найти интеграл - страница 6
1) Вычислите предел: lim стремящийся к бесконечности (2x^4+7-1)/3x^4+6
2) Решите неравенство: (x+5)(x-3)/x-7<0
3) Решите уравнение: log по основанию 1/3 (2x+7)=-2
4) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-12x+3 на промежутке [0;4]
5) Вычислите определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx
Решение: 1) Чтобы вычислить предел функции на бесконечности, нужно почленно и числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х, т. е. в данном примере на х^4. получим в ответе 2/3.
2) (х+5)(х-3)/(х-7)<0
(х+5)(х-3)(х-7)<0
(х+5)(х-3)(х-7)=0
(х+5)=0 (х-3)=0 (х-7)=0
x=-5 x=3 x=7
наносим нули функции на координатную прямую, разбиваем на интервалы, проверяем знаки и выбираем интервал, где функция отрицательна
-5 3 7 +-+- Ответ; х=(-5;3),(7;+бесконечности)
3) log по осн,1/3 (2х+7)=-2
2х+7=(1/3)^-2
2x+7=9
2x=2
x=1
4) Найти наиб и наим значение функции f(x)=x^3-12x+3 на[0;4]
находим производную функции, приравниваем ее к нулю,
f"=3х^2-12
f"=0, 3x^2-12=0, x^2=4, x1=2, x2=-2- точка не принадлежит [0;4]
Находим значения функции в точках 0,2,4.
f(0)=3
f(2)=2^3-12*2+3=8-24+3=-13 наименьшее
f(4)=4^3-12*4+3=64-48+3=19 наибольшее
5) Вычислите определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx
определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx=6x^2/2+5x от 1 до 2= 3(2^2-1^)+ 5(2-1)=3*3+5=14
S(x^4-8x^3+4x)dx
Найти интегралы
Б) S(cos^2x sin x dx
В) (e^3x+1)dx
Решение: $$ \int(x^4-8x^3+4x)dx=\frac{x^5}{5}-8\frac{x^4}{4}+4\frac{x^2}{2}+C=\frac{x^5}{5}-2x^4+2x^2+C\\\\\int cos^2x\cdot sinxdx=\int (cosx)^2\cdot (-d(cosx))=-\frac{cos^3x}{3}+C\\\\\int (e^{3x}+1)dx=\frac{1}{3}e^{3x}+x+C $$$$ a) \int{(x^4-8x^3+4x)}dx=\\ | \int{x^{\alpha}dx}= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C|\\ = \int{x^4}dx-8\int{x^3}dx+4\int{x^1}dx=\\ = \frac{x^{4+1}}{4+1}-8 \frac{x^{3+1}}{3+1}+4 \frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\\ = \frac{x^5}{5}- \frac{8x^4}{4}+ \frac{4x^2}{2}+C=\\ = \frac{x^5}{5}-2x^4+2x^2+c;\\ \\ b) \int{\cos(2x)sin(x)}dx=|d(\cos(x))=-\sin(x)dx|=\\ =-\int{\cos(2x)d(\cos(x))}=\\ |\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha|\\ =-\int{(2\cos^2(x)-1)}d(\cos(x))=| t=\cos(x)|=\\ =-\int{(2t^2-1)}dt=|\int{x^{alpha}}dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C|\\ =-2\int{t^2}dt+\int{t^0}dt=-2 \frac{t^{2+1}}{2+1}+ \frac{t^{0+1}}{0+1}=\\ =- \frac{2}{3}t^3+t+C=|t=\cos(x)|=\cos(x)- \frac{2}{3}\cos^3(x)+C=\\ \cos(x)(1- \frac{2}{3}\cos^2(x))+C=\\ =\cos(x)(1- \frac{2}{3}(1-\sin^2(x))+C= \\ =\cos(x)(1- \frac{2}{3}+ \frac{2}{3}\sin^2(x))+C=\\ =\cos(x)( \frac{1}{3}+ \frac{2}{3}\sin^2(x))+C=\\ = \frac{1}{3}\cos(x)(1+2\sin^2(x))+C; \\ c)\int(e^{3x}+1)dx=\int{e^{3x}}dx+\int{}dx=\\ |\int{e^x}dx=e^x+C; \int{x^\alpha}dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C;d(x)= \frac{1}{3}dx|\\ = \frac{1}{3}\int{e^{3x}}d(3x)+\int{x^0}dx=\\ = \frac{1}{3}e^{3x}+ \frac{x^{0+1}}{0+1}+C=\\ = \frac{1}{3}e^{3x}+x+C $$
Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах проверить результат дифференцированием.
