интеграл »
найти интеграл - страница 4
Интеграл от xdx/( x+3)
Решение: В числители надо сделать так, чтобы выражение стало как в знаменателе. Для этого к иксу прибавим 3 и вычтем 3, чтобы выражение не изменилось:
интеграл(x+3-3)dx/(x+3). Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: интеграл 1-3/(x+3)dx. Дальше интегрируем каждую часть: x-3lnмодуль x+3+C
Найти интеграл \(\int\frac{x^{-1/3} -1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx \)
Решение: $$ \int \frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{\sqrt[3]{x^2}} dx=\\\\ \int (x^{-\frac{1}{3}}-1)x^{-\frac{2}{3}} dx=\\\\ \int (x^{-1}-x^{-\frac{2}{3}}) dx=\\\\ ln|x|-\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C=\\\\ ln|x|-3\sqrt[3] {x}+C $$C є R
$$ \int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx=\int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx - \int{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx=\int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}\, dx - \int{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}\, dx= \\ \int{x^{-1}}\, dx - \int{x^{-\frac{2}{3}}}\, dx=ln{x}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=ln{x}-3*x^{\frac{1}{3}}+C $$
Найти неопределённый (обычный) интеграл и
проверить его дифференцированием (взять производную, кроме 1-ого номера):
\( 1a). \ \ \ \ \int{ d ( arcsin{x} ) } \ ; \)\( 1b). \ \ \ \ \int{ d|x| } \ ; \)\( 1c). \ \ \ \ \int{ d \ln{ arctg{x} } } \ ; \)
\( 2a). \ \ \ \ \int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } \, dx \ ; \)\( 2b). \ \ \ \ \int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } \, dx \ ; \)
\( 2c). \ \ \ \ \int{ \frac{6dx}{ (x-12)^3 } } \ ; \)\( 2d). \ \ \ \ \int{ \frac{12dx}{ (19-x)^7 } } \ ; \)
\( 3a). \ \ \ \ \int{ \frac{3dx}{ 9-2x } } \ ; \)\( 3b). \ \ \ \ \int{ \frac{2dx}{ 3x-7 } } \ ; \)
\( 4a). \ \ \ \ \int{ \frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } \ ; \)\( 4b). \ \ \ \ \int{ \frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } \ ; \)\( 4c). \ \ \ \ \int{ \frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } \ ; \)
Решение: $$ 1a). \ \ \int d(\arcsin x)=\arcsin x+C\\\\ 1b). \ \ \int d|x|=|x|+C\\\\ 1c). \ \ \int d\ln \arctan x=\ln (\arctan x)+C \\ 2a). \ \ \int (8x^3-12(2-x)^5)dx=\int 8x^3dx-\int 12(2-x)^5dx=\\\\ =8\int x^3dx+12\int(2-x)^5d(2-x)=8\cdot \frac{x^4}{4}+ \frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\\\ =2x^4+2(2-x)^6+C $$
Проверка:
$$ (2x^4+2(2-x)^6)’=8x^3+2\cdot6\cdot(-1)\cdot(2-x)^5\cdot=8x^3-12(2-x)^5 $$
Проверка:
$$ 2c). \ \ \int \frac{6dx}{(x-12)^3} =6\int(x-12)^{-3}d(x-12)=6\cdot \frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- \frac{3}{(x-12)^2} +C $$
Проверка:
$$ (- \frac{3}{(x-12)^2} )’=-3\cdot((x-12)^{-2})’=-3\cdot(-2)\cdot(x-12)^{-3}= \frac{6}{(x-12)^3} \\ 2d). \ \ \int \frac{12dx}{(19-x)^7}=12\int (19-x)^{-7}dx=\\\\=-12\int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12\cdot \frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= \frac{2}{(19-x)^6}+C $$
Проверка:
