интеграл »

найти интеграл - страница 11

  • 1) Вычислите предел: lim стремящийся к бесконечности (2x^4+7-1)/3x^4+6
    2) Решите неравенство: (x+5)(x-3)/x-7<0
    3) Решите уравнение: log по основанию 1/3 (2x+7)=-2
    4) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-12x+3 на промежутке [0;4]
    5) Вычислите определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx


    Решение: 1) Чтобы вычислить предел функции на бесконечности, нужно почленно и числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень х, т. е. в данном примере на х^4. получим в ответе 2/3.
    2) (х+5)(х-3)/(х-7)<0
    (х+5)(х-3)(х-7)<0
    (х+5)(х-3)(х-7)=0
    (х+5)=0 (х-3)=0 (х-7)=0
    x=-5 x=3 x=7
     наносим нули функции на координатную прямую, разбиваем на интервалы, проверяем знаки и выбираем интервал, где функция отрицательна
     -5 3 7 +-+- Ответ; х=(-5;3),(7;+бесконечности)
    3) log по осн,1/3 (2х+7)=-2
    2х+7=(1/3)^-2
    2x+7=9
    2x=2
    x=1
    4) Найти наиб и наим значение функции f(x)=x^3-12x+3 на[0;4]
    находим производную функции, приравниваем ее к нулю,
    f"=3х^2-12
    f"=0, 3x^2-12=0, x^2=4, x1=2, x2=-2- точка не принадлежит [0;4]
    Находим значения функции в точках 0,2,4.
    f(0)=3
    f(2)=2^3-12*2+3=8-24+3=-13 наименьшее
    f(4)=4^3-12*4+3=64-48+3=19 наибольшее
    5) Вычислите определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx
     определенный интеграл от 1 до 2(6x+5)dx=6x^2/2+5x от 1 до 2= 3(2^2-1^)+ 5(2-1)=3*3+5=14
     

  • S(x^4-8x^3+4x)dx
    Найти интегралы
    Б) S(cos^2x sin x dx
    В) (e^3x+1)dx


    Решение: $$ \int(x^4-8x^3+4x)dx=\frac{x^5}{5}-8\frac{x^4}{4}+4\frac{x^2}{2}+C=\frac{x^5}{5}-2x^4+2x^2+C\\\\\int cos^2x\cdot sinxdx=\int (cosx)^2\cdot (-d(cosx))=-\frac{cos^3x}{3}+C\\\\\int (e^{3x}+1)dx=\frac{1}{3}e^{3x}+x+C $$

    $$ a) \int{(x^4-8x^3+4x)}dx=\\ | \int{x^{\alpha}dx}= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C|\\ = \int{x^4}dx-8\int{x^3}dx+4\int{x^1}dx=\\ = \frac{x^{4+1}}{4+1}-8 \frac{x^{3+1}}{3+1}+4 \frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\\ = \frac{x^5}{5}- \frac{8x^4}{4}+ \frac{4x^2}{2}+C=\\ = \frac{x^5}{5}-2x^4+2x^2+c;\\ \\ b) \int{\cos(2x)sin(x)}dx=|d(\cos(x))=-\sin(x)dx|=\\ =-\int{\cos(2x)d(\cos(x))}=\\ |\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha|\\ =-\int{(2\cos^2(x)-1)}d(\cos(x))=| t=\cos(x)|=\\ =-\int{(2t^2-1)}dt=|\int{x^{alpha}}dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C|\\ =-2\int{t^2}dt+\int{t^0}dt=-2 \frac{t^{2+1}}{2+1}+ \frac{t^{0+1}}{0+1}=\\ =- \frac{2}{3}t^3+t+C=|t=\cos(x)|=\cos(x)- \frac{2}{3}\cos^3(x)+C=\\ \cos(x)(1- \frac{2}{3}\cos^2(x))+C=\\ =\cos(x)(1- \frac{2}{3}(1-\sin^2(x))+C= \\ =\cos(x)(1- \frac{2}{3}+ \frac{2}{3}\sin^2(x))+C=\\ =\cos(x)( \frac{1}{3}+ \frac{2}{3}\sin^2(x))+C=\\ = \frac{1}{3}\cos(x)(1+2\sin^2(x))+C; \\ c)\int(e^{3x}+1)dx=\int{e^{3x}}dx+\int{}dx=\\ |\int{e^x}dx=e^x+C; \int{x^\alpha}dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C;d(x)= \frac{1}{3}dx|\\ = \frac{1}{3}\int{e^{3x}}d(3x)+\int{x^0}dx=\\ = \frac{1}{3}e^{3x}+ \frac{x^{0+1}}{0+1}+C=\\ = \frac{1}{3}e^{3x}+x+C $$

  • Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах проверить результат дифференцированием.
    1)\( \int{\frac{1}{sin^{2}(3x-2)}}dx \)
    2)\( \int{\frac{tgx}{cos^{2}x}}\, dx \)
    3)\( \int{xe^{-x}}\, dx \)
    4)\( \int\limits^2_0 {\sqrt{2x+5}} \, dx \)


    Решение: $$ 1)\ \int{\frac{1}{sin^{2}(3x-2)}}dx=-\frac{1}{3}ctg(3x-2)+C \\ (-\frac{1}{3}ctg(3x-2)+C)’=-\frac{1}{3}*(3x-2)’*(-\frac{1}{sin^2(3x-2)})=\frac{1}{sin^2(3x-2)} \\ 2)\ \int{\frac{tgx}{cos^{2}x}}\, dx=\int{tgx}\, d(tgx)=\frac{tg^2x}{2}+C \\ \\ (\frac{tg^2x}{2}+C)’=\frac{1}{2}*2*tgx*(tgx)’=\frac{tgx}{cos^2x} \\ 3)\ \int{xe^{-x}}\, dx=[u=x\ \ \ du=dx\ \ \ dv=e^{-x}dx\ \ \ v=-e^{-x}]= \\ \\ = -xe^{-x}+\int{e^{-x}}\, dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C \\ 4)\ \int\limits^2_0 {\sqrt{2x+5}} \, dx=(\frac{1}{3}(2x+5)^{3/2})[_0^2=\frac{1}{3}*9*\sqrt9- \\ \\ - \frac{1}{3}*5*\sqrt5=9-\frac{5\sqrt5}{3} $$

  • Решите интегралы S-знак интеграла 1)S xdx/(x^2-20)^(1/2) 2)S dx/(x-1)(x-20) 3)S 3xdx/(x-5)(x-15) 4)S (x-9)dx/(x-1)(x-3) 5)S 16dx/x(x^2-16)


    Решение: 1)=integrate xdx/(sqrt(x^2-20)) [u=x^2-20;du=2xdx]=1/2 integrate du/(sqrt(u))=1/2*(2*sqrt(u))=sqrt(u)=sqrt(x^2-20)+C
    2)=-1/(20-1)*ln((x-20)/(x-1))=1/19*(ln(20-x)-ln(1-x))+C
    3)=3 integrate xdx/((x-5)(x-15))=-3/2*(ln(5-x)-3*ln(15-x))+C
    4)=integrate((4/(x-1))-3/(x-3))dx=4 integrate dx/(x-1)-3 integrate dx/(x-3) [u=x-1;du=dx] =4 integrate du/u-3integrate dx/(x-3)=4*ln(u)-3 integrate dx/(x-3)=4*ln(x-1)-3 integrate dx/(x-3) [u=x-3;du=dx] =4*ln(x-1)-3 integrate du/u=4*ln(x-1)-3*ln(u)=4*ln(x-1)-3*ln(x-3)+C

  • 1. дано f’(x)=x^3 найти f’(-1)
    2. решите уравнение 4^x-2=(1/4)^2x-1
    3. вычислите интеграл от 1 до 2 x^4dx
    4. Найдите минимумы функции f(x)=3x-x^3


    Решение: 1) f`(-1)=(-1)^3=-1

    2)4^x-2=4^1-2x, x-2=1-2x, 3x=3,x=1

    3)X^5/5 от 1 до 2, 2^5/5- 1^5/5=31/5

    4) найдем производную f`(x)=3-3x^2. приравняем к нулю.

    3x^2=3, x^2=1, x=+-1. они же и являются точками минимума

    1)$$ f’(-1)=(-1)^3=-1 $$

    2)$$ 4^{x-2}=(\frac{1}{4})^{2x-1}\\4^{x-2}=(4^{-1})^{2x-1}\\x-2=-2x+1\\3x=3\\x=1 $$ 

    3)$$ \int_{1}^{2} x^4 dx=\frac{x^5}{5}|\int_1^2=\frac{2^5}{5}-\frac{1^5}{5}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5} $$

    4)$$ f’(x)=(3x-x^3)’=3-3x^2\\f’(x)=0\\3-3x^2=0\\x^2=1\\x=1\ \ \ \ \ \ x=-1 $$

    x=1 - точка максимума функции.

    х=-1 - точка минимума функции. 

<< < 91011 12 13 > >>