1)\( \int{\frac{1}{sin^{2}(3x-2)}}dx \)
2)\( \int{\frac{tgx}{cos^{2}x}}\, dx \)
3)\( \int{xe^{-x}}\, dx \)
4)\( \int\limits^2_0 {\sqrt{2x+5}} \, dx \)
Решение: $$ 1)\ \int{\frac{1}{sin^{2}(3x-2)}}dx=-\frac{1}{3}ctg(3x-2)+C \\ (-\frac{1}{3}ctg(3x-2)+C)’=-\frac{1}{3}*(3x-2)’*(-\frac{1}{sin^2(3x-2)})=\frac{1}{sin^2(3x-2)} \\ 2)\ \int{\frac{tgx}{cos^{2}x}}\, dx=\int{tgx}\, d(tgx)=\frac{tg^2x}{2}+C \\ \\ (\frac{tg^2x}{2}+C)’=\frac{1}{2}*2*tgx*(tgx)’=\frac{tgx}{cos^2x} \\ 3)\ \int{xe^{-x}}\, dx=[u=x\ \ \ du=dx\ \ \ dv=e^{-x}dx\ \ \ v=-e^{-x}]= \\ \\ = -xe^{-x}+\int{e^{-x}}\, dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C \\ 4)\ \int\limits^2_0 {\sqrt{2x+5}} \, dx=(\frac{1}{3}(2x+5)^{3/2})[_0^2=\frac{1}{3}*9*\sqrt9- \\ \\ - \frac{1}{3}*5*\sqrt5=9-\frac{5\sqrt5}{3} $$Решите интегралы S-знак интеграла 1)S xdx/(x^2-20)^(1/2) 2)S dx/(x-1)(x-20) 3)S 3xdx/(x-5)(x-15) 4)S (x-9)dx/(x-1)(x-3) 5)S 16dx/x(x^2-16)
Решение: 1)=integrate xdx/(sqrt(x^2-20)) [u=x^2-20;du=2xdx]=1/2 integrate du/(sqrt(u))=1/2*(2*sqrt(u))=sqrt(u)=sqrt(x^2-20)+C
2)=-1/(20-1)*ln((x-20)/(x-1))=1/19*(ln(20-x)-ln(1-x))+C
3)=3 integrate xdx/((x-5)(x-15))=-3/2*(ln(5-x)-3*ln(15-x))+C
4)=integrate((4/(x-1))-3/(x-3))dx=4 integrate dx/(x-1)-3 integrate dx/(x-3) [u=x-1;du=dx] =4 integrate du/u-3integrate dx/(x-3)=4*ln(u)-3 integrate dx/(x-3)=4*ln(x-1)-3 integrate dx/(x-3) [u=x-3;du=dx] =4*ln(x-1)-3 integrate du/u=4*ln(x-1)-3*ln(u)=4*ln(x-1)-3*ln(x-3)+C1. дано f’(x)=x^3 найти f’(-1)
2. решите уравнение 4^x-2=(1/4)^2x-1
3. вычислите интеграл от 1 до 2 x^4dx
4. Найдите минимумы функции f(x)=3x-x^3
Решение: 1) f`(-1)=(-1)^3=-12)4^x-2=4^1-2x, x-2=1-2x, 3x=3,x=1
3)X^5/5 от 1 до 2, 2^5/5- 1^5/5=31/5
4) найдем производную f`(x)=3-3x^2. приравняем к нулю.
3x^2=3, x^2=1, x=+-1. они же и являются точками минимума
1)$$ f’(-1)=(-1)^3=-1 $$
2)$$ 4^{x-2}=(\frac{1}{4})^{2x-1}\\4^{x-2}=(4^{-1})^{2x-1}\\x-2=-2x+1\\3x=3\\x=1 $$
3)$$ \int_{1}^{2} x^4 dx=\frac{x^5}{5}|\int_1^2=\frac{2^5}{5}-\frac{1^5}{5}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5} $$
4)$$ f’(x)=(3x-x^3)’=3-3x^2\\f’(x)=0\\3-3x^2=0\\x^2=1\\x=1\ \ \ \ \ \ x=-1 $$
x=1 - точка максимума функции.
х=-1 - точка минимума функции.
