интеграл »
найти интеграл - страница 11
Интеграл x^(13)•ln xdx
Решение: Решение
Используем интегрирование по частям: ∫udv = uv − ∫vdu Пусть u(x) = lnx и пусть dv(x) = x¹³ dx.
Затем du(x) = 1/x dx. Чтобы найти v(x):
Интеграл ∫(x^n)dx = x^(n+1) / (n+1):
∫x¹³dx = x¹⁴/14
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции: ∫( x¹³/14)dx = (1/14)∫x¹³dx
Интеграл ∫(x^n)dx = (^n+)/(n+1): ∫x¹³dx = x¹⁴/14
Таким образом, результат будет: x¹⁴/196
Теперь упростить: (x¹⁴/196)*(14*ln(x) − 1)
Добавляем постоянную интегрирования:
(x¹⁴/196)*(14*lln(x) − 1) + C
Ответ:(x¹⁴/196)*(14*ln(x) − 1) + C
Найти интегралы: \( 1) \int\limits^1_0 {(x^3-5x)} \, dx\\ 2) \int\limits^3_1 {(4x-x^2)} \,dx\\ 3) \int\limits^2_0 {(3x^2+2x-1)} \,dx\\ 4) \int\limits^{\frac{\pi}2}_{\frac{\pi}6} {\frac3{sin^2x}} \, dx \\ 5) \int\limits^3_0 {\frac1{(x-2)^2}} \, dx \)
Решение: $$ 1) \int\limits^1_0 {(x^3-5x)} \, dx =(\frac{x^4}4-\frac{5x^2}{2})|^1_0=(\frac14-\frac52)-0=(0.25-2.5)=-2.25\\ 2) \int\limits^3_1 {(4x-x^2)} \,dx =(\frac{4x^2}2-\frac{x^3}{3})|^3_1=\\=(2x^2-\frac{x^3}{3})|^3_1=(18-9)-(2-\frac13)=9-2+\frac13=7+\frac13=7\frac13\\ 3) \int\limits^2_0 {(3x^2+2x-1)} \,dx =(\frac{3x^3}3-\frac{2x^2}{2}-x)|^2_0=(x^3-x^2-x)|^2_0=\\=(8-4-2)-0=2\\ \\ 4) \int\limits^{\frac{\pi}2}_{\frac{\pi}6} {\frac3{sin^2x}} \, dx =3\int\limits^{\frac{\pi}2}_{\frac{\pi}6} {\frac1{sin^2x}} \, dx =2*(-ctgx)|^{\frac{\pi}2}_{\frac{\pi}6}=-2ctgx|^{\frac{\pi}2}_{\frac{\pi}6}=\\=-2(ctg\frac{\pi}2-ctg\frac{\pi}6)=-2(0-\sqrt3)=-2*(-\sqrt3)=2\sqrt3 \\ 5) \int\limits^3_0 {\frac1{(x-2)^2}} \, dx =\int\limits^3_0 {(x-2)^{-2}} \, dx =\int\limits^{3-2}_{0-2} {t^{-2}} \, dx =\int\limits^{1}_{-2} {t^{-2}} \, dx =\\=\frac{t^{-1}}{-1} |^1_{-2}=-t^{-1}|^{1}_{-2}=-(1^{-1})+(-2)^{-1})=-1-\frac12=-\frac32 $$
Интеграл \( \int {\frac{2x^2 -1}{x^3+6x^2 +9x}} \, dx\)
Решение: $$ \int {\frac{2x^2 -1}{x^3+6x^2 +9x}} \, dx = \int {\frac{2x^2 -1}{x \cdot (x^2+6x +9)}} \, dx = \int {\frac{2x^2 -1}{x \cdot (x+3)^2}} \, dx = (*) \\ \\ \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}+ \frac{C}{(x+3)^2}=\frac{2x^2-1}{x \cdot (x+3)^2} \\ \\ A(x^2 +6x+9) + B(x^2+3x) +Cx=2x^2-1 \\ \left\{\begin{aligned} & A +B=2 \\ & 6A+3B+C=0 \\ & 9A =-1 \end{aligned}\right. \ \ \left\{\begin{aligned} & B = 2+\frac{1}{9}=\frac{19}{9} \\ & C=\frac{6}{9}-\frac{3 \cdot 19}{9}=\frac{2-19}{3}=-\frac{17}{3} \\ & A =\\= -\frac{1}{9}\end{aligned}\right. \\ \\ \\ \int {(-\frac{1}{9x} + \frac{19}{9 \cdot (x+3)} - \frac{17}{3 \cdot (x+3)^2})} \, dx=\\= -\frac{1}{9} \int \frac{dx}{x} + \frac{19}{9} \int \frac{dx}{x+3} - \frac{17}{3} \int \frac{dx}{(x+3)^2}= \\\\ =-\frac{1}{9} \ln{|x|} + \frac{19}{9} \ln{|x+3|} - \frac{17}{3} \cdot (- \frac{1}{x+3}) + C = \\ \\ = -\frac{1}{9} \ln{|x|} + \frac{19}{9} \ln{|x+3|} + \frac{17}{ 3 \cdot (x+3)}+ C $$
