интеграл »
найти интеграл - страница 2
Решите Интеграл хdх/(х+1)(х+2)(х+3)
Решение: Подинтегральную функцию представим в виде
$$ \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} $$
Тогда
A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x+2)=x
a(x²+5x+6)+B(x²+4x+3)+C(x²+3x+2)=x
{A+B+C=0
{5A+4B+3C=1
{6A+3B+2C=0
Первое умножаем на -5 и складываем со вторым, затем умножаем на -6 и складываем с третьим
{A+B+C=0
{ -B-2C=1
{ -3B-4C=0
Второе умножаем на -3 и складываем с третьим
{A+B+C=0
{ -B-2C=1
{ 2C=-3
{A=-B-C
{ B=-2C-1
{ C=-3/2
{A=-0,5
{B=2
{C=-1,5
Получаем
$$ \int\limits \frac{xdx}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\int\limits( \frac{-0.5}{x+1} + \frac{2}{x+2} + \frac{-1.5}{x+3})dx= \\ =-0.5ln|x+1|+2ln|x+2|-1.5ln|x+3|+C $$
Интеграл 3х√х dx
Решение: Можно решить двумя способами.
1. представить √x в виде степени, т. е. $$ x^{ \frac{1}{2} } $$, тогда подынтегральная функция примет вид:
$$ \int\limits {3x*x^{ \frac{1}{2} }} \, dx= \int\limits {3x^{ \frac{3}{2} }} \, dx $$
Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от данной функции:
$$ \int\limits {3x^{ \frac{3}{2} }} \, dx=3 \int\limits {x^{ \frac{3}{2} }} \, dx $$
Интеграл $$ \int\limits {x^{n}} \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1} \\ \int\limits{x^{ \frac{3}{2} }} \, dx= \frac{x^{ \frac{3}{2}+1 }}{ \frac{3}{2}+1 }= \frac{x^{ \frac{5}{2} }}{ \frac{5}{2} }= \frac{2x^{ \frac{5}{2} }}{5}+C $$
Подставляем в наш исходный интеграл
$$ \int\limits {3x \sqrt{x} } \, dx =3 \int\limits {x^{ \frac{3}{2} }} \, dx =3* \frac{2x^{ \frac{5}{2} }}{5}= \frac{6x^{ \frac{5}{2} }}{5} +C $$
2. Введём замену переменной
u=√x
тогда $$ du= \frac{dx}{2 \sqrt{x} } $$
отсюда $$ dx=2 \sqrt{x} *du=2u*du $$
Подставляем
$$ \int\limits{3*u^2*u*2u} \, du = 3\int\limits {u^4} \, du =6 \frac{u^5}{5}+C $$
Выполняем обратную замену
$$ \frac{6u^5}{5}+C= \frac{6x^{ \frac{5}{2} }}{5} +C $$
Найти интеграл ∫(3х+5/х^2 -9x +1)dx
Решение: $$ \int \frac{3x+5}{x^2-9x+1}dx=\int \frac{3x+5}{(x-\frac{9}{2})^2-\frac{77}{4}}dx=[t=x-\frac{9}{2},x=t+\frac{9}{2},dx=dt]=\\\\=\int \frac{3t+\frac{37}{2}}{t^2-\frac{77}{4}}dt=\frac{3}{2}\int\frac{2t\, dt}{t^2-\frac{77}{4}}dt+\frac{37}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{77}{4}}=\\\\=\frac{3}{2}\cdot ln|t^2-\frac{77}{4}|+\frac{37}{2}\cdot \frac{2}{2\cdot \sqrt{77}}\cdot ln|\frac{t-\frac{\sqrt{77}}{2}}{t+\frac{\sqrt{77}}{2}}|+C= \\ =\frac{3}{2}ln|x^2-9x+1|+\frac{37}{2\sqrt{77}}\cdot ln|\frac{2x-9-\sqrt{77}}{2x-9+\sqrt{77}}|+C $$Найти интеграл S (1 + 1/4х)^2 хdx, Найти интеграл S е^х (е^х +1)^4 dx, Найти интеграл S cos^3 4xdx, Вычислить S (внизу 0 наверху 2) dx/ (2+1)^2
Решение: S(1+ 1/4х)^2 хdx=S(1+(1/2)x+(1/16)*x^2)xdx =S(x+(1/2)x^2+(1/16)*x^3)dx =(1/2)x^2++(1/6)x^3+(1/64)*x^4 +C
S е^х (е^х +1)^4 dx = S(e^x+1)^4(de^x+1) = (1/5)(e^x+1)^5+C
S cos^3 4xdx = S(cos^2(4x)*cos4x )dx = (1/4)S(1-sin^2(4x))cos4xd(4x)=
=(1/4)S(1-sin^2(4x)dsin4x= (1/4)*(sin4x-(1/3)sin^3(4x))+C
S (внизу 0 наверху 2) dx/ (2+1)^2 = S(от0 до 2)(1/3^2)dx =(1/9)S(от0до2)dx=(1/9)x Iот0 до 2I=
(1/9)*(2-0) =2/9
Интеграл от 1 до -1 (х3 +2х)dx =
Решение: Найдем сначала неопределенный интеграл
интегрируем почленно
$$ \int\limits { x^{3}+2x } \, dx = \int\limits{ x^{3} } \, dx + \int\limits {2x} \, dx= x^{4}/4+ x^{2} +C $$
определенный интеграл=
-1 -1
S(x^3+2x)dx=F(-1)-F(1)=((x^4/4)+x^2)/ =(-1)^4/4+(-1)^2-(1)^4/4-1^2=1/4+1-1/4-1=0
1 1
ответ 0