интеграл »
найти интеграл - страница 10
Интеграл от \( \frac{xdx}{2x^2+2x+5} \)
Решение: Integr(x/(2x²+2x+5))dx =(1/2)integr(x/(x²+x+2,5))dx
$$ \int{ \frac{x}{2 x^{2} +2x+5}} \, dx= \frac{1}{2} \int{ \frac{x}{x^{2} +x+2,5}} \,dx $$
Делаем замену переменных
x = y-0,5
x²+x+2,5= (y-0,5)²+y-0,5+2,5 =y²-y+0,25+y-0,5+2,5=
=y²+2,25
dx = dy
$$ \int{ \frac{x}{2 x^{2} +2x+5}} \, dx= \frac{1}{2} \int{ \frac{y-0,5}{y^{2} +2,25}} \,dy= \\ = \frac{1}{2} \int{ \frac{y-0,5}{y^{2} +2,25}} \,dy = \frac{1}{2} \int{ \frac{y}{y^{2}+2,25}} \,dy- \frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2} +2,25}} \,dy= $$
=$$ =\frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2}+2,25}} \,dy^{2} - \frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2} +2,25}} \,dy= \\ =\frac{1}{4} ln(y^{2}+2,25) - \frac{1}{4*2,25}arctg( \frac{y}{2,25})+C $$
integr(x/(2x²+2x+5))dx=(1/2)integr((y-0,5)/(y²+2,25))dx=
=(1/2)integr(y/(y²+2,25))dy -(1/4)integr(1/(y²+2,25))dy=
=(1/4)integr(1/(y²+2,25))d(y²) -(1/4)integr(1/(y²+2,25))dy=
=(1/4)ln(y²+2,25)-(1/(4*2,25))arctg(y/2,25)+C=
=0,25ln(y^2+2,25)-(1/9)arctg(4y/9)+C
Обратная замена
y=x+0,5
integr(x/(2x²+2x+5))dx =(1/4)ln((x+0,5)²+2,25)-(1/9)arctg((4x+2)/9)+C=
=(1/4)ln(x²+x+2,5)-(1/9)arctg((4x+2)/9)+C
Найти интеграл: \( 1.\int (\frac{4}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{5}{1+x^2}dx\\ 2.\; \int \frac{tg^2x}{cos^2x}dx\\ 3.\; \int x\cdot csxdx \)
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-2x+1, y=x-1
Решение: $$ 1.\int (\frac{4}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{5}{1+x^2}dx=4ln|x+\sqrt{1+x^2}|-5arctgx+C\\\\2.\; \int \frac{tg^2x}{cos^2x}dx=\int tg^2x\cdot d(tgx)=\frac{tg^3x}{3}+C\\\\ili[t=tgx,dt=\frac{dx}{cos^2x}]=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C\\\\3.\; \int x\cdot csxdx=[u=x,du=dx,v=sinx]=x\cdot sinx-\int sinxdx=\\\\=x\cdot sinx+cosx+C\\\\4.\; y=x^2-2x+1=(x-1)^2,\; y=x-1\\\\Peresechenie:\; (x-1)^2=x-1\\\\(x-1)^2-(x-1)=0,\; (x-1)(x-1-1)=0,\; x_1=1,x_2=2\\\\S=\int(x-1-(x-1)^2)dx=(\frac{x^2}{2}-x-\frac{(x-1)^3}{3})|_1^2= \\ =2-2-\frac{1}{3}-(\frac{1}{2}-1-0)=\frac{1}{6} $$
Интеграл 2x разделить на 3sinx+4cosx
Решение: Получится: x*4^sinx=xy => y=4^sinx => обратную замену 4^cosx=4^sinx =>cosx=sinx делим на cosx tgx=1x=pi/4+pin2) 2pi<= pi/4+pin<=7pi/2n=1 n=2 подставляем в pi/4+pinответ: 5pi/4 ; 9pi/4
Интеграл от 0 до 2 (x)/(x^2+2.5)dx
Решение: x dx 1 2x dx 1 d(x²+2,5) 1∫ - = - * ∫ - = - * ∫ - = - * ln | x²+2,5 | |₀²=1/2(ln6,5-ln2,5)=
x²+2,5 2 x²+2,5 2 x²+2,5 2
6,5
=1/2 * ln- =1/2 *ln2,6
2,5
Интеграл x деленное 1+x в квадрате
Решение: $$ \int \frac{x\; dx}{1+x^2} -[\; t=1+x^2\;,\; dt=2x\, dx\;,\; x\, dx= \frac{dt}{2}\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\cdot ln|t|+C=\frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(1+x^2)+C \; ; \\ \int \frac{x\; dx}{(1+x)^2}=[\; t=1+x,\; dt=dx\; ]=\int \frac{t-1}{t^2}dt=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2})dt=\\\\=\int \frac{dt}{t}-\int t^{-2}dt=ln|t|-\frac{t^{-1}}{-1}+C=ln|1+x|+\frac{1}{1+x}+C\; ; $$
∫(x/(x+1)²)dx= I x+1=t x=t-1 dx=t I