Интеграл от \( \frac{dx}{ \sqrt{x} (x+3)} \)
Решение: Ответ:$$ \frac{2}{3} \sqrt{x} *(x+9) $$Делаем замену переменной
√x=t
Дифференцируем
$$ \frac{dx}{2 \sqrt{x} } =dt \\ \frac{dx}{ \sqrt{x} }=2dt $$
Получаем
$$ \int\limits\frac{dx}{ \sqrt{x} (x+3)} = \int\limits \frac{2dt}{t^2+3} =2\int\limits \frac{dt}{t^2+( \sqrt{3} )^2} = \\ =2 *\frac{1}{ \sqrt{3} } arctg \frac{t}{ \sqrt{3} } +C $$
Возвращаемся к старой переменной х:
$$ \frac{2}{ \sqrt{3} } arctg \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{3} } +C $$
ИНТЕГРАЛ ОТ: \( \frac{2 x^{2} -5x+1 }{ x^{3} -2 x^{2} +1} dx \)
Решение: $$ \frac{2x^2-5x+1}{x^3-2x^2+1} = \frac{2x^2-5x+1}{(x-1)(x^2-x-1)}=\frac{2x^2-5x+1}{(x-1)(x-\frac{1-\sqrt5}{2})(x- \frac{1+\sqrt5}{2} )} =\\\\= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-\frac{1-\sqrt5}{2}}+\frac{C}{x-\frac{1+\sqrt5}{2}} \; ;\\\\2x^2-5x+1=A(x-\frac{1-\sqrt5}{2})(x-\frac{1+\sqrt5}{2}{})+B(x-1)(x-\frac{1+\sqrt5}{2})+\\\\+C(x-1)(x- \frac{1-\sqrt5}{2} )\; ; \\ x=1:\; \; A= \frac{-2}{(1- \frac{1-\sqrt5}{2})(1-\frac{1+\sqrt5}{2})}=\frac{-2}{-1} =2\\\\x= \frac{1-\sqrt5}{2} ;\; \; B= \frac{(3+3\sqrt5)/2}{(5+\sqrt5)/2}=\frac{3}{\sqrt5} \\ x= \frac{1+\sqrt5}{2} :\; \; C= \frac{(3-3\sqrt5)/2}{\sqrt5(\sqrt5-1)/2} =-\frac{3}{\sqrt5}\; ;\\\\\\\int \frac{2x^2-5x+1}{x^3-2x^2+1} dx=2\int \frac{dx}{x-1}+\frac{3}{\sqrt5}\int \frac{dx}{x-\frac{1-\sqrt5}{2}}-\frac{3}{\sqrt5}\int \frac{dx}{x-\frac{1+\sqrt5}{2}} =\\\\=2ln|x-1|+\frac{3}{\sqrt5}\cdot ln\left |x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right |-\frac{3}{\sqrt5}\cdot ln\left |x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right |+C $$
(x^3 dx)/(〖(5x〗^4+3)〖^5〗) решите интеграл
Решение:
interpret. (x^3 dx)/( ( [5x]^4+3) [^5] ). $$ \Rightarrow \int{ \frac{ x^3 dx }{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } = \frac{1}{5^4} \int{ \frac{ (5x)^3 d (5x) }{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } = \\ = \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \int{ \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } \, \cdot 4 \cdot (5x)^3 d (5x) = \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \int{ \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } \, d (5x)^4 = \\\\ = \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \int{ \frac{ d ( (5x)^4 + 3 ) }{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } = \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \int{ ( (5x)^4 + 3 )^{-5} } \, d ( (5x)^4 + 3 ) = \\\\ = \frac{1}{ 1 + [- 5] } \cdot \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \cdot ( (5x)^4 + 3 )^{-4} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{ 4 \cdot 5^4 } \cdot \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^4 } + C = \\\\ = \frac{1}{ 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5^4 } \cdot \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^4 } + C = \frac{1}{ 2^4 \cdot 5^4 } \cdot \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^4 } + C = \frac{1}{ 10^4 } \cdot \frac{1}{ ( (5x)^4 + 3 )^4 } + C \ ; $$
О т в е т : $$ \int{ \frac{ x^3 dx }{ ( (5x)^4 + 3 )^5 } } = \frac{1}{ 10 \ 000 \ ( (5x)^4 + 3 )^4 } + C \. $$
Интеграл
( arctg^(37/60) (x^4+5) ) / (x^5 + 10x + 26/x^3 )
Решение: $$ \int {\frac{\sqrt[60]{arctg^{37} \, (x^4+5) }}{x^5 +10x +\frac{26}{x^3}}} \, dx = \int {\frac{x^3 \cdot arctg^{\frac{37}{60}} \, (x^4+5) }{x^8 +10x^4 +26}} \, dx=(*) \\ \\ t=arctg(x^4+5); \ \ dt = \frac{4x^3 \, dx}{1+x^8+10x+25}; \ \ dx= \frac{x^8 +10x+26 }{4x^3}\, dt \\ \\ (*) = \int {\frac{x^3 \cdot t^\frac{37}{60}}{x^8 +10x+26 } \cdot \frac{x^8 +10x+26 }{4x^3}\, dt =\frac{1}{4} \int {t^\frac{37}{60}} \, dt=\frac{1}{4 } \cdot \frac{60}{97} \cdot t^\frac{97}{60}+C}= \\ \\ \\ = \frac{15}{97} \cdot arctg^\frac{97}{60} \, (x^4+5)+C $$
Интеграл. в числителе x^2 dxВ знаменатели x^3-4
Решение: $$ \int{\frac{x^2dx}{x^3-4}}=\\ \|dx^3=3x^2dx==>x^2dx=\frac13dx^3\|\\ =\int{\frac{\frac13dx^3}{x^3-4}}=\frac13\int{\frac{dx^3}{x^3-4}}=\\ \|d(x^3-4)=dx^3\| =\frac13\int{\frac{d(x^3-4)}{x^3-4}}=\\ \|x^3-4=p;d(x^3-4)=dp\|\\ =\frac13\int{\frac{dp}{p}}=\frac13\cdot\ln|p|+C=\frac13\ln|x^3-4|+C $$
