интеграл »

найти интеграл - страница 2

  • Найти интеграл dx / sqrt(8+2х-х^2)


    Решение: $$ \displaystyle \int \frac{1}{ \sqrt{8+2x-x^2}}\, dx = \int{ \frac{1}{ \sqrt{8+1-1+2x-x^2}}} \, dx= \\\displaystyle\int { \frac{1}{ \sqrt{9-(x-1)^2}}}\,dx = (x-1=a; dx=da)= \int { \frac{1}{ \sqrt{9-a^2}} } \, da= \\ \displaystyle =\int{ \frac{1}{3 \sqrt{1-a^2/9} }} \, da= \frac{1}{3} \int{ \frac{1}{ \sqrt{1-a^2/9}}} \, da=(a/3=t;1/3da=dt)= \\ \displaystyle= \frac{1}{3} \int{ \frac{1}{1/3 \sqrt{1-t^2}} } \, dt= \int { \frac{1}{ \sqrt{1-t^2}}} \, dt=arcsin(t)+C=(t=a/3)= \\ \displaystyle=arcsin(a/3)+C=(a=x-1)=arcsin \frac{x-1}{3}+C $$

  • S=интеграл от 3 до -3 (х^2+9)dx=(x^3/3 + 9x)=


    Решение: Сначала находим неопределённый интеграл F(x) - это вы сделали верно.

    Потом находим определённый как F(x2)-F(x1), где x2 - верхний, а x1 - нижний пределы интегрирования.

    В верхнем: (3^3/3 + 9*3)=36

    В нижнем: ((-3)^3/3 + 9*(-3))= -36

    Итого: 36 - (-36) = 72

    , если сильно надо, можно проверить графиком

  • чему равен интеграл от 2 до -2 от (4-х^2)dx = ?

    и интеграл от п/4 до 0 от 3cos2x dx = ?


    Решение: $$ \\\int \limits_{-2}^2 4-x^2\, dx=\\ \Big[4x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-2}^2=\\ 4\cdot2-\frac{2^3}{3}-(4\cdot(-2)-\frac{(-2)^3}{3})=\\ 8-\frac{8}{3}-(-8+\frac{8}{3})=\\ 16-\frac{16}{3}=\\ \frac{48}{3}-\frac{16}{3}=\\ \frac{32}{3} \\ \\\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}3\cos2x\, dx=\\ 3\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\cos2x\, dx=(*)\\ t=2x\\ dt=2\, dx\\ dx=\frac{1}{2}dt\\ 3\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\cos t\cdot\frac{1}{2}dt=\\ \frac{3}{2}\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\cos t\, dt=\\ \frac{3}{2}\Big[\sin t\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ (*)=\frac{3}{2}\Big[\sin 2x\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}=\\ \frac{3}{2}(\sin (2\cdot\frac{\pi}{4})-(\sin (2\cdot0)))=\\ \frac{3}{2}(\sin (\frac{\pi}{2})-(\sin 0))=\\ \frac{3}{2}(1-0)=\\ \frac{3}{2} $$

  • Интеграл от 4 до 0 (2√х - х²/4)dx.


    Решение: Разность интегралов
    $$ \int\limits^0_4 { 2\sqrt{x}} \, dx - 1/4* \int\limits^0_4 { x^{2}} \, dx = 2* (x^{3/2} /(3/2) ) | - 1/4* x^{3}/ 3) | $$ = 
    1/12 вместо 1/2
    окончательно
    - 32/3 + 64/12 = - 128/12 + 64/12 = - 64/12 = - 16/3

    Разность интегралов int limits sqrt x dx - int limits x dx x - x   вместо окончательно- - - -...

