интеграл »
найти интеграл - страница 7
Интеграл\( \int\limits x^{6}*(x^{7}-3) \ \, dx \)
Решение: Раскроем скобки под интегралом:
∫(х^13 -3*x^6)dx
Интеграл разности равен разности интегралов, т. е.:
∫х^13 dx -∫3*x^6dx
Константу из под интеграла можно безопасно вынести:
∫х^13 dx -3∫x^6dx
Найдём интегралы по 3ей формуле из прилагаемой таблицы интегралов:
$$ \frac{x^{14} }{14} + C_{1} - 3* \frac{ x^{7} }{7} + C_{2} = \frac{x^{14} }{14} - 3* \frac{ x^{7} }{7} + C $$
С1 и С2 мы объединили в одну константу "С".
Найдите интеграл и вычичлить S(x^4-8x^3+4x)dx
Решение:
Решить: 1)S(интеграл) 3cos xdx
2)S 10*2^x dx
3)S 4dx/1+x^2
Решение: Помогите решить и объясните
1)$$ \int\limits{3cos(x)} \, dx $$
2)$$ \int\limits{10*2^{x}} \, dx $$
3)$$ \int\limits{ \frac{4}{1+x^2}} \, dx $$
Решение:
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла
$$ \int\limits{C*f(x)} \, dx = C*\int\limits{f(x)} \, dx $$
где C-константа(не равная нулю)
$$ 1) \int\limits{3cos(x)} \, dx = 3\int\limits{cos(x)} \, dx=-3sin(x)+C \\ 2) \int\limits{10*2^{x}} \, dx =10 \int\limits{2^{x}} \, dx= \frac{10*2^x}{ln(2)}+C \\ 3) \int\limits{ \frac{4}{1+x^2}} \, dx= 4\int\limits{ \frac{1}{1+x^2}} \, dx=4arctg(x)+C $$
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 4 до -2 f(x)dx.
Решение: Для ответа на вопрос задания найдём площадь трапеции
Верхнее основание 4-1=3
Нижнее 4-(-2)=6
высота 3
S=(3+6):2·3=4,5·3=13,5
Ответ: интеграл равен 13,5Чтобы вычислить определенный интеграл можно рассуждать следующим образом:
1. Площадь плоской фигуры находиться с помощью определенного интеграла
Значит, если найти площадь этой фигуры, мы найдем заданный интеграл
2. Фигура состоит их треугольника и квадрата
3. Площадь треугольника равна 1/2 ·3·3=4,5
4. Площадь квадрата равна 3·3=9
5. S·= 4,5+9 = 13,5 (кв. ед.)
Решите интегралы: \( 1)\; \int \frac{x^4}{x^2+3}dx\\ 2)\; \int (e^{x}+x)^2dx\\ 3)\; \int \frac{dx}{sinx}\\ 4)\; \int_0^{\frac{\pi}{2}}sinx\cdot cos^2x\, dx \)
Решение: $$ 1)\; \int \frac{x^4}{x^2+3}dx=\int (x^2-3+\frac{9}{x^2+3})dx=\frac{x^3}{3}-3x+9\cdot \frac{1}{\sqrt3}arctg\frac{x}{\sqrt3}+C\\\\2)\; \int (e^{x}+x)^2dx=\int (e^{2x}+2xe^{x}+x^2)dx=I\\\\\int xe^{x}dx=[u=x,\; du=dx,\; dv=e^{x}dx,\; v=e^{x}]= uv-\int vdu=\\\\=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C_1=e^{x}(x-1)+C_1\\\\I=\frac{1}{2}e^{2x}+2e^{x}(x-1)+\frac{x^3}{3}+C \\ 3)\; \int \frac{dx}{sinx}=\int \frac{sinx}{sin^2x}dx=\int \frac{-d(cosx)}{1-cos^2x}=[t=cosx,\; dt=-sinx\, dx]=\\\\=-\int \frac{dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+C=\\=\frac{1}{2}ln|\frac{cosx-1}{cosx+1}|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C \\ 4)\; \int_0^{\frac{\pi}{2}}sinx\cdot cos^2x\, dx=\\\\=[t=cosx,dt=-sinx\, dx,\; \int t^2\cdot (-dt)=-\frac{t^3}{3}+C]=\\\\=-\frac{cos^3x}{3}|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{1}{3}(cos\frac{\pi}{2}-cos0)=-\frac{1}{3}(0-1)=\frac{1}{3} $$Найти интегралы \( \int \:e^{7x+1}dx \\ \int \:5^{\sin \left(x\right)}\cos \left(x\right)dx \)
Решение: $$ \int \:e^{7x+1}dx = [ u=7x+1,\quad \quad du=7dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{7}du ] =\\= \int \frac{e^u}{7}du =\\= \frac{1}{7}e^u =\\= \frac{1}{7}e^{\left(7x+1\right)} =\\= \frac{e^{7x+1}}{7}+C \\ \int \:5^{\sin \left(x\right)}\cos \left(x\right)dx =\\= [ u=\sin \left(x\right),\quad \quad du=\cos \left(x\right)dx,\:\quad \:dx=\frac{1}{\cos \left(x\right)}du ] =\\= \int \:5^u\cos \left(x\right)\frac{1}{\cos \left(x\right)}du =\\= \int \:5^udu =\\= \frac{5^u}{\ln \left(5\right)} =\\= \frac{5^{\sin \left(x\right)}}{\ln \left(5\right)}+C $$
