интеграл »
найти интеграл - страница 10
Найти интеграл \( \int\limits { \frac{dx}{x^3-8} } \, = \)
Решение: Знаменатель разложим на множители
x³-8=(x-2)(x²+2x+4)
Подинтегральную функцию на простейшие дроби
$$ \frac{1}{x^3-8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Mx+N}{x^2+2x+4} \\ \\ 1=A(x^2+2x+4)+(Mx+N)(x-2) $$
применяя метод частных значений
при х=2 получим
1=A·12⇒ A=1/12
приравнивая многочлены
1=(A+M)x²+(2A+N-2M)+(4A-2N)
получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
A+M=0 ⇒ M=-A=-1/12
2A+N-2M=0 ⇒ 2A+N+2A=0 ⇒ N=-4A=-4/12=-1/3
4A-2N=1 это уравнение можно использовать для проверки
4·(1/12)-2·(-1\3)=1 1/3+2/3=1 - верно
$$ \int \frac{1}{x^3-8}dx= \int \frac{ \frac{1}{12} }{x-2}dx+\int \frac{- \frac{1}{12}x- \frac{1}{3} }{x^2+2x+4}dx= \\ \\ =\frac{1}{12}\int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{12}\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx $$
1)$$ \int \frac{dx}{x-2} =ln|x-2|+C_1 $$
2) $$ \int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=\int \frac{x+4}{x^2+2x+1+3}dx=\int \frac{x+4}{(x+1)^2+3}dx= $$
замена переменной
х+1=t
x=t-1
dx=dt
$$ =\int \frac{t-1+4}{t^2+3}dt=\int \frac{t}{t^2+3}dt+\int \frac{3}{t^2+3}dt= \\ \\ = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^2+3}dt+3\int \frac{1}{t^2+( \sqrt{3})^2 }dt= \\ \\ = \frac{1}{2} ln|t^2+3|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{t}{ \sqrt{3} } +C_2 $$
Ответ.
$$ \frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{12}( \frac{1}{2} ln|x^2+2x+4|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} })+C= \\ \\ =\frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{24} ln|x^2+2x+4|-\frac{ \sqrt{3} }{ 12 }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} }+C $$
Вопрос про интеграл.
К примеру возьмём такой интеграл:
\( \int\limits^2_{-3} ({2x-3}) \, dx \)
Как правильно интегрировать?
Решение: Можно воспользоваться заменой переменной:
$$ \int (2x-3)\, dx=[t=2x-3\;,\; dt=d(2x-3)=(2x-3)’\, dx=2\, dx,\\\\dx=\frac{dt}{2}\, ]=\frac{1}{2}\cdot \int t\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}+C=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2+C;\; \; \to \\\\\int _{-3}^2(2x-3)\, dx=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2\, |_{-3}^2=\frac{1}{4}\cdot (1^2-(-9)^2)=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (1-9)=-2 $$
Можно воспользоваться формулой, так как если линейная функция будет не в 1 степени, а например, в 100-ой, то представить в виде многочлена такое выражение будет почти невозможно. Фактически формула выводится с помощью подстановки ( или с помощью подведения под знак дифференциала). Для степенной функции формула будет выглядеть так:
$$ \int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C $$найти значение интеграла:) :
\( \int\limits 2cos^{2}3x dx \) ;
\( \int\limits^2_1\, \frac{3x^5+2x^3-3x}{x^3} dx \)
)
Решение: $$ \int\limits {2cos^{2}3x } \, dx = \int\limits {(1+cos6x)} \, dx=\\= \int\limits {} \, dx + \int\limits {cos6x} \, dx = x+ \frac{1}{6} \int\limits {cos6x} \, d(6x)=x+ \frac{1}{6}sin6x+C \\ \int\limits^2_1 ({ \frac{3x^{5} }{ x^{3} } } + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}- \frac{3x}{ x^{2} } )\, dx =\\= \int\limits^2_1 ({3 x^{2} +2- \frac{3}{ x^{2} } } )\, dx =\\=( \frac{3 x^{3} }{3} +2x- \frac{3 x^{-2+1} }{-2+1} )\int\limits^2_1=\\=( x^{3}+2x+ \frac{3}{x} ) \int\limits^2_1=\\=(8+4+ \frac{3}{2})-(1+2+3)=6+1.5=7.5 $$
Ребят найти интегралы
∫(7x⁶-sinx+3)dx
∫(5-∛x²)/x
∫(3x-5)⁶dx
∫(sinx dx)/3-cosx
∫(xdx)/(x²+3)²
Решение: $$ 1)\; \int (7x^6-sinx+3)dx=7\cdot \frac{x^7}{7}+cosx+3x+C\\\\2)\; \int (5-\sqrt[3]{x^2})dx=5x-\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}+C\\\\3)\; \int (3x-5)^6dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x-5)^7}{7}+C \\ 4)\; \int \frac{sinx\, dx}{3-cosx} =[\, t=3-cosx,\; dt=sinx\, dx\, ]=\int \frac{dt}{t}=\\\\=ln|t|+C=ln|3-cosx|+C\\\\5)\; \int \frac{x\, dx}{(x^2+3)^2} =[\, t=x^2+3,\; dt=2t\, dt\, ]=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2}=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{t})+C=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+3}+C $$Интегралы
1){(9^2+x^9+9)dx
2){(x^2+3)(3x^3+1)dx
3){(6x^3-3x^2+2x/2x^3dx
4){(корень x-^3корень x^2)dx
Решение: 1)∫(81+9+х⁹)dx=∫(x⁹+100)dx=∫x⁹dx+100 ∫dx=х¹⁰/10+100х+с=0,1*х¹⁰+100х+с
2)∫(3x⁵+9x³+x²+3)dx=3*x⁶/6+9x⁴/4+x³/3+3x+c=0.5x⁶+2.25x⁴+x³/3+3x+c
3)∫(6x^3-3x^2+2x)/2x^3)dx=∫(6x³/2x³-3x²/2x³+2x/x³)dx=∫3dx-∫1.5/xdx+∫2/x²dx=3x+1.5*lnIxI+2*x⁻³/(-3)+c=3x+1.5lnIxI-2/3*x⁻³+c
4)$$ \int\limits{ x^{ \frac{1}{2} } } \, dx - \int\limits { x^{ \frac{2}{3} }} \, dx =x ^{ \frac{3}{2} }: \frac{3}{2} - x^{ \frac{5}{3} }: \frac{5}{3}+c = \frac{2 \sqrt{ x^{3} } }{3} - 0.6 *x \sqrt[3]{ x^{2} } +c $$