  • Найти интеграл
    \( \int\limits \)(2\( x^{3} \)+х-5)dx


    Решение: $$ \int\limits {2}{x^{3}}dx = 2 \int\limits x^{3} \\dx = 2 * (x^{4})/4 =\\ = (x^{4})/2 \\ \int\limits {xdx} = (x^{2})/2 \\ \int\limits{-5dx} = -5 \int\limits{ dx }= -5x$$
    -
    Відповідь: $$ (x^{4} + x^{2})/2 - 5x $$

  • 1. Какая из функций является первоначальной для функции ∫(х)=3х²
    2. Найдите для функции f(х) = 8х³, первоначальную, график которой проходит через точку А (1, 2).
    3. Вычислите интеграл \( \int\limits^0_ 1 ({x} +1)\, dx \)


    Решение: 1) Для этого находим интеграл функции
    Y 3x²
    ∫3x²dx = x³ + С - ОТВЕТ
    2) Находим интеграл функции
    Y = 8x³
    Z = ∫8x3dx = 1/4*8*x⁴ + С = 2*x⁴ +С
    Чтобы найти значение С подставим значения координат точки А(1;2) = Х=1 Z=2
    Z = Ay  = 2 = 2*1⁴ + C или С = 0 
    Z= 2*x⁴ - ОТВЕТ
    3) Вычислить интеграл функции
    Y =  ∫(x+1)dx = 1/2*x² + x + С
    Y(0) = 0
    Y(1) = 3/2 - 
    Как написано = от 1 до 0, то ОТВЕТ : -3/2

  • Решите ИНТЕГРАЛЫ \( \int\dfrac{\sqrt[3]{\arctan x}}{1+x^2}dx\\ \int \tan 3x\,dx\\ \int\cos^8x\sin x\,dx\\ \int\dfrac{x}{(x-2)(x^2+6x+8)}dx\\ \int(3-x)\sin x\,dx\\ \int\dfrac{dx}{\sin^2\frac x6}\\ \int\dfrac{x^2+1}{(x-1)^3(x+3)}dx\\ \int \dfrac{3x+4}{\sqrt{-x^2+6x-8}}\,dx\\ \int \arcsin\dfrac x2\,dx \)


    Решение: Везде опускаю константу интегрирования.

    $$ \int\dfrac{\sqrt[3]{\arctan x}}{1+x^2}dx=\int t^{1/3}dt=\dfrac{3t^{4/3}}4 $$

    (замена t=atctg x)

    $$ \int \tan 3x\,dx=-\dfrac13\ln|\cos3x| \\ \int\cos^8x\sin x\,dx=-\int t^8\,dt=\dfrac{t^9}9 $$

    t=cos x

    $$ \int\dfrac{x}{(x-2)(x^2+6x+8)}dx=\int\left(\dfrac{1/4}{x-2}-\dfrac{1/3}{x+4}+\dfrac{1/12}{x-2}\right)\,dx=\\=\dfrac14\ln|x-2|-\dfrac13\ln|x+4|+\dfrac1{12}\ln|x-2| \\ \int(3-x)\sin x\,dx=-3\cos x+x\cos x-\int\cos x\,dx=(x-3)\cos x\\-\sin x \\ \int\dfrac{dx}{\sin^2\frac x6}=-6\cot \dfrac x6 \\ \int\dfrac{x^2+1}{(x-1)^3(x+3)}dx=\int\left(\dfrac{-5/32}{x+3}+\dfrac{5/32}{x-1}+\dfrac{3/8}{(x-1)^2}\right.+\\+\left.\dfrac{1/2}{(x-1)^3}\right)\,dx=-\dfrac5{32}\ln|x+3|+\dfrac5{32}\ln|x-1|-\dfrac{3/8}{x-1}-\\-\dfrac{1/4}{(x-1)^2} \\ \int \dfrac{3x+4}{\sqrt{-x^2+6x-8}}\,dx=\int\dfrac{-\frac32(-2x+6)+13}{\sqrt{-x^2+6x-8}}\,dx=\\=-3\sqrt{-x^2+6x-8}+13\int\dfrac{dx}{\sqrt{-x^2+6x-8}}=-3\sqrt{-x^2+6x-8}\\+13\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-(x-3)^3}}=-3\sqrt{\dots}+13\arcsin(x-3) \\ \int \arcsin\dfrac x2\,dx=x\arcsin\dfrac x2-\int\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=x\arcsin\dfrac x2+\\+\sqrt{4-x^2} $$

