интеграл »

найти интеграл - страница 17

  • Dx/(x^2)sqrt(x^2-9) найти интеграл


    Решение: $$ \frac{\sin(arcsec( \frac{x}{3})) }{9} $$- 
    Для $$ \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2-9} } $$ подставляем $$ 3sec \,\,u $$ в х, тоесть имеем:
    $$ \frac{1}{9\sec u \sqrt{9(\sec^2u-1)} } = \frac{1}{27\sec^2u \sqrt{tg^2u} } = \frac{1}{27\sec ^2u|tgu|} $$
    Поскольку у нас есть не определенный интеграл, допустим, что все значения положительные и опустим знак модуля
    $$ \int\limits { \frac{1}{27\sec^2utgu}\cdot3tgu\sec u } \, du = \frac{1}{9} \int\limits { \frac{1}{\sec u} } \, du = \frac{\sin u}{9}+C $$
    Для sin(u)/9 подставляем 
    $$ \frac{\sin (\arccos( \frac{3}{x})) }{9} = \frac{ \sqrt{1- \frac{9}{x^2} } }{9} = \frac{ \sqrt{x^2-9} }{9|x|} =\frac{ \sqrt{x^2-9} }{9x},\,\, if\,\, x \in (-1;1) $$

  • Интеграл int e^x / x-1 dx.


    Решение: Интеграл от e^x/ x (почти то же самое, согласен?) не берется в элементарных функциях действительного аргумента. Можно получить результат лите в виде функционального ряда, сходящегося на произвольном круге действительного радиуса. И вообще, самый корректный вариант записи ответа: $$ \int \frac{e^x}{x - 1} dx = e * Ei(x) + Const $$ где Ei - интегральная показательная функция

  • Интеграл 1/(2x^2+x+2)dx


    Решение: Выделяем полный квадрат
    $$ \int \frac{dx}{2 \cdot (x^{2} +\frac{x}{2}+1)}=\\=\frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{(x^{2} +2 \cdot \frac{1}{4} \cdot x+\frac{1}{16})- \frac{1}{16} +1}=\frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{4})^{2}+ \frac{15}{16}}= \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{4})^{2}+ (\sqrt{\frac{15}{16}})^{2}}=\\=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{15}{16}}} \cdot arctg( \frac{x+\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{15}{16}}} )+C=\\= \frac{2}{\sqrt{15}} arctg( \frac{4x+1}{ \sqrt{15} } )+C $$

  • Вычислите:

    Интеграл, сверху "9" снизу "1" (√x+x)dx


    Решение: 1) интеграл снизу 0 сверху 1 z^3/z^8+1
    2) интеграл снизу 1 сверху е ln^2x/x^2 dx
    3) интеграл снизу 0 сверху 1 (2x+3)dx/(x-2)^3
    4) интеграл снизу корень из 3 / на 3 dx/x^2 корень из (1+x^2)^3
    5) интеграл снизу 0 сверху п/32 (32cos^4x-16)dx
    6) интеграл снизу 1 сверху 2 x-5/x^2-2x+2
    7) интегарл снизу 0 сверху 4 xdx/1+ корень из (2x+1)
    8) интеграл снизу -1 сверху +∞ xdx/x^2+4x+5
    9) интеграл снизу 0 сверху п/6 cos3x/корень 6 степени из (1-sin3x)^5 dx

  • 1) Найдите интеграл \( \int\limits\frac{x^{2} dx}{ \sqrt{x -4}} \)
    2) Найдите интеграл \( \int\limits sin3xcos5xdx \)


    Решение: 2) $$ \int\limits {sin3xcos5x} \, dx= \int\limits{ \frac{sin(3x-5x)+sin(3x+5x)}{2} } \\, dx= \int\limits{ \frac{sin(-2x)+sin8x}{2}} \\, dx= \ \frac{1}{2} \int\limits{sin8x} \, dx- \frac{1}{2} \int\limits{sin2x} \\, dx= -\frac{1}{2*8}cos8x+ \frac{1}{2*2}cos2x+C= \frac{1}{4}cos2x- \\ \frac{1}{16}cos8x+C $$
    1) Произведем замену переменной: x-4=t;x=t+4;dx=dt, а после вычисления интеграла, произведем обратную замену.
    $$ \int\limits{ \frac{x^2}{ \sqrt{x-4} } } \, dx= \int\limits{ \frac{(t+4)^2}{ \sqrt{t} } } \, dt= \\ \int\limits{ \frac{t^2+8t+16}{ \sqrt{t} } } \, dt= \int\limits{(t^{ \frac{3}{2} }+8t^{ \frac{1}{2}}+ \frac{16}{ \sqrt{t}}) } \, dt= \\ \frac{2}{5}t^{ \frac{5}{2}}+ \frac{2}{3}t^{ \frac{3}{2}}+32 \sqrt{t}+C=\\ \frac{2}{5}(x-4)^{ \frac{5}{2}}+ \frac{2}{3}(x-4)^{ \frac{3}{2}}+32 \sqrt{x-4}+C $$

<< < 151617 18 19 > >>