интеграл »

найти интеграл - страница 16

  • Интеграл от \( \frac{dx}{sin^2(x)cos^2(x)} \)


    Решение: Воспользуемся формулой двойного угла
    2sinx cosx=sin2x
    sinx cosx=sin(2x)/2
    Тогда
    $$ \int\limits { \frac{dx}{sin^2x\,cos^2x} }=4 \int\limits { \frac{dx}{sin^2(2x)} }=4* \frac{1}{2} \int\limits { \frac{d(2x)}{sin^2(2x)} }= \\ =2(-ctgx)+C=-2ctgx+C $$
    Воспользуемся формулой двойного угла sinx cosx sin xsinx cosx sin x Тогда int limits frac dx sin x cos x int limits frac dx sin x frac int limits frac d x sin x -ctgx C - ctg...

  • Найти интеграл (e^x)*tg(x) dx, от 0 до 1


    Решение: Тут главное - первообразные найти, а пределы интегрирования подставить - каждый сможет.
    а) x^8(1-x^9)^5 dx = (1/9) (1-x^9)^5 d(x^9) = (1/9) (1-t)^5 dt - дальше понятно?
    б) x^2e^2x dx - берется интегрированием по частям ДВА РАЗА. После первого интегрирования по частям у вас останется интеграл от xe^2x dx, а после еще одного - интеграл от e^2x dx, который ужЕ почти табличный.

  • Интеграл sin^4x dx и интеграл е^x(2x-x^2)dx


    Решение: 1)integralsin^4xdx=integral(sin^2x)^2dx=1/4integral (2sin^2x)^2dx=1/4integral(1-cos2x)^2dx=1/4integral(1-2cos2x+cos^2 (2x))dx=1/4(integraldx-integral(2cos2x)dx+
    +integralcos^2 (2x)dx)=1/4(x-sin2x+1/2integral(1+cos4x)dx)=1/4x-1/4 sin2x+1/8*(x+1/4sin4x)=1/4*x-1/4*sin2x+1/8x+1/32sin4x+c ;
    2)u=2x-x^2; du=d(2x-x^2); du=(2-2x)du.
    dv=e^xdx; v=integral e^xdx=e^x.
    integral e^x(2x-x^2)dx=(2x-x^2)*e^x-integrale^x(2-2x)dx=
    найдем integrale^x(2-2x)dx по частям, как выше сделано
    u=2-2x; du=d(2-2x); du=-2dx.
    dv=e^xdx; v=integrale^x)dx=e^x.
    integrale^x(2-2x)dx=(2-2x)*e^x-integral((e^x)(-2))dx=(2-2x)e^x+2e^x+c
    integrale^x(2x-x^2)dx=(2x-x^2)*e^x-(2-2x)e^x+2e^x+c=2xe^x-e^x*(x^2)-2e^x+2xe^x+2e^x+c=4xe^x-e^x*(x^2)+c

  • \( \int{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx \)

    Нужно взять интеграл


    Решение: $$ \\\int{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx=(*)\\ t=\sqrt x\\ dt=\frac{1}{2\sqrt x}dx\\ dx=2\sqrt x dt\\ \int{\sqrt{1+t}}\cdot2\sqrt x dt=\\ 2\int{t\sqrt{1+t}}dt=(**)\\ u=1+t\\ du=dt\\ t=u-1\\ 2\int(u-1)\sqrt{u}du=\\ 2\int(u-1)u^{\frac{1}{2}}du)=\\ 2\int u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}du=\\ 2(\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})+C=\\ 2(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}})+C=\\ \frac{4}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}+C=\\ (**)=\frac{4}{5}(1+t)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(1+t)^{\frac{3}{2}}+C=\\ (*)=\frac{4}{5}(1+\sqrt x)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(1+\sqrt x)^{\frac{3}{2}}+C\\ $$

  • Решите интеграл \( \int\limits \sqrt(1+x)/x \, dx \) Решите интеграл


    Решение: $$ \int \frac{\sqrt{1+x}}{x}dx $$
    Замена:
    $$ 1+x=t^2\\ x=t^2-1\\ dx=2tdt \\ \int \frac{ \sqrt{t^2}}{t^2-1}\cdot 2tdt=2\int \frac{t^2dt}{t^2-1}=2 \int \frac{(t^2-1)+1}{t^2-1}dt=2\int[ \frac{t^2-1}{t^2-1}+ \frac{1}{t^2-1}]dt=\\\\ 2\int[1+ \frac{1}{t^2-1}]dt=2\int dt+2\int \frac{1}{t^2-1}dt=2t+2\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt=2t+2Y $$,
    где $$ Y=\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt $$ решим разложением на две простые дроби
    $$ \frac{1}{(t-1)(t+1)}= \frac{a}{t-1}+ \frac{b}{t+1}= \frac{a(t+1)+b(t-1)}{(t-1)(t+1)}=\\= \frac{at+a+bt-b}{(t-1)(t+1)}= \frac{(a+b)t+(a-b)}{(t-1)(t+1)} \\ \left \{ {{a+b=0} \atop {a-b=1}} \right. \Longrightarrow 2a=1 \Longrightarrow a= \frac{1}{2}; b=- \frac{1}{2} $$
    Тогда
    $$ \int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt= \frac{1}{2}\int \frac{1}{t-1}dt- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}dt= \\\\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t-1)}d(t-1)- \frac{1}{2}\int \frac{1}{(t+1)}d(t+1)= \frac{1}{2}\ln|t-1|- \frac{1}{2}\ln |t+1|=\\\\ \frac{1}{2}(\ln |t-1|-\ln|t+1|)= \frac{1}{2}\ln| \frac{t-1}{t+1}|= \frac{1}{2}\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}| $$
    Тогда ответ:
    $$ 2\sqrt{1+x}+2\cdot \frac{1}{2}\ln |\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}|+C=\\\\ 2\sqrt{1+x}+\ln | \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1} |+C $$, где C- константа

<< < 141516 17 18 > >>