Найти интеграл \(\int\limits_0^1(2x+3)e^{2x}dx \)
Решение: Интегрируем по частям
$$ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du \\ u=(2x+3); \ \ \ \, du =2\,dx \\ \\ v=e^{2x}; \ \ \, dv= \int\ {e^{2x}} \, dx =\frac{1}{2} e^{2x} \\ ((2x+3)\cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x})|^1_0 - \int \limits^1_0 {\frac{1}{2} \cdot e^{2x} \cdot 2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot ((2x+3)\cdot e^{2x})|^1_0 - \int \limits^1_0 { e^{2x}} \, dx = \\ \\ =(\frac{1}{2} \cdot (2x+3)\cdot e^{2x} - \frac{1}{2} \cdot e^{2x} )|^1_0 =\frac{1}{2} \cdot (e^{2x} \cdot (2x+2 )|^1_0= \\ \\ =\frac{1}{2} \cdot (4e^{2} - 2e^0 )=\frac{4e^2-2}{2} = 2e^2-1 $$
Интеграл \( \int\frac{cosx dx}{\sqrt[3]{sinx+2}}\)
Решение:Замена $$ t = \sin{x}; \ \ dt= \cos{x} \, dx \ \Rightarrow \ dx = \frac{dt}{\cos{x}} \\ \\ \int {\frac{\cos{x}}{ \sqrt[3]{t+2} } \cdot \frac{dt}{\cos{x}}}=\int \frac{dt}{ \sqrt[3]{t+2} }= \int \frac{d(t+2)}{\sqrt[3]{t+2}}=\frac{(t+2)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} +C =\\ \\ = \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{(t+2)^2} + C= \frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{(\sin{x}+2)^2} + C $$
Интеграл \( \int{\frac{x^3-1}{x+1}} \, dx \)
Решение: $$ \int{\frac{x^3-1}{x+1} \, dx = \int\ {(\frac{x^3}{x+1} - \frac{1}{x+1}) } \, dx = \int\ {\frac{x^3}{x+1} \, dx - \int \frac{1}{x+1} }} \, dx= \\ \\ = \int\ {\frac{x^2 \cdot (x+1) -x \cdot (x+1)+(x+1)-1}{x+1} \, dx - \int \frac{1}{x+1} } \, dx= \\ \\ = \int\ {(x^2 -x +1-\frac{1}{x+1}) \, dx - \ln{|x+1|}} =\\ \\ = \int\ {x^2} \, dx - \int\ {x } \, dx + \int\ {1} \, dx - \int\ {\frac{1}{x+1}} \, dx- \ln{|x+1|}= \\ \\ = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln{|x+1|}-\ln{|x+1|}+C= \ \\ \\ = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-2\ln{|x+1|}+C= $$Интеграл \( \int\frac{(x^2-1)dx}{(x-2)(x^2+x-2)} \)
Решение: $$ \int \frac{(x-1) \cdot (x+1)}{(x-2) \cdot (x-1) \cdot (x+2)} \, dx= \int \frac{ x+1}{(x-2)\cdot (x+2)} \, dx = (*) \\ \\ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}=\frac{x+1}{(x-2)\cdot (x+2)} \\ \\ A(x+2) + B(x-2)=x+1 \\ \\ \left\{\!\begin{aligned} & A+B=1 \\ & 2A-2B=1 \end{aligned}\right. \ \ \ \left\{\!\begin{aligned} & A=1-B \\ & 2-2B-2B=1 \end{aligned}\right. \ \ \ \left\{\!\begin{aligned} & A = 1-B \\ & -4B=-1 \end{aligned}\right. \\ \ \left\{\!\begin{aligned} & A = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \\ & B=\frac{1}{4} \end{aligned}\right. \\ (*) = \int {( \frac{\frac{3}{4} }{x-2} + \frac{\frac{1}{4}}{x+2})} \, dx = \\ \\ = \frac{3}{4} \int {\frac{\, dx}{x-2}} + \frac{1}{4} \int {\frac{ \, dx }{x+2}}= \\\\=\frac{3}{4}\cdot \ln{|x-2|}+\frac{1}{4} \cdot \ln{|x+2|}+C $$
Решение в файле.
