интеграл »
найти интеграл - страница 8
Найти интеграл:
dx/x^2-2x
Решение: 2 варианта, в зависимости от того как выглядит пример)$$ \int {} \, \frac{dx}{x^2-2x}= \int {} \, \frac{dx}{x^2-2x+1-1}=\int {} \, \frac{dx}{(x-1)^2-1}= \\ =\int {} \, \frac{d(x-1)}{(x-1)^2-1}=-\int {} \, \frac{d(x-1)}{1-(x-1)^2}=- \frac{1}{2}ln| \frac{1+x-1}{1-(x-1)} |+C= \\ =- \frac{1}{2}ln| \frac{x}{2-x} |+C $$
Интеграл dx деленное на x^2+16
Решение: Решаем интеграл вида:
$$ \int \frac{1}{x^2+16}dx $$
Используем замену:
$$ x=4u:\quad \quad dx=4du $$
Получаем:
$$ =\int \frac{1}{\left(4u\right)^2+16}4du=\int \frac{1}{4u^2+4}du=\int \frac{1}{4\left(u^2+1\right)}du=\frac{1}{4}\int \frac{1}{u^2+1}du \\ =\frac{1}{4}\arctan \left(u\right) $$
Делаем обратную замену:
$$ u=\frac{1}{4}x $$
Получаем:
$$ =\frac{1}{4}\arctan \left(\frac{1}{4}x\right)=\frac{\arctan \left(\frac{x}{4}\right)}{4}+C $$
Почему интеграл от dx равен x ?
Решение: Теорема. Если функция F1(x) b F2(x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b], то разность между ними равна постоянному числу.
Доказательство.
F1’(x) = f(x) (1)F2’(x) = f(x), то F1’(x) - F2’(x) = Const.
φ(x) = F1 - F2φ’(x) = F1’ - F2’ = 0
Т. е. обозначим:F1 (x) - F2 (x) =φ(x) (2) Тогда на основании равенств (1) будет:F1’(x) - F2’(x) = f(x) - f(x) = 0 или φ’(x) = [F1 (x) - F2 (x)]’ = 0 при любом значении x на отрезке[a;b]. Но из равенства φ’(x) = 0 следует, что φ(x) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]. Какова ни была точка x на отрезке [a;b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа.
φ (x) - φ (a) = φ’ (x) (x-a), где a
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если F’(x) = f (x), то и( ∫ f (x) dx )’ = (F (x) + C)’ = f (x)
(4) Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражениюd ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx
(5) Это получается на основании формулы (4)3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная∫ dF (x) = F (x) + CС справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx))
или как в шутке, мелко и коротко, x - это тождественная функция (f(x)=x).Решить: Интеграл (x^2-x+cos x)dx
Интеграл x^5-x^4-x+1/x dx
Интеграл (2x+7)^6 dx
Решение: 1) $$ \int\limits{x^{2}-x+cos(x)} \, dx =\int\limits {x^{2}} \, dx - \int\limits {x} \, dx + \int\limits {cos(x)} \, dx = \ \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+sin(x)+C $$
2) $$ \int\limits {x^{5}-x^{4}-x+\frac{1}{x}} \, dx=\int{x^{5}}\, dx - \int{x^{4}}\, dx - \int{x}\, dx + \int{\frac{1}{x}}\, dx = \frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{5}}{5}- \\ \frac{x^{2}}{2}+ln(x)+C $$
3) $$ \int\limits {(2x+7)^{6}} \, dx $$
Произведем замену переменных следующим образом:
$$ 2x+7=t \\dx=2dt $$
Теперь игтеграл выглядит так:
$$ \int\limits {t^{6}} \, dt=\frac{t^{7}}{7}+C $$
Вернёмся к старой переменной:
$$ \frac{(2x+7)^{7}}{7}+C $$
Интеграл x*arcsin2x dx как можно решить
Решение: U=arcsin(2x); du=2*(1/√(1-4x^2)dx
dv=xdx; v=integral xdx=(x^2) /2+c;
integral udv=uv- integral vdu
Применяя эту формулу (интегрирования по частям), получим
integral arcsin2x *xdx=arcsin2x *(0,5x^2+c) - integral (0,5x^2+c) * (2/√(1-4x^2))dx=
0,5x^2 *2/√(1-4x^2)=x^2 /√(1-4x^2)
Пусть √(1-4x^2)=t; t^2=1-4x^2; x^2=(1-t^2)/4; 2dx=1/4 *(-2dt); dx=-1/4 *dt
integral x^2 /√(1-4x^2) dx=integral ((1-t^2) /(4t)) (-1/4 dt=-1/16(int 1/tdt-int tdt)=
=-1/16 * (ln|t| -t^2/2 )+c
получаем.=arcsin2x *0,5x^2+1/16 *(ln|√1-4x^2)-(√(1-4x^2)^2 /2+c
Проверьте еще раз!Интеграл от \( \frac{dx}{sin^2(x)cos^2(x)} \)
Решение: Воспользуемся формулой двойного угла
2sinx cosx=sin2x
sinx cosx=sin(2x)/2
Тогда
$$ \int\limits { \frac{dx}{sin^2x\,cos^2x} }=4 \int\limits { \frac{dx}{sin^2(2x)} }=4* \frac{1}{2} \int\limits { \frac{d(2x)}{sin^2(2x)} }= \\ =2(-ctgx)+C=-2ctgx+C $$
Найти интеграл (e^x)*tg(x) dx, от 0 до 1
Решение: Тут главное - первообразные найти, а пределы интегрирования подставить - каждый сможет.
