интеграл »
найти интеграл - страница 15
1. Найти интегралы:
а) неопределенные:
S(1-x^4)x^3dx; Scosxdx/корень 3+sinx
б) определенные:
пи
S2 sin x+пи/3 *dx;
0
2
S x-2/3 *dx
1
Решение: $$ \int\limits {(1-x^4)x^3} \, dx= \int\limits{(x^3-x^7)} \, dx= \int\limits{x^3} \, dx- \int\limits {x^7} \, dx= \frac{x^4}{4}- \frac{x^8}{8}+C= \\ = \frac{x^4}{4}(1- \frac{x^4}{2})+C; \\ \int\limits{ \frac{cosx}{ \sqrt{3+sin x} } } \, dx= \int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{3+sin x}} } \, d(sin x)=(t=sin x; dt=d(sin x))= \\ =\frac{1}{2} \int\limits { \frac{2}{ \sqrt{3+t} } } \, dt=2\sqrt{3+t}+C=2\sqrt{3+sin x}+C; \\ \int\limits^ \pi _0 {(2sin x+ \frac{ \pi }{3}) } \, dx= \ \int\limits^ \pi _0 {2sin x} \, dx- \int\limits^ \pi _0 { \frac{ \pi }{3} } \, dx=-2cosx|^{ \pi }_0- \frac{ \pi }{3}x|^{ \pi }_0=-2(cos\pi -cos 0)- \frac{ \pi }{3}*\pi= \\ =-2(-1-1)- \frac{ \pi ^2}{3}=4-\frac{ \pi ^2}{3}; \\ \int\limits^2_1 {(x- \frac{2}{3})} \, dx=\int\limits^2_1 {x} \, dx- \int\limits^2_1 { \frac{2}{3} } \, dx= \frac{x^2}{2}|^{2}_1- \frac{2}{3}x|^{2}_1= \\ = \frac{1}{2} (2^2-1)-\frac{2}{3}(2-1)= \frac{3}{2}- \frac{2}{3}= \frac{9-4}{6}= \frac{5}{6}. $$Решить три неопределенных интеграла) и проверьте результат дифференцированием \(\int cos^2x sinx dx\\ \int cos \sqrt x dx \\ \int\frac{(x-3)dx}{(x+2)x^2} \)
Решение: 1) вносим sinx под знак дифференциала
integral cosx*sinxdx=- integral cosxdcosx=-1/2*cos^2(x)+C
Проверка: (-1/2*cos^2(x)+C) штрих=-1/2*2cosx*(-sinx)=cosx*sinx2)
замена:
√x=t⇒x=t^2⇒dx=2tdt
integral cos√xdx=integral 2tcostdt=2 integral tcotdt
Интегрируем по частям
t=u⇒dt=ducostdt=dv⇒v=integral costdt=sint2 integral tcotdt=2*(tsint-integral sintdt)=2tsint+2cost=2√x*sin√x+2cos√x+C
Проверка:(2√x-sin√x+2cos√x+C) штрих=2(1/(2√x)*sin(√x)+cos√x*(1/(2√x))*√x)-2sin√x*(1/(2√x)=sin√x/(√x)+cos√x-sin√x/(√x)=cos√x
3) integral (x-3)dx/(x^2(x+2)=integral (x+2-5)dx/(x^2(x+2)=integral (dx/x^2)-5 integral dx/(x^2(x+2)
integral dx/x^2=-1/x
Второй интеграл находим методом неопределенных коэф-в
Находим нули знаменателя: x1=0; x2=0; x3=-2
Значит, 1/(x^2*(x+2))=A/x+B/x^2+C/(x+2)
Приводим правую часть к общему знаменателю x^2*(x+2)
Получим,Ax(x+2)+B(x+2)+Cx^2=1x^2(A+C)+x(2A+B)+2B=1⇒2B=1; 2A+B=0; A+C=0⇒B=1/2; 2A+1/2=0; A=-1/4; C=1/4
integral dx/(x^2(x+2))=integral (-dx/4x)+integral (dx/2x^2)+integral (dx/4(x+2)
-5*integral dx/(x^2(x+2))=5/4*integral (dx/x)-5/2*integral (dx/x^2)-5/4*integral (dx/(x+2)=
=5/4*lnx+5/2*1/x-5/4*ln(x+2)
integral (x-3)dx/(x^2(x+2)=-1/x+5/4*lnx+5/(2x)-5/4*ln(x+2)+C=3/(2x)+5/4*ln(x/(x+2))+C
Проверка
(3/(2x)) штрих=-3/2*1/(x^2)
5/4*ln(x/(x+2)) штрих=5/4*((x+2)/x*((x+2-x)/((x+2)^2))=5/4*2/(x(x+2))=5/(2x(x+2))
-3/2*1/(x^2)+5/(2x(x+2))=(-3x-6+5x)/(2x^2*(x+2))=(2x-6)/(2x^2(x+2))=(x-3)/(x^2(x+2))
Определенный интеграл и нахождение площади неправильной фигуры
y=-x^2 + 2; y=-x
Решение: Для начала нужно найти точки пересечения графиков, их абсциссы будут пределами интегрирования.