Вычисление неопределённых интегралов. \( \int\limits( {3x^8- \frac{3}{x^3}+4x+9) } \, dx\\ \int\limits {(7e^{2x}-5sin \frac{x}{2}+6x-9) } \\ dx\\ \int\limits{ \frac{dx}{ \sqrt{2-3x} } } \, dx\\ \int\limits{ \frac{2e^x}{(5+e^x)^2} } \, dx\\ \int\limits{ \frac{cosx}{ \sqrt{1+sinx} } } \, dx \\ \int\limits{ \frac{arctg^4x}{x^2+1} } \, dx \)
Решение: $$ \int\limits( {3x^8- \frac{3}{x^3}+4x+9) } \, dx= 3\int\limits{x^8} \, dx -3 \int\limits{ \frac{1}{x^3} } \, dx +4 \int\limits {x} \, dx+9 \int\limits {} \, dx = \\ 3 \frac{x^9}{9}-3*(- \frac{1}{2x^2})+4 \frac{x^2}{2}+9x= \frac{x^9}{3}+ \frac{3}{2x^2}+2x^2+9x= \\ \frac{1}{6x^2}(2x^3(x^8+6x+27)+9+const \\ \int\limits {(7e^{2x}-5sin \frac{x}{2}+6x-9) } \, dx =7 \int\limits{e^2x} \, dx-5 \int\limits{sin \frac{x}{2} } \, dx+6 \int\limits{x} \, dx- \\ 9 \int\limits{} \, dx= \frac{7e^{2x}}{2}-10cos \frac{x}{2}+ 3x^2-9x+const \\ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{2-3x} } } \, dx $$
пусть $$ u=2-3x $$, тогда $$ du=-3dx $$ подставляем $$ - \frac{du}{3} $$
$$ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{u} } } \, du=- \frac{2 \sqrt{u} }{3} $$
проводим обратную замену $$ - \frac{2 \sqrt{2-3x} }{3}+const \\ \int\limits{(x^4+3)^5x^3} \, dx $$
пусть $$ u=x^4+3 $$, тогда $$ du=4x^3dx $$ подставляем $$ \frac{du}{4} \\ \int\limits { \frac{1}{4}u^5} \, du = \frac{1}{4} \int\limits{u^5} \, du = \frac{u^6}{4*6}= \frac{u^6}{24} $$
проводим обратную замену $$ \frac{(x^4+3)^6}{24}+const \\ \int\limits{ \frac{2e^x}{(5+e^x)^2} } \, dx = $$
пусть $$ u=e^x $$, тогда $$ du=e^xdx $$ подставим $$ 2du \\ 2 \int\limits{ \frac{1}{u^2+10u+25} } \, du=2 \int\limits{ \frac{1}{(u+5)^2} } \, du $$
проведем вторую замену пусть $$ y=u+5 $$, тогда $$ dy=du $$ подставляем $$ \int\limits{ \frac{1}{y^2} } \, dy =- \frac{1}{y} $$
проводим обратную замену $$ - \frac{1}{u+5} $$ проводим вторую обратную замену $$ - \frac{2}{e^x+5}+const \\ \int\limits{ \frac{cosx}{ \sqrt{1+sinx} } } \, dx = $$
пусть $$ u=sinx+1 $$, тогда$$ du=cosxdx $$ подставим $$ \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{u} } } \, du=2 \sqrt{u} $$
проводим обратную замену $$ 2 \sqrt{sin(x)+1} +const \\ \int\limits{ \frac{arctg^4x}{x^2+1} } \, dx $$
пусть $$ u=arctg(x) $$ тогда $$ du= \frac{dx}{x^2+1} $$ подставляем
$$ \int\limits{u^4} \, du = \frac{u^5}{5} $$
проводим обратную замену переменной
$$ \frac{arctg^5(x)}{5}+const $$
Интеграл, нижний предел 0, верхний 1. (2e^x*dx) / (e^x+1)
Решение: Две замены переменных, потом интеграл от степенной функции или дроби
Нижний предел интегрирования П/2
Верхний предел 3П/2
Сам интеграл:cos(x/2)*dx
Решение: Решение в приложении. Ответ: 0.$$ \int _{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\, cos\frac{x}{2}dx=2sin\frac{x}{2}|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=2(sin\frac{3\pi}{4}-sin\frac{\pi}{4})=2(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2})=0 $$
ИНТЕГРАЛ dx/((x^1/2)-(x^1/4))
Решение: Замена переменной:
х=t⁴
dx=4t³dt
√x=t²
$$ \sqrt[4]{x}=t \\ \int\limits { \frac{dx}{ \sqrt{x} - \sqrt[4]{x} } } \, = \int\limits { \frac{4t ^{3}dt}{t ^{2}-t } } \, = \\ = 4\int\limits { \frac{t\cdot t ^{2} }{t(t-1)} } \, dt =4 \int\limits { \frac{t ^{2}-1+1 }{t-1} } \, dt= $$
=$$ =4 \int\limits {(t+1+ \frac{1}{t-1}) } \, dt=4t ^{2} +4t+4ln|t-1|+C= $$
=обратная замена=
=$$ =4 \sqrt{x} +4 \sqrt[4]{x} +4 ln | \sqrt[4]{x}-1|+C $$
