интеграл »
найти интеграл - страница 20
Интеграл умножить на xdx/(1-x^2)^5 - НАЙТИ столбиками подстановки через новую переменную
Решение: $$ \int\limits { \frac{x}{(1-x^2)^5} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d( \frac{x^2}{2} ) = \frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(x^2) = \\ =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(-x^2) =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{(1-x^2)^5} } \, d(1-x^2) =[1-x^2=t]= \\ =-\frac{1}{2} * \int\limits { \frac{1}{t^5} } \, dt =-\frac{1}{2} * \int\limits {t^{-5}} \, dt =-\frac{1}{2} * \frac{t^{-5+1}}{-5+1}+C= \frac{1}{8t^4}+C= \\ =\frac{1}{8(1-x^2)^4}+C =\frac{1}{8(x^2-1)^4}+C. $$
Интеграл cos^3(2x)*sin^5(2x)dx
Решение: Рекурентную формулу можете попытаться вывести сами. Суть в том, что беря неоднократно интеграл по частям, он в итоге сводится к самому себе. А там нетрудно увидеть зависимость.
интеграл от 5 до 10 (x^2 + 30x - 8x) = ?
Решение: Интеграл от 5 до 10 (x^2 + 30x - 8x)dx = Интеграл от 5 до 10 ((x в 3 степени : на 3) + 30 * (х^ : 2) - 8 * (х^ :2) = (x в 3 степени : на 3) + 15х^ - 4х^ вертикальная риска от 5 до 10 = 10 в 3 степени : 3 + 15* 10^ - 4*10^ - ((5 в 3 степени :3) + 15 * 5^ - 4* 5^ = ну а дальше все легко, просто посчитай.$$ \int\limits^{10}_{5} {x^2 + 30x - 8x}\, dx = \int\limits^{10}_{5} {x^2 + 22x}\, dx =\\\\ \frac{x^3}{3} + 11x^2 |\int\limits^{10}_{5} = \frac{1000}{3} + 11*100 - \frac{125}{3} - 11*25 =\\\\ \frac{875}{3} + 11*75 = \frac{3350}{3} $$
Интеграл tdt/√9-4t^2
Решение: $$ \int\limits { \frac{t}{ \sqrt{9-4t^2} } } \, dt=\{t= \frac{a}{b} \sin t,\,\,gde \sqrt{a^2-bx^2}\}=\\ = \int\limits { \frac{ \frac{3\sin u}{2} }{ \sqrt{9-4\cdot( \frac{3\sin u}{2})^2 } } } \, du= \int\limits { \frac{\sin u}{2 \sqrt{1-\sin^2u} } } \, du= \int\limits { \frac{\sin u}{2|\cos u|} } \, du=\\= \int\limits { \frac{\sin u}{2\cos u}\cdot \frac{3\cos u}{2} } \, du= \frac{3}{4} \int\limits {\sin u} \, du =- \frac{3\cos u}{4} +C=\\ =- \frac{3 \sqrt{1-( \frac{2t}{3})^2 } }{4} +C= \\ \boxed{- \frac{ \sqrt{9-4t^2} }{4} +C} $$Интеграл (x^4-2x^2-1)/(2x^2+1) dx
Решение:
$$ \int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 - 8x^2 - 4 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} \int{ \frac{ 4x^4 + 4x^2 + 1 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \\\\ = \frac{1}{4} \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 - 12x^2 - 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 12x^2 + 5 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ \frac{ ( 2x^2 + 1 )^2 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{4} ( \int{ ( 2x^2 + 1 ) } \, dx - \int{ \frac{ 6 ( 2x^2 + 1 ) }{ 2x^2 + 1 } } \, dx + \int{ \frac{1}{ 2x^2 + 1 } } \, dx ) = \\\\ = \frac{1}{2} \int{x^2} \, dx + \frac{1}{4} \int{dx} - \frac{3}{2} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } \int{ \frac{ d( \sqrt{2} x ) }{ ( \sqrt{2} x )^2 + 1 } } = \\\\ = \frac{1}{6} x^3 - \frac{5}{4} \int{dx} + \frac{1}{ 4 \sqrt{2} } arctg{ \sqrt{2} x } = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ; \\ \int{ \frac{ x^4 - 2x^2 - 1 }{ 2x^2 + 1 } } \, dx = \frac{ x^3 }{6} - \frac{5}{4} x + \frac{ arctg{ \sqrt{2} x } }{ 4 \sqrt{2} } + C \ ; $$
