интеграл »

найти интеграл - страница 13

  • Найти интеграл \( \int{\frac{x+4}{2x^2-6x-8}}dx \)

    Ответ: \( \frac{1}{4}ln(2x^2-6x-8)+\frac{11}{20}ln(\frac{x-4}{x+1}) \)


    Решение: Разложим подинтегральную дробь:

     $$ \frac{x+4}{2x^2-6x-8}=\frac{x+4}{x^2-3x-4}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1} $$

     и методом неопределенных коэффициентов найдем А и В

     $$ \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x-4)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+4}{(x-4)(x+1)} $$ Решаем систему

     $$ \left \{ {{A+B=1} \atop {A-4B=4}} \right. $$

    Откуда $$ A=\frac{8}{5} B=-\frac{3}{5} $$

     получаем

     $$ \int{\frac{x+4}{2x^2-6x-8}}\, dx=\int{\frac{8}{5(x-4)}}\, dx-\int{\frac{3}{5(x+1)}}\, dx $$

    Получаем

    $$ \int{\frac{8}{5(x-4)}}\, dx-\int{\frac{3}{5(x+1)}}\, dx=\frac{8}{5}ln(x-4)-\frac{3}{5}ln(x+1) $$

    ответ $$ \int{\frac{x+4}{2x^2-6x-8}}\, dx=\frac{8}{5}ln(x-4)-\frac{3}{5}ln(x+1) $$

    Продифференциировав полученный результат получаем исходную дробь, дифференциируя же данный ответ получаем нечто иное и очень длинное, можете убедиться сами

  • Найти интеграл dx/(2x^2-11x+2)


    Решение: $$ \int\frac{1}{2x^2-11x+2} \ dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2-\frac{11}{2}x+1} \ dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x-\frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16}+1} \ dx =\\\\\\ \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x-\frac{11}{4})^2 - \frac{121}{16}+1} \ dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x-\frac{11}{4})^2 - (\frac{\sqrt{105}}{4})^2} \ dx = \\ \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x-\frac{11}{4} - \frac{\sqrt{105}}{4})(x-\frac{11}{4} + \frac{\sqrt{105}}{4})} \ dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x - \frac{\sqrt{105} + 11}{4})(x + \frac{\sqrt{105} - 11}{4})} \ dx= \\ \frac{1}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{105}}}{x - \frac{\sqrt{105} + 11}{4}} - \frac{1}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{105}}}{x + \frac{\sqrt{105} - 11}{4}} \ dx =\\\\\\ \frac{1}{\sqrt{105}}\int\frac{1}{x - \frac{\sqrt{105} + 11}{4}} \ dx - \frac{1}{\sqrt{105}}\int\frac{1}{x + \frac{\sqrt{105} - 11}{4}} \ dx = \\ \frac{1}{\sqrt{105}}ln|x - \frac{\sqrt{105} + 11}{4}| - \frac{1}{\sqrt{105}}ln|x + \frac{\sqrt{105} - 11}{4}| + C = \\ \frac{1}{\sqrt{105}}ln|\frac{x - \frac{\sqrt{105} + 11}{4}}{x + \frac{\sqrt{105} - 11}{4}}| + C =\frac{1}{\sqrt{105}}ln|\frac{4x - \sqrt{105} - 11}{4x + \sqrt{105} - 11}| + C $$

  • Найти интеграл по формулам интегрирования: \( \int ((\sin(5x)-\frac{2}{\cos^2(3x)}+3^x-4)dx = \)


    Решение: $$ \int ((\sin(5x)-\frac{2}{\cos^2(3x)}+3^x-4)dx =\\\\ \frac{1}{5}\int\sin(5x)d(5x)-\frac{2}{3}\int\frac{d(3x)}{\cos^2(3x)} + 3^x/\ln3-4x=\\\\ \frac{1}{5}\cos{5x}-\frac{2}{3}\tan(3x)+3^x/\ln_3-4x+C $$

    int sin x - frac cos x x- dx frac int sin x d x - frac int frac d x cos x x ln - x frac cos x - frac tan x x ln - x C...

  • Решите интеграл x^2cosxdx


    Решение: Это классика, решается интегрированием по частям.
    S x^2 * cos(x) dx = [вносим cos(x) под дифференциал] =
    = S x^2 d sin(x) = [формула интегрирования по частям] =
    = x^2 * sin(x) - S sin(x) d x^2 = x^2 * sin(x) - 2*S x * sin(x) dx  =
    = [проделываем то же самое еще раз] =
    = x^2 * sin(x) + 2* S x d cos(x) =
    = x^2 * sin(x) + 2*x*cos(x)  - 2*S cos(x) d x = [это уже легко] =
    =  x^2 * sin(x) + 2*x*cos(x)  - 2*sin(x) + C =
    = (x^2 - 2)*sin(x) + 2*x*cos(x) + C

  • Найти интеграл? \(1)\int\frac{cos^2t-ctg^2t}{sin^2t-tg^2t}=\\ 2)\int\frac{(sinx+cosx)^2-1}{tgx-sinx\cdot cosx}=\\ 3)\int\frac{ctgx}{tgx+ctgx}= \)


