интеграл »
найти интеграл - страница 11
Интеграл x^(13)•ln xdx
Решение: Решение
Используем интегрирование по частям: ∫udv = uv − ∫vdu Пусть u(x) = lnx и пусть dv(x) = x¹³ dx.
Затем du(x) = 1/x dx. Чтобы найти v(x):
Интеграл ∫(x^n)dx = x^(n+1) / (n+1):
∫x¹³dx = x¹⁴/14
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции: ∫( x¹³/14)dx = (1/14)∫x¹³dx
Интеграл ∫(x^n)dx = (^n+)/(n+1): ∫x¹³dx = x¹⁴/14
Таким образом, результат будет: x¹⁴/196
Теперь упростить: (x¹⁴/196)*(14*ln(x) − 1)
Добавляем постоянную интегрирования:
(x¹⁴/196)*(14*lln(x) − 1) + C
Ответ:(x¹⁴/196)*(14*ln(x) − 1) + C
Найти интегралы: 1)1∫0(x3−5x)dx2)3∫1(4x−x2)dx3)2∫0(3x2+2x−1)dx4)π2∫π63sin2xdx5)3∫01(x−2)2dx
Решение: 1)1∫0(x3−5x)dx=(x44−5x22)|10=(14−52)−0=(0.25−2.5)=−2.252)3∫1(4x−x2)dx=(4x22−x33)|31==(2x2−x33)|31=(18−9)−(2−13)=9−2+13=7+13=7133)2∫0(3x2+2x−1)dx=(3x33−2x22−x)|20=(x3−x2−x)|20==(8−4−2)−0=24)π2∫π63sin2xdx=3π2∫π61sin2xdx=2∗(−ctgx)|π2π6=−2ctgx|π2π6==−2(ctgπ2−ctgπ6)=−2(0−√3)=−2∗(−√3)=2√35)3∫01(x−2)2dx=3∫0(x−2)−2dx=3−2∫0−2t−2dx=1∫−2t−2dx==t−1−1|1−2=−t−1|1−2=−(1−1)+(−2)−1)=−1−12=−32
Интеграл ∫2x2−1x3+6x2+9xdx
Решение: ∫2x2−1x3+6x2+9xdx=∫2x2−1x⋅(x2+6x+9)dx=∫2x2−1x⋅(x+3)2dx=(∗)Ax+Bx+3+C(x+3)2=2x2−1x⋅(x+3)2A(x2+6x+9)+B(x2+3x)+Cx=2x2−1{A+B=26A+3B+C=09A=−1 {B=2+19=199C=69−3⋅199=2−193=−173A==−19∫(−19x+199⋅(x+3)−173⋅(x+3)2)dx==−19∫dxx+199∫dxx+3−173∫dx(x+3)2==−19ln|x|+199ln|x+3|−173⋅(−1x+3)+C==−19ln|x|+199ln|x+3|+173⋅(x+3)+C
Найти интеграл 1∫0(2x+3)e2xdx
Решение: Интегрируем по частям
∫udv=uv−∫vduu=(2x+3); du=2dxv=e2x; dv=∫ e2xdx=12e2x((2x+3)⋅12⋅e2x)|10−1∫012⋅e2x⋅2dx=12⋅((2x+3)⋅e2x)|10−1∫0e2xdx==(12⋅(2x+3)⋅e2x−12⋅e2x)|10=12⋅(e2x⋅(2x+2)|10==12⋅(4e2−2e0)=4e2−22=2e2−1
Интеграл ∫cosxdx3√sinx+2
Решение:Замена t=sinx; dt=cosxdx ⇒ dx=dtcosx∫cosx3√t+2⋅dtcosx=∫dt3√t+2=∫d(t+2)3√t+2=(t+2)2323+C==32⋅3√(t+2)2+C=32⋅3√(sinx+2)2+C
Интеграл ∫x3−1x+1dx
Решение: ∫x3−1x+1dx=∫ (x3x+1−1x+1)dx=∫ x3x+1dx−∫1x+1dx==∫ x2⋅(x+1)−x⋅(x+1)+(x+1)−1x+1dx−∫1x+1dx==∫ (x2−x+1−1x+1)dx−ln|x+1|==∫ x2dx−∫ xdx+∫ 1dx−∫ 1x+1dx−ln|x+1|==x33−x22+x−ln|x+1|−ln|x+1|+C= =x33−x22+x−2ln|x+1|+C=Интеграл ∫(x2−1)dx(x−2)(x2+x−2)
Решение: ∫(x−1)⋅(x+1)(x−2)⋅(x−1)⋅(x+2)dx=∫x+1(x−2)⋅(x+2)dx=(∗)Ax−2+Bx+2=x+1(x−2)⋅(x+2)A(x+2)+B(x−2)=x+1{A+B=12A−2B=1 {A=1−B2−2B−2B=1 {A=1−B−4B=−1 {A=1−14=34B=14(∗)=∫(34x−2+14x+2)dx==34∫dxx−2+14∫dxx+2==34⋅ln|x−2|+14⋅ln|x+2|+C
Решение в файле.
Интеграл ∫√x−5x4+6x23dx
Решение: Разложим дробь и упростим, используя свойство степеней xmxn=xm−n
Найдем интеграл по формуле ∫xndx=xn+1n+1+C∫√x−5x4+6x23dx==∫(x12x23−5x4x23+6x23)dx==∫x−16dx−5∫x103dx+6∫x−23dx==x5656−5⋅x133133+6⋅x1313+C= =65⋅x56−1513⋅x133+18⋅x13+C
Интеграл ∫+∞3dxex3
Решение: ∫e−x/3dx=−3e−x/3+Const (можете проверить, продифференцировав)
Откуда, пользуясь формулой Ньютона - Лейбница, находим значение определённого интеграла. −3e−∞/3−(−3e−3/3)=0−(−3/e)=3/e
∫+∞3dxex3=limb→+∞∫b3e−x3dx=−3⋅limx→+∞∫b3e−x3dx==−3⋅limx→+∞∫b3e−x3d(−x3)=−3⋅limx→+∞e−x3|b3==−3limx→+∞(e−b3−e−1)=−3⋅(0−1e)=3e=const→sxoditsyaP.S.limx→∞ex={0,eslix→−∞+∞,eslix→+∞
Интеграл 5∫0dx2+√(x+4)
Решение: 5∫0dx2+√x+4=
замена х+4=у², dx=2ydy, у изменяется от 2 до 3
3∫22ydy2+y=23∫2(y+2−2)dy2+y==23∫2(y+2)dy2+y−23∫2dy2+y=23∫2dy−43∫2d(2+y)2+y=2y|3∫2dy−4ln|2+y||3∫2=6−4−4(ln5−ln4)=2−4ln1.25