∫[(t-1)]/t²)dt=∫(1/t)dt+∫(-1/t²)dt= ln It I+1/t+C =lnI x+1 I +1/(x+1)+C
Интеграл умножить на xdx/(1-x^2)^5 - НАЙТИ столбиками подстановки через новую переменную
Решение: $$ \int\limits { \frac{x}{(1-x^2)^5} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d( \frac{x^2}{2} ) = \frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(x^2) = \\ =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(-x^2) =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(1-x^2) =[1-x^2=t]= \\ =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{t^5} } \, dt =-\frac{1}{2} * \int\limits {t^{-5}} \, dt =-\frac{1}{2} * \frac{t^{-5+1}}{-5+1}+C= \frac{1}{8t^4}+C= \\ =\frac{1}{8(1-x^2)^4}+C =\frac{1}{8(x^2-1)^4}+C. $$
Интеграл cos^3(2x)*sin^5(2x)dx
Решение: Рекурентную формулу можете попытаться вывести сами. Суть в том, что беря неоднократно интеграл по частям, он в итоге сводится к самому себе. А там нетрудно увидеть зависимость.
интеграл от 5 до 10 (x^2 + 30x - 8x) = ?
Решение: Интеграл от 5 до 10 (x^2 + 30x - 8x)dx = Интеграл от 5 до 10 ((x в 3 степени : на 3) + 30 * (х^ : 2) - 8 * (х^ :2) = (x в 3 степени : на 3) + 15х^ - 4х^ вертикальная риска от 5 до 10 = 10 в 3 степени : 3 + 15* 10^ - 4*10^ - ((5 в 3 степени :3) + 15 * 5^ - 4* 5^ = ну а дальше все легко, просто посчитай.$$ \int\limits^{10}_{5} {x^2 + 30x - 8x}\, dx = \int\limits^{10}_{5} {x^2 + 22x}\, dx =\\\\ \frac{x^3}{3} + 11x^2 |\int\limits^{10}_{5} = \frac{1000}{3} + 11*100 - \frac{125}{3} - 11*25 =\\\\ \frac{875}{3} + 11*75 = \frac{3350}{3} $$
Интеграл tdt/√9-4t^2
Решение: $$ \int\limits { \frac{t}{ \sqrt{9-4t^2} } } \, dt=\{t= \frac{a}{b} \sin t,\,\,gde \sqrt{a^2-bx^2}\}=\\ = \int\limits { \frac{ \frac{3\sin u}{2} }{ \sqrt{9-4\cdot( \frac{3\sin u}{2})^2 } } } \, du= \int\limits { \frac{\sin u}{2 \sqrt{1-\sin^2u} } } \, du= \int\limits { \frac{\sin u}{2|\cos u|} } \, du=\\= \int\limits { \frac{\sin u}{2\cos u}\cdot \frac{3\cos u}{2} } \, du= \frac{3}{4} \int\limits {\sin u} \, du =- \frac{3\cos u}{4} +C=\\ =- \frac{3 \sqrt{1-( \frac{2t}{3})^2 } }{4} +C= \\ \boxed{- \frac{ \sqrt{9-4t^2} }{4} +C} $$Интеграл (x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx
Решение:
$$ \int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 - 8x^2 - 4 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 + 4x^2 + 1 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \\\\ = \frac{1}{4} \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 12x^2 + 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ ( 2x^2 + 1 ) } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) }{ 2x^2 + 1 } } \, dx + \int{ \frac{1}{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{2} \int{x^2} \, dx + \frac{1}{4} \int{dx} - \frac{3}{2} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } \int{ \frac{ d( \sqrt{2} x ) }{ ( \sqrt{2} x )^2 + 1 } } = \\\\ = \frac{1}{6} x^3 - \frac{5}{4} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } arctg{ \sqrt{2} x } = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ; \\ \int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ; $$
