^{2x}}dx\\ \int\frac{x}{e^{2x}}dx=-\frac{x}{2e^{2x}}+\int\frac{1}{2e^{2x}}dx\\ \int\frac{x}{e^{2x}}dx=-\frac{x}{2e^{2x}}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{e^{2x}}dx\\ \int\frac{x}{e^{2x}}dx=-\frac{x}{2e^{2x}}+\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{2e^{2x}}\Big)\\ \int\frac{x}{e^{2x}}dx=-\frac{x}{2e^{2x}}-\frac{1}{4e^{2x}}\\ \int\frac{x}{e^{2x}}dx=-\frac{1}{4e^{2x}}(2x+1)+\mathbf{C} $$
Ответ: $$ \int\frac{x-1}{e^{2x}}dx=-\frac{1}{2e^{2x}}+\frac{1}{4e^{2x}}(2x+1)+\mathbf{C}\\ \int\frac{x-1}{e^{2x}}dx=-\frac{1}{4e^{2x}}\Big(2x-1\Big)+\mathbf{C} $$
Вычислить неопределенный интеграл
⌡(x+2)/(x^2+x+1)dx
Решение: $$ \int {\frac{x+2}{x^2+x+1}} \, dx = \frac{1}{2}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}} \, dx +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1}} \, d(x^2+x+1) +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} \, dx = \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \, d(x+\frac{1}{2}) = \\ \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2+x+1| +\frac{3}{2}(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})+C= \\ = \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) \pm \sqrt{3}arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}})+C $$
Найти неопределенный интеграл ∫ x^2 sin(4x)dx
Решение: Простой интеграл, берется два раза по частям.
$$ \int {x^2sin4x} \, dx = \left\{\begin{Vmatrix}u = x^2&du=2xdx\\dv=sin4xdx&v=-\frac{1}{4}cos4x\end{Vmatrix}\right. = -\frac{1}{4}x^2cos4x + \\ \frac{1}{2} \int {xcos4x} \, dx = \left\{\begin{Vmatrix}u = x&du=dx\\dv=cos4xdx&v=\frac{1}{4}sin4x\end{Vmatrix}\right. = -\frac{1}{4}x^2cos4x + \\ \frac{1}{2}(\frac{1}{4}xsin4x - \frac{1}{4}\int {sin4x} \, dx ) = -\frac{1}{4}x^2cos4x + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}xsin4x + \frac{1}{16}cos4x) + \\ C = -\frac{1}{4}x^2cos4x + \frac{1}{8}xsin4x + \frac{1}{32}cos4x + C $$.