$$ ( \frac{2}{(19-x)^6})’=2\cdot((19-x)^{-6})’=2\cdot(-6)(-1)\cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= \frac{12}{(19-x)^7} \\ 3a). \ \ \int \frac{3dx}{9-2x} =3\int \frac{dx}{9-2x} =- \frac{3}{2} \int \frac{d(9-2x)}{9-2x}=- \frac{3}{2}\ln|9-2x|+C $$
Проверка:
$$ - \frac{3}{2}(\ln|9-2x|)’=- \frac{3}{2}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{9-2x}= \frac{3}{9-2x} \\ 3b). \ \ \int \frac{2dx}{3x-7}=2\int \frac{dx}{3x-7}= \frac{2}{3} \int \frac{d(3x-7)}{3x-7}= \frac{2}{3}\ln|3x-7|+C $$
Проверка:
$$ ( \frac{2}{3}\ln|3x-7|)’= \frac{2}{3}\cdot3\cdot \frac{1}{3x-7}= \frac{2}{3x-7} \\ 4a). \ \ \int \frac{4xdx}{2x^2-5}= \frac{4}{2}\int \frac{2xdx}{2x^2-5}=2\int \frac{dx^2}{2x^2-5}= \frac{2}{2}\int \frac{d2x^2}{2x^2-5} =\int \frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\\\ =\ln |2x^2-5|+C $$
Проверка:
$$ (\ln |2x^2-5|)’= \frac{1}{2x^2-5} \cdot 4x= \frac{4x}{2x^2-5} \\ 4b). \ \ \int \frac{11xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{2}\int \frac{2xdx}{7x^2+6}=\\= \frac{11}{14} \int \frac{d7x^2}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\int \frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\ln |7x^2+6|+C $$
Проверка:
$$ ( \frac{11}{14}\ln|7x^2+6| )’= \frac{11}{14}\cdot(\ln|7x^2+6|)’\cdot(7x^2+6)’= \frac{11}{14}\cdot14x\cdot \frac{1}{7x^2+6}=\\\\ = \frac{11x}{7x^2+6} $$
Проверка:
$$ ( \frac{1}{6}\ln|9x^2-x|)’= \frac{1}{6}(\ln|9x^2-2|)’\cdot(9x^2-2)’= \frac{1}{6}\cdot18x\cdot \frac{1}{9x^2-2}= \frac{3x}{ 9x^2-2} $$
интеграл dx/(x-1)(X+3)
Решение: $$ \int\limits { \frac{dx}{(x-1)(x+3)} } \, \\ \frac{1}{(x-1)(x+3)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}= \frac{Ax+3A+Bx-B}{(x-1)(x+3)}= \frac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)} $$.
$$ \left \{ {{A+B=0} \atop {3A-B=1}} \right.\Rightarrow \left \{ {{A= \frac{1}{4} } \atop {B=-\frac{1}{4}}} \right. \\ \int\limits { \frac{dx}{(x-1)(x+3)} } \,= \frac{1}{4} \int\limits { \frac{dx}{x-1} } \,\frac{1}{4} \int\limits { \frac{dx}{x+3} } \,=\\= \frac{1}{4}ln|x-1|- \frac{1}{4}ln|x+3|+C= \frac{1}{4}ln \frac{|x-1|}{|x+3|}+C $$.
Интеграл от 3 до а. dx/(3+x)^2=1/30
Найти значение а.
Решение: $$ \int\limits^a_3 { \frac{1}{(x+3)^2} } \, dx = \frac{1}{30} \\ \int^a_3{(x+3)^{-2}} \, d(x+3) = \frac{1}{30} \\ \frac{1}{-2+1}*(x+3)^{-2+1}|_3^a=\frac{1}{30} \\ \frac{1}{-1}*(x+3)^{-1}|_3^a=\frac{1}{30} \\ \frac{1}{x+3}|_3^a=-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}- \frac{1}{3+3}=-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{5}) \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}*\frac{4}{5} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{\frac{6*5}{4}} \\ a+3=\frac{6*5}{4} \\ a+3=7.5 \\ a=4.5 $$
Интеграл (x^2*dx)/(x^3+8)
Решение: Решение подстановкой в аргумент.
Определяем функцию:
$$ \alpha(x)=x^3+8\\ \frac{d\alpha}{dx}=3x^2\Rightarrow d\alpha=3x^2dx $$
Подставляем в интеграл:
$$ \int \frac{x^2}{x^3+8}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2dx}{x^3+8}=\frac{1}{3}\int\frac{d\alpha}{\alpha} $$
Получили мгновенный интеграл по $$ \alpha $$.