Интеграл \( \int \frac{\sqrt{x} -5x^4+ 6}{x^{\frac{2}{3}}} \, dx \)
Решение: Разложим дробь и упростим, используя свойство степеней $$ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n} $$
Найдем интеграл по формуле $$ \int {x^n} \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \int \frac{\sqrt{x} -5x^4+ 6}{x^{\frac{2}{3}}} \, dx = \\ \\= \int (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}- \frac{5x^4}{x^{\frac{2}{3}}}+\frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}) \, dx = \\ \\ = \int x^{-\frac{1}{6}} \, dx-5 \int x^{\frac{10}{3}} \, dx + 6\int {x^{-\frac{2}{3}}} \, dx= \\ \\= \frac{x^{\frac{5}{6}}}{\frac{5}{6}} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{13}{3}}}{\frac{13}{3}}+ 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C= \\ \\ \ = \frac{6}{5} \cdot x^{\frac{5}{6}} - \frac{15}{13} \cdot x^{\frac{13}{3}}+ 18 \cdot x^{\frac{1}{3}}+C $$
Интеграл \(\int _3^{+\infty}\frac{dx}{e^{\frac{x}{3}}}\)
Решение: $$ \int\limits {e^{-x/3}} \, dx = -3e^{-x/3} + Const $$ (можете проверить, продифференцировав)
Откуда, пользуясь формулой Ньютона - Лейбница, находим значение определённого интеграла. $$ -3e^{-\infty/3} - (-3e^{-3/3}) = 0 - (-3/e) = 3/e $$
$$ \int _3^{+\infty}\frac{dx}{e^{\frac{x}{3}}}=lim_{b\to +\infty}\int _3^{b}\, e^{-\frac{x}{3}}\, dx=-3\cdot lim_{x\to +\infty }\int _3^{b}e^{-\frac{x}{3}}dx=\\\\=-3\cdot lim_{x\to +\infty }\int _3^{b}e^{-\frac{x}{3}}\, d(-\frac{x}{3})=-3\cdot lim_{x\to +\infty }e^{-\frac{x}{3}}\, |_3^{b}=\\\\=-3lim_{x\to +\infty }(e^{\frac{-b}{3}}-e^{-1})=-3\cdot (0-\frac{1}{e})=\frac{3}{e}=const\; \; \to \; \; sxoditsya \\ P.S.\; lim_{x\to \infty}e^{x}= \left \{ {{0,esli\; x\to -\infty } \atop {+\infty,esli\; x\to +\infty}} \right. $$
Интеграл \( \int\limits_0^5 \frac{dx}{2+\sqrt(x+4)} \)
Решение: $$ \int\limits^5_0 { \frac{\, dx }{2+ \sqrt{x+4} } } = $$
замена х+4=у², dx=2ydy, у изменяется от 2 до 3
$$ \int\limits^3_2 { \frac{2y\, dy }{2+ y } } = 2\int\limits^3_2 { \frac{(y+2-2)\, dy }{2+ y } } =\\= 2 \int\limits^3_2 { \frac{(y+2)\, dy }{2+ y } }-2 \int\limits^3_2 { \frac{\, dy }{2+ y } } = 2\int\limits^3_2 {\, dy } -4\int\limits^3_2 { \frac{\, d(2+y) }{2+ y } } = \\ 2y|\int\limits^3_2 {\, dy } -4ln|2+y||\int\limits^3_2 =6-4-4(ln5-ln4)=2-4ln1.25 $$