-х²+2 = -х
х²-х-2 = 0
х=2, х=-1 - пределы интегрирования.
Верхняя граница фигуры - парабола, нижняя - прямая.
S =-₁ ∫²(-x²+2-(-x))dx =( -1/3x³+2x+1/2x²)|-₁ ² = (-1/3*8+2*2+1/2*4) - (-1/3*(-1)+2*(-1) +1/2*1) = -8/3+4+2-1/3+2-1/2 = 4,5
Найти определенный интеграл с подробным решением \( \frac{1}{ln3} \int\limits^e_1 { \frac{1}{x(ln ^{2}x-4 )} } \, dx \)
Решение: $$ \frac{1}{ln3} \int\limits^e_1 { \frac{1}{x(ln ^{2}x-4 )} } \, dx = \frac{1}{ln3} \int\limits^e_1 { \frac{1}{ln ^{2}x-4 } } \, d(lnx)= \frac{1}{ln3}* \frac{1}{4}*ln| \frac{lnx-2}{lnx+2} | | _{1} ^{e}= \\ =\frac{1}{4ln3}*(ln \frac{1}{3} -ln1)= \frac{1}{4ln3}*(-ln3)=- \frac{1}{4} $$
Найти неопределенные и определенный интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием: \( \int\sqrt{2x+1}\,dx\\ \int\dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}\,dx\\ \int(3x+5)\ln x\,dx\\ \int\limits_1^3\dfrac{dx}{2x-1} \)
Решение: $$ \int\sqrt{2x+1}\,dx=\frac12\int\sqrt{2x+1}\,d(2x+1)=\frac13(2x+1)^{3/2}+C \\ (\frac13(2x+1)^{3/2})’=\frac13\cdot\frac32(2x+1)^{1/2}\cdot2=\sqrt{2x+1} \\ \int\dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}\,dx=\frac14\int\dfrac{d(x^4)}{\sqrt{1-(x^4)^2}}=\frac14\arcsin x^4+C \\ (\frac14\arcsin x^4)’=\frac14\cdot\frac1{\sqrt{1-(x^4)^2}}\cdot4x^3=\frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}} \\ \int(3x+5)\ln x\,dx=\frac32\int \ln x\,d(x^2)+5\int\ln x\,dx=(\frac32x^2+5x)\ln x-\\-\int\frac1x(\frac32x^2+5x)\,dx=(\frac32x^2+5x)\ln x-\frac34x^2+5x+C \\ \int\limits_1^3\dfrac{dx}{2x-1}=\frac12\int\limits_1^3\dfrac{d(2x-1)}{2x-1}=\frac12(\ln(2x-1))_1^3=\frac12\ln5 $$1. Найти производную функции
у=(34х²-4cosx)⁴
2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f(x)=x÷x²+1, [0;2]
3. Представить число в тригонометрической форме
z=1+i
4. вычислить интегралы
∫∛3-7x dx
₁³∫(4x+8-4x³) dx
Решение: $$ 1.\;y=(34x^2-4\cos x)^4\\y’=4\cdot(34x^2-4\cos x)^3\cdot(34x^2-4\cos x)’=\\=4\cdot(34x^2-4\cos x)^3\cdot(68x+4\sin x)\\2.\;f(x)=\frac{x}{x^2+1},\;[0;2]\\f’(x)=\frac{x^2+1-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0\\(x^2+1)eq0,\;x\in\mathbb{R}\\1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1\\f(0)=0\\f(1)=\frac12\\f(2)=\frac15=0,2 $$
Наибольшее значение 0,2.
$$ 3.\;z=1+i\\ r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\\z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\\\begin{cases}\cos\varphi=\frac ar\\\sin\varphi=\frac br\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\cos\varphi=\frac1{\sqrt2}\\\sin\varphi=\frac1{\sqrt{2}}\end{cases}\Rightarrow\varphi=\frac\pi4\\z= \sqrt2(\cos(\frac\pi4+i\sin(\frac\pi4)) \\ 4.a)\;\;\int\sqrt[3]{3-7x}\;dx=\int(3-7x)^{\frac13}dx=(3-7x)^\frac43\cdot\frac34\cdot\frac17=\frac3{28}\sqrt[3]{(3-7x)^4}\\b)\;\int_1^3(4x+8-4x^3)dx=\left.\left(2x^2+8x-x^4\right)\right|_1^3=\\=2\cdot3^2+8\cdot3-3^4-2\cdot1-8\cdot1+1=18+24-81-2-8+1=-48 $$