а) x^8(1-x^9)^5 dx = (1/9) (1-x^9)^5 d(x^9) = (1/9) (1-t)^5 dt - дальше понятно?
б) x^2e^2x dx - берется интегрированием по частям ДВА РАЗА. После первого интегрирования по частям у вас останется интеграл от xe^2x dx, а после еще одного - интеграл от e^2x dx, который ужЕ почти табличный.Интеграл sin^4x dx и интеграл е^x(2x-x^2)dx
Решение: 1)integralsin^4xdx=integral(sin^2x)^2dx=1/4integral (2sin^2x)^2dx=1/4integral(1-cos2x)^2dx=1/4integral(1-2cos2x+cos^2 (2x))dx=1/4(integraldx-integral(2cos2x)dx+
+integralcos^2 (2x)dx)=1/4(x-sin2x+1/2integral(1+cos4x)dx)=1/4x-1/4 sin2x+1/8*(x+1/4sin4x)=1/4*x-1/4*sin2x+1/8x+1/32sin4x+c ;
2)u=2x-x^2; du=d(2x-x^2); du=(2-2x)du.
dv=e^xdx; v=integral e^xdx=e^x.
integral e^x(2x-x^2)dx=(2x-x^2)*e^x-integrale^x(2-2x)dx=
найдем integrale^x(2-2x)dx по частям, как выше сделано
u=2-2x; du=d(2-2x); du=-2dx.
dv=e^xdx; v=integrale^x)dx=e^x.
integrale^x(2-2x)dx=(2-2x)*e^x-integral((e^x)(-2))dx=(2-2x)e^x+2e^x+c
integrale^x(2x-x^2)dx=(2x-x^2)*e^x-(2-2x)e^x+2e^x+c=2xe^x-e^x*(x^2)-2e^x+2xe^x+2e^x+c=4xe^x-e^x*(x^2)+c\( \int{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx \)
Нужно взять интеграл
Решение: $$ \\\int{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx=(*)\\ t=\sqrt x\\ dt=\frac{1}{2\sqrt x}dx\\ dx=2\sqrt x dt\\ \int{\sqrt{1+t}}\cdot2\sqrt x dt=\\ 2\int{t\sqrt{1+t}}dt=(**)\\ u=1+t\\ du=dt\\ t=u-1\\ 2\int(u-1)\sqrt{u}du=\\ 2\int(u-1)u^{\frac{1}{2}}du)=\\ 2\int u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}du=\\ 2(\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})+C=\\ 2(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})+C=\\ \frac{4}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\\ (**)=\frac{4}{5}(1+t)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(1+t)^{\frac{3}{2}}+C=\\ (*)=\frac{4}{5}(1+\sqrt x)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(1+\sqrt x)^{\frac{3}{2}}+C\\ $$Решите интеграл \( \int\limits \sqrt(1+x)/x \, dx \) Решите интеграл
Решение: $$ \int \frac{\sqrt{1+x}}{x}dx $$
Замена:
$$ 1+x=t^2\\ x=t^2-1\\ dx=2tdt \\ \int \frac{ \sqrt{t^2}}{t^2-1}\cdot 2tdt=2\int \frac{t^2dt}{t^2-1}=2 \int \frac{(t^2-1)+1}{t^2-1}dt=2\int[ \frac{t^2-1}{t^2-1}+ \frac{1}{t^2-1}]dt=\\\\ 2\int[1+ \frac{1}{t^2-1}]dt=2\int dt+2\int \frac{1}{t^2-1}dt=2t+2\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt=2t+2Y $$,
где $$ Y=\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt $$ решим разложением на две простые дроби
$$ \frac{1}{(t-1)(t+1)}= \frac{a}{t-1}+ \frac{b}{t+1}= \frac{a(t+1)+b(t-1)}{(t-1)(t+1)}=\\= \frac{at+a+bt-b}{(t-1)(t+1)}= \frac{(a+b)t+(a-b)}{(t-1)(t+1)} \\ \left \{ {{a+b=0} \atop {a-b=1}} \right. \Longrightarrow 2a=1 \Longrightarrow a= \frac{1}{2}; b=- \frac{1}{2} $$
Тогда
$$ \int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}dt- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}dt= \\\\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t-1)}d(t-1)- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}d(t+1)= \frac{1}{2}\ln|t-1|- \frac{1}{2}\ln |t+1|=\\\\ \frac{1}{2}(\ln |t-1|-\ln|t+1|)= \frac{1}{2}\ln| \frac{t-1}{t+1}|= \frac{1}{2}\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}| $$
Тогда ответ:
$$ 2\sqrt{1+x}+2\cdot \frac{1}{2}\ln |\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}|+C=\\\\ 2\sqrt{1+x}+\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1} |+C $$, где C- константа
