интеграл »

найти интеграл - страница 7

  • Интеграл от xdx/( x+3)


    Решение: В числители надо сделать так, чтобы выражение стало как в знаменателе. Для этого к иксу прибавим 3 и вычтем 3, чтобы выражение не изменилось:
    интеграл(x+3-3)dx/(x+3). Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: интеграл 1-3/(x+3)dx. Дальше интегрируем каждую часть: x-3lnмодуль x+3+C

  • Найти интеграл \(\int\frac{x^{-1/3} -1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx \)


    Решение: $$ \int \frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{\sqrt[3]{x^2}} dx=\\\\ \int (x^{-\frac{1}{3}}-1)x^{-\frac{2}{3}} dx=\\\\ \int (x^{-1}-x^{-\frac{2}{3}}) dx=\\\\ ln|x|-\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C=\\\\ ln|x|-3\sqrt[3] {x}+C $$

    C є R

    $$ \int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}-1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx=\int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx - \int{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}\, dx=\int{\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}\, dx - \int{\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}\, dx= \\ \int{x^{-1}}\, dx - \int{x^{-\frac{2}{3}}}\, dx=ln{x}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=ln{x}-3*x^{\frac{1}{3}}+C $$

  • Найти неопределённый (обычный) интеграл и
    проверить его дифференцированием (взять производную, кроме 1-ого номера):
    \( 1a). \ \ \ \ \int{ d ( arcsin{x} ) } \ ; \)\( 1b). \ \ \ \ \int{ d|x| } \ ; \)\( 1c). \ \ \ \ \int{ d \ln{ arctg{x} } } \ ; \)
    \( 2a). \ \ \ \ \int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } \, dx \ ; \)\( 2b). \ \ \ \ \int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } \, dx \ ; \)
    \( 2c). \ \ \ \ \int{ \frac{6dx}{ (x-12)^3 } } \ ; \)\( 2d). \ \ \ \ \int{ \frac{12dx}{ (19-x)^7 } } \ ; \)
    \( 3a). \ \ \ \ \int{ \frac{3dx}{ 9-2x } } \ ; \)\( 3b). \ \ \ \ \int{ \frac{2dx}{ 3x-7 } } \ ; \)
    \( 4a). \ \ \ \ \int{ \frac{4xdx}{ 2x^2-5 } } \ ; \)\( 4b). \ \ \ \ \int{ \frac{11xdx}{ 7x^2+6 } } \ ; \)\( 4c). \ \ \ \ \int{ \frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } } \ ; \)