Решаем: $$ \int\frac{d\alpha}{\alpha}=\ln|\alpha| $$
Подставляем обратно как функцию $$ x $$:
$$ \ln|\alpha|=\ln|x^3+8| $$
Ответ: $$ \int\frac{x^2}{x^3+8}dx=\frac{1}{3}\ln|x^3+8|+\mathbf{C} $$РЕШИТЕ 2X³-∛X +3√X dx
5x² НЕОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Решение: ∫ (2X³-∛X +3√X ) / 5x² = ∫ 2X³/5x² dx -∫ ∛X/5x² dx +∫ 3√X/5x² dx =
= 2/5 ∫ X³/x² dx - 1/5 ∫ ∛X/x² dx + 3/5 ∫√X/x² dx =
=2/5 ∫ X dx - 1/5 ∫ ∛X/x² dx + 3/5 ∫√X/x² dx =
= 1/5 x^2 + 3/10 ∛x/x - 6/5 *1/√x =
= x^2/5 + 3∛x/10x - 6/5√x
$$ \int\limits { \frac{2x^3- \sqrt[3]{x}+3 \sqrt{x} }{5x^2} } \, dx = \int\limits \frac{2x^3}{5x^2}dx -\int\limits \frac{ \sqrt[3]{x} }{5x^2}dx+\int\limits \frac{3 \sqrt{x} }{5x^2}dx = \\ \\ = \int\limits \frac{2}{5}xdx-\int\limits \frac{1}{5}x^{- \frac{5}{3} }dx+\int\limits \frac{3}{5}x^{- \frac{3}{2} }dx= \frac{x^2}{5} + \frac{3 \sqrt[3]{x} }{10x}- \frac{6 \sqrt{x} }{5x} = \\ \\ = \frac{2x^3+3 \sqrt[3]{x}- 12 \sqrt{x} }{10x} $$
Решите : \( \int\limits^ 0_4 { \frac{dx}{ x^{2} +3 x -4} } \, \)
только интеграл от -4, до 0
Решение: Разложим эту дробь на простейшие.
$$ \frac{1}{x^2+3x-4}=\frac{1}{(x+4)(x-1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+4)}{(x+4)(x-1)}\\1=A(x-1)+B(x+4)\\\\x=1:\ \ \ \ \ 1=A*0+B*5\Rightarrow B=\frac{1}{5}\\x=-4:\ \ \ 1=A*(-5)+B*0\Rightarrow A=-\frac{1}{5}\\\frac{1}{x^2+3x-4}=\frac{-\frac{1}{5}}{x+4}+\frac{\frac{1}{5}}{x-1}=\frac{1}{5(x-1)}-\frac{1}{5(x+4)}\\\\\int\limits_{-4}^0\frac{dx}{x^2+3x-4}=\int\limits_{-4}^0(\frac{1}{5(x-1)}-\frac{1}{5(x+4)})dx=\frac{1}{5}*(ln|x-1|-ln|x+4|)|^0_{-4}= \\ =\frac{1}{5}*(ln1-ln4-(ln5-ln0))=\frac{1}{5}*(0-ln20+(-\infty))=-\infty $$1. Тело движется прямолинейно со скоростью \( v(t)= t^{3} +t \) м/с Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от 1с до 2с
2. Вычислите интегралы:
1. \( \int\limits^2_1 {(/x/+/x-3/)} \, dx \)
2. интеграл от -2 до -1 \( \frac{dx}{(5x+11)^{3} } \)
3. интеграл от -2 до -1 \( (/x/+/x-3/dx) \)
3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите: интеграл от -4 до 4 \( \sqrt{64- x^{2} } \)
Решение: Первообразная от пути есть ПУТЬ.
$$ S= \int\limits^2_1 {(t^3+t)} \, dx= \frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} |^2_1=5,25 $$ м
Ответ: 5,25 м.
$$ \int\limits^2_1 {(|x|+|x-3|)} \, dx =3 \\ \int\limits^{-1}_{-2} { \frac{1}{(5x+11)^3} } \, dx =- \frac{1}{10(5x+11)^2} |^{-1}_{-2}= \frac{7}{72} \\ \int\limits^{-1}_{-2} {(|x|+|x-3|)} \, dx =6 \\ \int\limits^4_{-4} { \sqrt{64-x^2} } \, dx = \frac{1}{2} x\sqrt{64-x^2} +32\arcsin \frac{x}{8} |^4_{-4}=16 \sqrt{3} + \frac{32 \pi }{3} $$
Найти интеграл \( \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{9x-1} } \\ \int\limits \frac{dx}{1-4x} \\ \int\limits sin (4x-5)dx\\ \)
Решение:
