интеграл »
найти интеграл - страница 12
Интеграл 3х.
Решение: S3xdx=3*(x¹⁺¹)/(1+1)+C=3x²/2+C=1,5x²+CЭто просто табличный интеграл от степенной функции. Выносите тройку за знак интеграла, у вас останется только х. Применяем формулу: (x^n)dx=(x^n+1)/(n+1)+C. В данном случае степень равна единице, следовательно: (x^1+1)/(1+1) получается x^2/2, НО не забываем про тройку, которую вынесли и домнажаем. Получаем ответ: 3x^2/2+C
Интеграл от 1 до -5 ( x^2+8x+16)dx
Решить
Решение: $$ \int _1^{-5}\, (x^2+8x+16)\, dx=(\frac{x^3}{3}+8\frac{x^2}{2}+16x)|_1^{-5}=\\\\=\frac{(-5)^3}{3}+4(-5)^2+16(-5)-(\frac{1}{3}+4+16)=\\\\=-\frac{125}{3}+100-80-\frac{1}{3}-4-16=-42 $$Полное решение задания в файле.
Интеграл xdx/cos^2 (x)
Решение:
Найти интеграл \( \int\limits{ \frac{ \sqrt{x} }{1- \sqrt[3]{x} } } \, dx \)
Решение: $$ \int\limits{ \frac{ \sqrt{x} }{1- \sqrt[3]{x} } } \, dx=[ \sqrt[6]{x}=t\Rightarrow x=t ^{6}\Rightarrow dx=6t ^{5}dt || \sqrt[3]{x}=t ^{2}, \sqrt{x} =t ^{3}] = \\ = \int\limits{ \frac{ t ^{3} }{1- t ^{2} } }\,6t ^{5} dt=6 \int\limits{ \frac{ t ^{8} }{1- t ^{2} } } \,dt=-6 \int\limits(t ^{6}+t ^{4}+t ^{2}+1+ \frac{1}{t ^{2}-1 })dt= \\ =-6 \cdot\frac{t ^{7} }{7}-6\cdot \frac{t^{5} }{5} -6 \frac{t ^{3} }{3}-6t-6\cdot \frac{1}{2}ln| \frac{t-1}{t+1}|+C= \\ = \\ =-6 \cdot\frac{ \sqrt[6]{x} ^{7} }{7}-6\cdot \frac{ \sqrt[6]{x} ^{5} }{5} -6 \frac{ \sqrt[6]{x} ^{3} }{3}-6 \sqrt[6]{x} -6\cdot \frac{1}{2}ln| \frac{ \sqrt[6]{x} -1}{ \sqrt[6]{x} +1}|+C $$
Найдите интеграл \( \int\frac{dx}{2sinx-cosx +5} \)
Решение: Замена переменной
$$ tg \frac{x}{2}=t $$
Тогда
$$ sinx= \frac{2t}{1+t ^{2} }; \\ cosx= \frac{1-t ^{2} }{1+t ^{2} } ; \\ dx= \frac{2dt}{1+t ^{2} } $$
Подынтегральная дробь примет вид:
$$ \frac{dx}{2sinx-cosx+5}= \frac{ \frac{2dt}{1+t ^{2} } }{2\cdot \frac{2t}{1+t ^{2} }- \frac{1-t ^{2} }{1+t ^{2} }+5 } = \\ = \frac{2dt}{4t-1+t ^{2}+5+5t ^{2} }=\frac{2dt}{6t ^{2}+4t+4 }= \frac{dt}{3t ^{2}+2t+2 } $$
Выделим полный квадрат в знаменателе:
$$ 3t ^{2}+2t+2=3(t ^{2}+ \frac{2}{3}t+ \frac{2}{3})=3(t ^{2}+2\cdot t\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}- \frac{1}{9}+ \frac{4}{9})= \\ = 3(t+ \frac{1}{3}) ^{2} +3\cdot \frac{3}{9}=3(t+ \frac{1}{3})x^{2}+1=3((t+ \frac{1}{3}) ^{2} + \frac{1}{3}) $$
Итак,
$$ \int\limits { \frac{dt}{3((t+ \frac{1}{3}) ^{2}+ \frac{1}{3})} } = \frac{1}{3} \int\limits { \frac{d(t+ \frac{1}{3}) }{(t+ \frac{1}{3}) ^{2}+ \frac{1}{3} } } = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \sqrt{ \frac{1}{3} } } arctg \frac{t+ \frac{1}{3} }{ \sqrt{ \frac{1}{3} } }+C = \\ = \frac{ \sqrt{3} }{3}arctg( \sqrt{3}tg \frac{x}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{3}) +C $$
Найти интеграл при помощи универсальной тригонометрической подстановки
1/(5+4*sin(x))
Решение: Универсальная тригонометрическая подстановка:
$$ \frac{dx}{dt} = \frac{2dt}{1+t^2} \\ sinx= \frac{2t}{1+t^2} \\ \int\limits {\frac{dx}{5+4sinx} }= \int\limits \frac{2dt}{(1+t^2)(5+4 \frac{2t}{1+t^2} )} = 2 \int\limits \frac{dt}{5(1+t^2)+8t}= 2 \int\limits \frac{dt}{5t^2+8t+5} $$
Это табличный интеграл (если в вашей таблице его нет, напиши, будет его подробнее вычислять)
$$ b^2-4ac=8^2-4*5*5=64-100=-36 $$
При отрицательном значении формула имеет вид
$$ 2 \int\limits \frac{dt}{5t^2+8t+5}= 2*\frac{2}{ \sqrt{4ac-b^2} } arctg( \frac{2ax+b}{ \sqrt{4ac-b^2} } )+C= \\ =\frac{4}{ \sqrt{4*5*5-8^2} } arctg( \frac{2*5x+8}{ \sqrt{100-64} } )+C= \\ =\frac{4}{6 } arctg( \frac{10x+8}{ 6 } )+C=\frac{2}{3 } arctg( \frac{10x+8}{ 6 } )+C $$