    Решение: $$ 1a). \ \ \int d(\arcsin x)=\arcsin x+C\\\\ 1b). \ \ \int d|x|=|x|+C\\\\ 1c). \ \ \int d\ln \arctan x=\ln (\arctan x)+C \\ 2a). \ \ \int (8x^3-12(2-x)^5)dx=\int 8x^3dx-\int 12(2-x)^5dx=\\\\ =8\int x^3dx+12\int(2-x)^5d(2-x)=8\cdot \frac{x^4}{4}+ \frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\\\ =2x^4+2(2-x)^6+C $$
    Проверка:
    $$ (2x^4+2(2-x)^6)’=8x^3+2\cdot6\cdot(-1)\cdot(2-x)^5\cdot=8x^3-12(2-x)^5 $$
    Проверка:
    $$ 2c). \ \ \int \frac{6dx}{(x-12)^3} =6\int(x-12)^{-3}d(x-12)=6\cdot \frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- \frac{3}{(x-12)^2} +C $$
    Проверка:
    $$ (- \frac{3}{(x-12)^2} )’=-3\cdot((x-12)^{-2})’=-3\cdot(-2)\cdot(x-12)^{-3}= \frac{6}{(x-12)^3} \\ 2d). \ \ \int \frac{12dx}{(19-x)^7}=12\int (19-x)^{-7}dx=\\\\=-12\int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12\cdot \frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= \frac{2}{(19-x)^6}+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{2}{(19-x)^6})’=2\cdot((19-x)^{-6})’=2\cdot(-6)(-1)\cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= \frac{12}{(19-x)^7} \\ 3a). \ \ \int \frac{3dx}{9-2x} =3\int \frac{dx}{9-2x} =- \frac{3}{2} \int \frac{d(9-2x)}{9-2x}=- \frac{3}{2}\ln|9-2x|+C $$
    Проверка:
    $$ - \frac{3}{2}(\ln|9-2x|)’=- \frac{3}{2}\cdot(-2)\cdot \frac{1}{9-2x}= \frac{3}{9-2x} \\ 3b). \ \ \int \frac{2dx}{3x-7}=2\int \frac{dx}{3x-7}= \frac{2}{3} \int \frac{d(3x-7)}{3x-7}= \frac{2}{3}\ln|3x-7|+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{2}{3}\ln|3x-7|)’= \frac{2}{3}\cdot3\cdot \frac{1}{3x-7}= \frac{2}{3x-7} \\ 4a). \ \ \int \frac{4xdx}{2x^2-5}= \frac{4}{2}\int \frac{2xdx}{2x^2-5}=2\int \frac{dx^2}{2x^2-5}= \frac{2}{2}\int \frac{d2x^2}{2x^2-5} =\int \frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\\\ =\ln |2x^2-5|+C $$
    Проверка:
    $$ (\ln |2x^2-5|)’= \frac{1}{2x^2-5} \cdot 4x= \frac{4x}{2x^2-5} \\ 4b). \ \ \int \frac{11xdx}{7x^2+6}= \frac{11}{2}\int \frac{2xdx}{7x^2+6}=\\= \frac{11}{14} \int \frac{d7x^2}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\int \frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= \frac{11}{14}\ln |7x^2+6|+C $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{11}{14}\ln|7x^2+6| )’= \frac{11}{14}\cdot(\ln|7x^2+6|)’\cdot(7x^2+6)’= \frac{11}{14}\cdot14x\cdot \frac{1}{7x^2+6}=\\\\ = \frac{11x}{7x^2+6} $$
    Проверка:
    $$ ( \frac{1}{6}\ln|9x^2-x|)’= \frac{1}{6}(\ln|9x^2-2|)’\cdot(9x^2-2)’= \frac{1}{6}\cdot18x\cdot \frac{1}{9x^2-2}= \frac{3x}{ 9x^2-2} $$

  • интеграл dx/(x-1)(X+3)


    Решение: $$ \int\limits { \frac{dx}{(x-1)(x+3)} } \, \\ \frac{1}{(x-1)(x+3)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}= \frac{Ax+3A+Bx-B}{(x-1)(x+3)}= \frac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)} $$.
    $$ \left \{ {{A+B=0} \atop {3A-B=1}} \right.\Rightarrow \left \{ {{A= \frac{1}{4} } \atop {B=-\frac{1}{4}}} \right. \\ \int\limits { \frac{dx}{(x-1)(x+3)} } \,= \frac{1}{4} \int\limits { \frac{dx}{x-1} } \,\frac{1}{4} \int\limits { \frac{dx}{x+3} } \,=\\= \frac{1}{4}ln|x-1|- \frac{1}{4}ln|x+3|+C= \frac{1}{4}ln \frac{|x-1|}{|x+3|}+C $$.

  • Интеграл от 3 до а. dx/(3+x)^2=1/30
    Найти значение а.


    Решение: $$ \int\limits^a_3 { \frac{1}{(x+3)^2} } \, dx = \frac{1}{30} \\ \int^a_3{(x+3)^{-2}} \, d(x+3) = \frac{1}{30} \\ \frac{1}{-2+1}*(x+3)^{-2+1}|_3^a=\frac{1}{30} \\ \frac{1}{-1}*(x+3)^{-1}|_3^a=\frac{1}{30} \\ \frac{1}{x+3}|_3^a=-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}- \frac{1}{3+3}=-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{5}) \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{6}*\frac{4}{5} \\ \frac{1}{a+3}=\frac{1}{\frac{6*5}{4}} \\ a+3=\frac{6*5}{4} \\ a+3=7.5 \\ a=4.5 $$

<< < 567 8 9 > >>