    Решение: $$ 1)\; \; \frac{cos^2t-ctg^2t}{sin^2t-tg^2t}=\frac{cos^2t-\frac{cos^2t}{sin^2t}}{sin^2t-\frac{sin^2t}{cos^2t}}=\frac{cos^2t(sin^2t-1)}{sin^2t(cos^2t-1)}=\frac{cos^2t(-cos^2t)}{sin^2t(-sin^2t)}=\\\\=\frac{cos^4t}{sin^4t}=ctg^4t \\ 2)\; \; \frac{(sinx+cosx)^2-1}{tgx-sinx\cdot cosx}=\frac{1+2sinx\cdot cosx-1}{\frac{sinx}{cosx}-sinx\cdot cosx}=\frac{2sinx\cdot cos^2x}{sinx(1-cos^2x)}=\\\\=\frac{2cos^2x}{sin^2x}=2ctg^2x\\\\3)\; \; \frac{ctgx}{tgx+ctgx}=\frac{cosx}{sinx\cdot (\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx})}=\frac{cosx\cdot sinx\cdot cosx}{sinx(sin^2x+cos^2x)}=\frac{cos^2x}{1} =cos^2x $$

  • Интеграл dx/sinx*cosx


    Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождество:
    cos^2(x) + sin^2(x) = 1
    Интеграл ( dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( 1*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( ( cos^2(x) + sin^2(x) )*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( cos^2(x)*dx:(sin(x)*cos(x)) ) + Интеграл ( sin^2(x)*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( cos(x)*dx : sin(x) ) + Интеграл ( sin(x)*dx : cos(x) ) = Интеграл ( d(sin(x)) : sin(x) ) + Интеграл ( -d(cos(x)) : cos(x) ) =
    ln (sin(x)) - ln(cos(x)) + C = ln (tg(x)) + C 

  • Интеграл от dx/(sinx+cosx)


    Решение: $$ \int \frac{dx}{sinx+cosx}=[\, t=tg\frac{x}{2},sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}\, ]=\\\\=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\, dt}{-(t^2-2t-1)}=\\=-2\int \frac{dt}{(t-1)^2-2}=[v=t-1,dv=dt]=\\\\=-2\int \frac{dv}{v^2-2}=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt2}\cdot ln|\frac{v-\sqrt2}{v+\sqrt2}|+C=\\=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln|\frac{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}|+C= \\ =\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln\, |\frac{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}|+C $$

  • Нужна помощь с интегралом:
    интеграл от пи до 0= e^x*cos^2xdx


    Решение: $$ \int\limits^ \pi _0 {e^xcos^2x} \, dx= \int\limits^ \pi _0 {e^x(1+cos2x)/2} \, dx=1/2( \int\limits^ \pi _0 {e^x} \, dx + \int\limits^ \pi _0 {e^xcos2x} \, dx ) $$
    найдем интеграл $$ \int\limits {e^xcos2x} \, dx $$
    u = cos2x  du=-1/2sin2xdx
    dv=e^xdx  v=e^x
    $$ \int\limits {e^xcos2x} \, dx =e^xcos2x+ 1/2\int\limits {e^xsin2x} \, dx = $$
    u = sin2x  du=1/2cos2xdx
    dv=e^xdx  v=e^x
    =$$ e^xcos2x+1/2(e^xsin2x-1/2 \int\limits {e^xcos2x} \, dx )= \ e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx \\ \int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx \\ 5/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x \\ \int\limits {e^xcos2x} \\, dx= 4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x \\ 1/2( {e^x} +4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x) \int\limits^ \pi _0= \\ 1/2 {e^x} (1 +4/5cos2x+2/5sin2x) \int\limits^ \pi _0=1/2e^ \pi (1+4/5+0)-1/2e^0(1+4/5+0) = 9/10(e^ \pi -1) $$

  • Интеграл от п/2 до -п/2 dx/1+cosx


    Решение: $$ 1+cosx=cos ^{2} \frac{x}{2}+sin ^{2} \frac{x}{2}+cos ^{2} \frac{x}{2}-sin ^{2} \frac{x}{2}=2cos ^{2} \frac{x}{2} \\ \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{dx}{1+cosx} } \,= \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{dx}{2cos ^{2} \frac{x}{2} } } \,= \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{d( \frac{x}{2}) }{cos ^{2} \frac{x}{2} } } \,=tg \frac{x}{2}|^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} =tg \frac{ \pi }{4}-tg(- \frac{ \pi }{4})= \\ = 1-(-1)=2 $$

  • Решите простенький интеграл и объясните как вы его решили.
    S cos½x dx


    Решение: $$\int{cos1/2x}\, dx=2\int{cos1/2x}\;\\, d1/2x=-2sin1/2x+C $$

    ничего обозначать не нужно через t. чтобы нати первообразную, вам нужно чтобы то, что было перед х в интеграле, то было и перед х у dx

    там cos1/2x, значит 1/2 должна быть и перед dx.

    чтобы не нарушать уравнение, мы берем 2/2, 2 выносим за знак интеграла, а 1/2 подставляем в dx

    первообразная от cosx это -sinx

<< < 111213 14 15 > >>