  • Найти производные, используя правила вычисления производных \(1)\; y=-\frac{1}{7}x^3-2cosx+11,3\\2)\; y=\sqrt3sinx\cdot \sqrt[4]{x}\\ 3)\; y=cos^3x+3sin^2x\\ \)
    Найти неопределенные интегралы \( \int (2-13x^7-2\sqrt[4]{x^7}+\frac{1}{x^3})dx\\ \int arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx\;,\; du\\ \)


    Решение: $$ 1)\; y=-\frac{1}{7}x^3-2cosx+11,3\\\\y’=-\frac{3}{7}x^2+2sinx\\\\2)\; y=\sqrt3sinx\cdot \sqrt[4]{x}\\\\y’=\sqrt3cosx\cdot \sqrt[4]{x}+\sqrt3sinx\cdot \frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}\\\\3)\; y=cos^3x+3sin^2x\\\\y’=3cos^2x\cdot (-sinx)+6sinx\cdot cosx=-3cos^2x\dot sinx+3sin2x\\\\4)\int (2-13x^7-2\sqrt[4]{x^7}+\frac{1}{x^3})dx=2x-13\cdot \frac{x^8}{89}-2\cdot \frac{x^{\frac{11}{4}}\cdot 4}{11}+\frac{x^{-2}}{-2}+C \\ \int arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx\;,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;,\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx-\int \frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}=x\cdot arcsinx+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}+C $$

  • Интегралы решить: \( \int\limits {( \frac{4x^{3}}{3}- \frac{3x^{2}}{2}+8)}\\ \int\limits^4_0 {(1+e^{x})}\)
    \( \frac{3-2i}{1+3i} \)


    Решение:  

    2) $$ \int\limits {( \frac{4x^{3}}{3}- \frac{3x^{2}}{2}+8)} \, dx=\frac{4x^{4}}{4*3}-\frac{3x^{3}}{3*2}+8x+C=\frac{x^{4}}{3}-\frac{x^{3}}{2}+8x+C $$
    4) $$ \int\limits^4_0 {(1+e^{x})} \, dx=x+e^{x}|^{4}_{0}=4+e^{4}-0-e^{0}=4+e^{4}-1=3+e^{4} $$
    5) $$ \frac{3-2i}{1+3i}= \frac{(3-2i)*(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{3-9i-2i+6i^{2}}{1-9i^{2}}= \ =\frac{-3-11i}{1+9}=-\frac{3+11i}{10}=-0.3-1.1*i $$

        int limits frac x - frac x dx frac x - frac x x C frac x - frac x x C   int limits e x dx x e x e - -e e - e   frac - i i frac - i - i i - i frac - i- i i - i frac - - i...

  • Решите уравнение:
    2) х знак интеграла 1 (1-4t) dt = 12 - 9x;
    4) -2 знак интеграла x (5t +1)dt = 6+x.


    Решение: 0. Непонятно, относительно какой переменной решать уравнения. Предположу, что относительно х.
    1. Непонятно условие, что за 1 под знаком интеграла?
    2. Так как интегрирование идёт по t, х под знаком интеграла - обычная константа, поэтому, проинтегрировав по t, получим
    -2*x*(5*t*t/2 + t) = 6+x
    Это линейное уравнение относительно х.
    x*(1 +2*t + 5*t*t) = -6
    x = -6/(5*t*t + 2*t + 1)
    это и есть ответ.
    Осталось слегка поисследовать его. Знаменатель не может быть равным 0, попробуем найти, когда  это происходит и происходит ли вообще.
    Найдём дискриминант квадратного трехчлена знаменателя  
    D = 4-4*5*1<0
    Уравнение в области действительных чисел не имеет решений, а значит и знаменатель никогда в 0 не обратится.

<< < 12 3 4 > >>