интеграл »

найти интеграл - страница 19

  • Интеграл от \( \frac{xdx}{2x^2+2x+5} \)


    Решение: Integr(x/(2x²+2x+5))dx =(1/2)integr(x/(x²+x+2,5))dx
    $$ \int{ \frac{x}{2 x^{2} +2x+5}} \, dx= \frac{1}{2} \int{ \frac{x}{x^{2} +x+2,5}} \,dx $$
    Делаем замену переменных
    x = y-0,5
    x²+x+2,5= (y-0,5)²+y-0,5+2,5 =y²-y+0,25+y-0,5+2,5=
    =y²+2,25
    dx = dy
    $$ \int{ \frac{x}{2 x^{2} +2x+5}} \, dx= \frac{1}{2} \int{ \frac{y-0,5}{y^{2} +2,25}} \,dy= \\ = \frac{1}{2} \int{ \frac{y-0,5}{y^{2} +2,25}} \,dy = \frac{1}{2} \int{ \frac{y}{y^{2}+2,25}} \,dy- \frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2} +2,25}} \,dy= $$
    =$$ =\frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2}+2,25}} \,dy^{2} - \frac{1}{4} \int{ \frac{1}{y^{2} +2,25}} \,dy= \\ =\frac{1}{4} ln(y^{2}+2,25) - \frac{1}{4*2,25}arctg( \frac{y}{2,25})+C $$
    integr(x/(2x²+2x+5))dx=(1/2)integr((y-0,5)/(y²+2,25))dx=
    =(1/2)integr(y/(y²+2,25))dy -(1/4)integr(1/(y²+2,25))dy=
    =(1/4)integr(1/(y²+2,25))d(y²) -(1/4)integr(1/(y²+2,25))dy=
    =(1/4)ln(y²+2,25)-(1/(4*2,25))arctg(y/2,25)+C=
    =0,25ln(y^2+2,25)-(1/9)arctg(4y/9)+C
    Обратная замена
    y=x+0,5
    integr(x/(2x²+2x+5))dx =(1/4)ln((x+0,5)²+2,25)-(1/9)arctg((4x+2)/9)+C=
    =(1/4)ln(x²+x+2,5)-(1/9)arctg((4x+2)/9)+C

    Integr x x x dx integr x x x dx int frac x x x dx frac int frac x x x dx Делаем замену переменныхx y- x x y- y- y -y y- y dx dy int frac x x x dx frac int frac y- y dy frac i...

  • Найти интеграл: \( 1.\int (\frac{4}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{5}{1+x^2}dx\\ 2.\; \int \frac{tg^2x}{cos^2x}dx\\ 3.\; \int x\cdot csxdx \)
    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-2x+1, y=x-1


    Решение: $$ 1.\int (\frac{4}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{5}{1+x^2}dx=4ln|x+\sqrt{1+x^2}|-5arctgx+C\\\\2.\; \int \frac{tg^2x}{cos^2x}dx=\int tg^2x\cdot d(tgx)=\frac{tg^3x}{3}+C\\\\ili[t=tgx,dt=\frac{dx}{cos^2x}]=\int t^2dt=\frac{t^3}{3}+C\\\\3.\; \int x\cdot csxdx=[u=x,du=dx,v=sinx]=x\cdot sinx-\int sinxdx=\\\\=x\cdot sinx+cosx+C\\\\4.\; y=x^2-2x+1=(x-1)^2,\; y=x-1\\\\Peresechenie:\; (x-1)^2=x-1\\\\(x-1)^2-(x-1)=0,\; (x-1)(x-1-1)=0,\; x_1=1,x_2=2\\\\S=\int(x-1-(x-1)^2)dx=(\frac{x^2}{2}-x-\frac{(x-1)^3}{3})|_1^2= \\ =2-2-\frac{1}{3}-(\frac{1}{2}-1-0)=\frac{1}{6} $$

  • Интеграл 2x разделить на 3sinx+4cosx


    Решение: Получится: x*4^sinx=xy => y=4^sinx => обратную замену 4^cosx=4^sinx =>cosx=sinx делим на cosx tgx=1x=pi/4+pin2) 2pi<= pi/4+pin<=7pi/2n=1 n=2 подставляем в pi/4+pinответ: 5pi/4 ; 9pi/4

    Получится x sinx xy y sinx обратную замену cosx sinx cosx sinx делим на cosx tgx x pi pin pi...

  • Интеграл от 0 до 2 (x)/(x^2+2.5)dx


    Решение: x dx 1 2x dx 1 d(x²+2,5) 1

    ∫ - = - * ∫ - = - * ∫ - = - * ln | x²+2,5 | |₀²=1/2(ln6,5-ln2,5)=

      x²+2,5 2 x²+2,5  2 x²+2,5 2

      6,5

    =1/2 * ln- =1/2 *ln2,6 

      2,5

  • Интеграл x деленное 1+x в квадрате


    Решение: $$ \int \frac{x\; dx}{1+x^2} -[\; t=1+x^2\;,\; dt=2x\, dx\;,\; x\, dx= \frac{dt}{2}\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\cdot ln|t|+C=\frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(1+x^2)+C \; ; \\ \int \frac{x\; dx}{(1+x)^2}=[\; t=1+x,\; dt=dx\; ]=\int \frac{t-1}{t^2}dt=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2})dt=\\\\=\int \frac{dt}{t}-\int t^{-2}dt=ln|t|-\frac{t^{-1}}{-1}+C=ln|1+x|+\frac{1}{1+x}+C\; ; $$

    ∫(x/(x+1)²)dx= I x+1=t x=t-1 dx=t I
    ∫[(t-1)]/t²)dt=∫(1/t)dt+∫(-1/t²)dt= ln It I+1/t+C =lnI x+1 I +1/(x+1)+C 

<< < 171819 20 21 > >>