на картинке
Найти интеграл sin^2x*cos^2x dx
Решение: $$ Sin^2x\cdot Cos^2x=(Sinx\cdot Cosx)(Sinx\cdot Cosx)=\frac{1}{4}(Sin2x)(Sin2x)= \\ =\frac{1}{4}Sin^22x \\ Cos^2\alpha -Sin^2\alpha=Cos2\alpha \ \ => \ \ 1-2Sin^2\alpha=Cos2\alpha \ \ => \\ => \ \ Sin^2\alpha=\frac{1+Cos2\alpha}{2} \\ \int {Sin^2x\cdot Cos^2x} \, dx =\frac{1}{8}\int {(1+Cos4x)dx=\frac{1}{8}( \int{}dx+\int{Cos4x}dx)} \\ \int {}dx=x \\ \int {Cos4x} dx: \\ 4x=u \ \ => \ \ 4xdx=du \ \ => \ \ \frac{du}{4}=dx \ \ => \\ => \ \ \int{Cos4x}dx=\frac{1}{4}\int{Cosu}du=\frac{Sinu}{4}=\frac{Sin4x}{4} \\ \int {Cos4x} dx=\frac{Sin4x}{4} \\ \frac{1}{8}(\int{}dx+\int{Cos4x}dx)=\frac{1}{8}(x+\frac{Sin4x}{4}) $$
Найти интеграл \( \int\limits^{1}_{-1}(2 - 2x^2) \ dx \)
Решение: $$ \int\limits^{1}_{-1}(2 - 2x^2) \ dx = (2x - \frac{2}{3}x^3) |^{1}_{-1} = (2 - \frac{2}{3}) - (-2 +\frac{2}{3}) = 4 - \frac{4}{3} = \boxed{\frac{8}{3}} $$
Для решения определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница:
$$ \int\limits^{b}_{a} f(x) = F(b) - F(a) $$
F(x) первообразная функции f(x).
Само собой, ищем мы её находя неопределенный интеграл:
$$ \int f(x) \ dx = F(x) + C $$
В нашем случае:
$$ \int (2 - 2x^2) \ dx= \int 2 \ dx - 2\int x^2 \ dx = 2x - \frac{2x^3}{3} +C $$
Используя, что:
$$ \int c*f(x) \ dx = c*\int f(x) \ dx, \ c e 0\\\\ \int f(x) + g(x) \ dx = \int f(x) \ dx+ \int g(x) \ dx\\\\ \int c \ dx = cx + C\\\\ \int x^n \ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Найти интеграл от икса умноженного на арксинус икс ∫(x*arcsin(x)dx
Решение: ∫(x*arcsin(x)dxПусть
u=arcsin(x) du=dx/√(1-x^2)
dv=xdx v=x^2/2
Далее интегрируем по частям
∫(x*arcsin(x)dx=x^2*arcsin(x)/2 -(1/2)*∫(x²dx/√(1-x²)=
Пусть
x=sin(t)
dx=cos(t)
=x²*arcsin(x)/2 -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/√(1-sin²(u))=
=x²*arcsin(x)/2 -(1/2)*∫(sin²(u)cos(u)du/cos(u))=
=x²*arcsin(x)/2 -(1/2)*∫(sin²(u)du=
=x²*arcsin(x)/2 -(1/4)*∫(1-cos(2u)du=
=x²*arcsin(x)/2 -du/4 +(1/4)*∫cos(2u)du=
=x²*arcsin(x)/2 -u/4 +(1/8)*sin(2u)+c=
=x²*arcsin(x)/2 -arcsin(x)/4 +(x*√(1-x²)/4)*sin(2u)+c
Найти интеграл
\( \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^2} \)
Решение: $$ \int \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x^2} \ dx = \int \frac{x^2 + 4}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} \ dx =\\\\ \int \frac{x^2}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} \ dx + \int \frac{4}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} \ dx =\\\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \ dx + \int \frac{4}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} \ dx \\ 1) \ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \ dx = ln|x + \sqrt{x^2 + 4}| + C \\ 2) \int \frac{4}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} dx = [ x = \frac{1}{t}, dx = -\frac{1}{t^2}dt,\sqrt{x^2 + 4} = \frac{\sqrt{1 + 4t^2}}{t} ] =\\\\ \ \int -\frac{4t}{\sqrt{1 + 4t^2}} \ dt = [u = 1+4t^2, du = 8tdt, \frac{du}{8t} = dt] = \int -\frac{1}{2\sqrt{u}}du =\\\\ -\sqrt{u} + C = -\sqrt{1 + 4t^2} + C = -\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} + C = -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x} + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \ dx + \int \frac{4}{x^2\sqrt{x^2 + 4}} \ dx = ln|x + \sqrt{x^2 + 4}| -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x} + C $$
