интеграл »
найти интеграл - страница 15
Найти интеграл:
dx/x^2-2x
Решение: 2 варианта, в зависимости от того как выглядит пример)$$ \int {} \, \frac{dx}{x^2-2x}= \int {} \, \frac{dx}{x^2-2x+1-1}=\int {} \, \frac{dx}{(x-1)^2-1}= \\ =\int {} \, \frac{d(x-1)}{(x-1)^2-1}=-\int {} \, \frac{d(x-1)}{1-(x-1)^2}=- \frac{1}{2}ln| \frac{1+x-1}{1-(x-1)} |+C= \\ =- \frac{1}{2}ln| \frac{x}{2-x} |+C $$
Интеграл dx деленное на x^2+16
Решение: Решаем интеграл вида:
$$ \int \frac{1}{x^2+16}dx $$
Используем замену:
$$ x=4u:\quad \quad dx=4du $$
Получаем:
$$ =\int \frac{1}{\left(4u\right)^2+16}4du=\int \frac{1}{4u^2+4}du=\int \frac{1}{4\left(u^2+1\right)}du=\frac{1}{4}\int \frac{1}{u^2+1}du \\ =\frac{1}{4}\arctan \left(u\right) $$
Делаем обратную замену:
$$ u=\frac{1}{4}x $$
Получаем:
$$ =\frac{1}{4}\arctan \left(\frac{1}{4}x\right)=\frac{\arctan \left(\frac{x}{4}\right)}{4}+C $$
Почему интеграл от dx равен x ?
Решение: Теорема. Если функция F1(x) b F2(x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b], то разность между ними равна постоянному числу.
Доказательство.
F1’(x) = f(x) (1)F2’(x) = f(x), то F1’(x) - F2’(x) = Const.
φ(x) = F1 - F2φ’(x) = F1’ - F2’ = 0
Т. е. обозначим:F1 (x) - F2 (x) =φ(x) (2) Тогда на основании равенств (1) будет:F1’(x) - F2’(x) = f(x) - f(x) = 0 или φ’(x) = [F1 (x) - F2 (x)]’ = 0 при любом значении x на отрезке[a;b]. Но из равенства φ’(x) = 0 следует, что φ(x) есть постоянная. Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]. Какова ни была точка x на отрезке [a;b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа.
φ (x) - φ (a) = φ’ (x) (x-a), где a
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т. е. если F’(x) = f (x), то и( ∫ f (x) dx )’ = (F (x) + C)’ = f (x)
(4) Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражениюd ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx
(5) Это получается на основании формулы (4)3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная∫ dF (x) = F (x) + CС справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx))
или как в шутке, мелко и коротко, x - это тождественная функция (f(x)=x).Решить: Интеграл (x^2-x+cos x)dx
Интеграл x^5-x^4-x+1/x dx
Интеграл (2x+7)^6 dx
Решение: 1) $$ \int\limits{x^{2}-x+cos(x)} \, dx =\int\limits {x^{2}} \, dx - \int\limits {x} \, dx + \int\limits {cos(x)} \, dx = \ \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+sin(x)+C $$
2) $$ \int\limits {x^{5}-x^{4}-x+\frac{1}{x}} \, dx=\int{x^{5}}\, dx - \int{x^{4}}\, dx - \int{x}\, dx + \int{\frac{1}{x}}\, dx = \frac{x^{6}}{6}-\frac{x^{5}}{5}- \\ \frac{x^{2}}{2}+ln(x)+C $$
3) $$ \int\limits {(2x+7)^{6}} \, dx $$
Произведем замену переменных следующим образом:
$$ 2x+7=t \\dx=2dt $$
Теперь игтеграл выглядит так:
$$ \int\limits {t^{6}} \, dt=\frac{t^{7}}{7}+C $$
Вернёмся к старой переменной:
$$ \frac{(2x+7)^{7}}{7}+C $$
Интеграл x*arcsin2x dx как можно решить
Решение: U=arcsin(2x); du=2*(1/√(1-4x^2)dx
dv=xdx; v=integral xdx=(x^2) /2+c;
integral udv=uv- integral vdu
Применяя эту формулу (интегрирования по частям), получим
integral arcsin2x *xdx=arcsin2x *(0,5x^2+c) - integral (0,5x^2+c) * (2/√(1-4x^2))dx=
0,5x^2 *2/√(1-4x^2)=x^2 /√(1-4x^2)
Пусть √(1-4x^2)=t; t^2=1-4x^2; x^2=(1-t^2)/4; 2dx=1/4 *(-2dt); dx=-1/4 *dt
integral x^2 /√(1-4x^2) dx=integral ((1-t^2) /(4t)) (-1/4 dt=-1/16(int 1/tdt-int tdt)=
=-1/16 * (ln|t| -t^2/2 )+c
получаем.=arcsin2x *0,5x^2+1/16 *(ln|√1-4x^2)-(√(1-4x^2)^2 /2+c
Проверьте еще раз!
