интеграл »
найти интеграл
Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части
Решение: $$ y=|x|\\ y’=\frac{x}{|x|}\\ $$
интеграл от нее, известно что равен
$$ \int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C} $$, хотя по сути можно упрощение сделать. Это лите формальности
По формуле
$$ (x)=x-[x] $$, где $$ [x] $$ целая часть числа.
По свойству кусочных функций, сама дробная часть имеет период $$ T=1 $$, это видно из графика.
И она очевидно разрывна, что уже говорит что у нее производная будет равна
$$ {x}’=1 $$
Интеграл можно "раздробить" ориентируясь по графику, можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников, длинами катетов равными 1 и 1.
Если брать общее число каких то площадей, то тут суммарно не разберетеся, если же какой та определенный кусок есть.
к примеру от $$ 0 $$ до $$ "n" $$, то площадь этих треугольников, равна $$ \frac{1*1}{2} $$, если же перейти к примеру то
$$ \int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C $$Как решить этот интеграл: cosx/sin^5x
Решение: Первый раз по частям: u=sin5x, dv=cosx dx => du=5cos5x, v=sinx
Получим: sin5x*sinx-5 int sinx*cos5x dx.
Полученный интеграл снова берем по частям:
u=cos5x, dv=sinx dx => du=-5sin5x, v=-cosx
Получим (с учетом первого выражения) :
sin5x*sinx-5 (-cosx*cos5x-5 int cosx*sin5x dx)=
=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25 int cosx*sin5x dx
Последний интеграл - такой же, как и исходный. Обозначим его, например, Y. Тогда получим уравнение:
Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25*Y
-24Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x
Y= -(sin5x*sinx+5cosx*cos5x)/24 + C
Напишите подробное решение интегралов: \( \int\limits {(x+1)} \, dx\\\int\limits {7x^3} \, dx \\ \int\limits {\frac{6dx}{x^2}}\\ \int\limits { \frac{1}{2} \sqrt{x} } \, dx \\ \int\limits {3\cos x } \, dx \)
Решение: Основные формулы:
$$ \int\limits {kf(x)} \, dx =k \int\limits {f(x)} \, dx \\\ \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \\\ \int\limits {\cos x} \, dx = \sin x +C \\ \int\limits {(x+1)} \, dx = \frac{x^2}{2} +x+C \\ \int\limits {7x^3} \, dx =7 \int\limits {x^3} \, dx = 7\cdot \frac{x^4}{4} +C= \frac{7x^4}{4} +C \\ \int\limits { \frac{6dx}{x^2} } =6 \int\limits {x^{-2}} \, dx = 6\cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} +C=- \frac{6}{x} +C \\ \int\limits { \frac{1}{2} \sqrt{x} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits { x^{ \frac{1}{2} } } \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{ \frac{1}{2} +1} }{\frac{1}{2} +1} +C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{ \frac{3}{2} } }{\frac{3}{2} } +C= \frac{x \sqrt{x} }{3} +C \\ \int\limits {3\cos x } \, dx =3 \int\limits {\cos x } \, dx =3\sin x +C $$
Определенный интеграл, верхний предел П/4, нижний 0. x*cos(2x)dx. Распишите подробно решение
Решение: Применяем метод интегрирования по частям.
Обозначим u=x, dv= cos 2x dx
тогда du=dx. $$ v=\int\limits {cos 2x} \, dx= \int\limits {cos2x} \, \frac{d(2x)}{2} = \frac{1}{2} [sin 2x] \\ \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {xcos 2x} \, dx =x \frac{1}{2}sin2x| _{0} ^{ \frac{ \pi }{4} } - \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 { \frac{1}{2} sin2x} \, \frac{d(2x)}{2} = \frac{ \pi }{8} sin \frac{ \pi }{2} + \frac{1}{4} cos2x| _{0} ^{ \frac{ \pi }{4} } = \\ \frac{ \pi }{8} + \frac{1}{4}cos \frac{ \pi }{2} - \frac{1}{4} cos0= \frac{ \pi }{8} - \frac{1}{4} $$
Как решать? Можно с подробным решениям.
интеграл сosx/tg(^5)x
Решение: $$ \int \frac{cosx\cdot dx}{tg^5x} =\int \frac{cosx\cdot dx}{ \frac{sin^5x}{cos^5x} } =\int \frac{cos^5x\cdot cosx\cdot dx}{sin^5x} =\\\\=[\, u=cos^5x,\; du=-5cos^4x\cdot sinx\, dx,\; dv= \frac{cosx\cdot dx}{sin^5x},\\\\v=\int \frac{cosx\, dx}{sin^5x}=\int \frac{d(sinx)}{sin^5x} =\int (sinx)^{-5}\cdot d(sinx)=\int t^{-5}dt=\\\\= \frac{t^{-4}}{-4}= \frac{(sinx)^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4sin^4x} \; ;\; \; \int u\cdot dv=uv-\int v\, du\; ]= \\ =- \frac{cos^5x}{4sin^4x} -\int \frac{5cos^4x\cdot sinx\, dx}{4sin^4x} =- \frac{cos^5x}{4sin^4x} -\frac{5}{4}\, \int \frac{cos^4x\, dx}{sin^3x} =\\\\=[\, u=cos^3x,du=-3cos^2x\cdot sinx\, dx,dv= \frac{cosx\, dx}{sin^3x}=(sinx)^{-3}\cdot cosx\, dx, \\ v=\int (sinx)^{-3}\cdot d(sinx)=\frac{(sinx)^{-2}}{-2}=- \frac{1}{2sin^2x}\; ]=\\\\=- \frac{cos^5x}{4sin^4x} - \frac{5}{4} \cdot (\frac{cos^3x}{2sin^2x} - \frac{3}{2}\, \int \frac{cos^2x\cdot sinx\, dx}{sin^2x} )=\\\\=- \frac{cos^5x}{4sin^4x} - \frac{5}{8} \cdot \frac{cos^3x}{sin^2x}+\frac{15}{8}\cdot \int \frac{cos^2x\, dx}{sinx} =\\\\=- \frac{cos^5x}{4sin^4x}-\frac{5}{8}\cdot \frac{cos^3x}{sin^2x} + \frac{15}{8} \cdot \int \frac{(1-sin^2x)dx}{sinx}= \\ = -\frac{cos^5x}{4sin^4x}-\frac{5cos^3x}{8sin^2x}+\frac{15}{8}\cdot (\int \frac{dx}{sinx}-\int sinx\, dx)=\\\\=[\, \int \frac{dx}{sinx}=(t=tg\frac{x}{2},\, sinx=\frac{2t}{1+t^2},dx= \frac{2dt}{1+t^2}\, )=\\\\=\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C\, ]= \\ =-\frac{cos^5x}{4sin^4x}- \frac{5cos^3x}{8sin^2x} + \frac{15}{8}\cdot ln\left |tg\frac{x}{2}\right |+\frac{15}{8} \cdot cosx+C $$
