интеграл »

найти интеграл - страница 9

  • Решите интеграл:
    dx/(x-1)sqrt(x^2+3x)


    Решение: $$ \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2+3x}}=[x-1=\frac{1}{t},\; x=1+\frac{1}{t}\;,\; dx=-\frac{dt}{t^2}\;,\\\\x^2+3x=1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}+3+\frac{3}{t}= \frac{1}{t^2} +\frac{5}{t}+4= \frac{4t^2+5t+1}{t^2} \; ]=\\\\=-\int \frac{t\cdot dt}{t^2\cdot \frac{1}{t}\sqrt{4t^2+5t+1}} =-\int \frac{dt}{\sqrt{4t^2+5t+1}} =-\int \frac{dt}{2\cdot \sqrt{(t+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}} = \\ =-\frac{1}{2}ln\left |t+\frac{5}{8}+\sqrt{(t+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}\right |+C=\\\\=-\frac{1}{2}ln\left | \frac{1}{x-1}+\frac{5}{8}+\sqrt{(\frac{1}{x-1}+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}\right |+C $$

  • Интеграл x^2ln(x+1), интеграл x^3dx/sqrt(4-x^3)


    Решение: $$ \int x^2ln(x+1)\, dx=[\, u=ln(x+1),\; du=\frac{dx}{x+1},\; dv=x^2dx,\; v=\frac{x^3}{3}\, ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{x+1}dx=\\\\=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}\int (x^2-x+1-\frac{1}{x+1})dx=\\\\=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-ln|x+1|)+C \\ 2)\; \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{4-x^3}}=[\, t=4-x^3,\; dt=-3x^2\, dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{t}+C=-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{4-x^3}+C $$

  • интеграл x^5+x^4-8/x^3+4x dx=


    Решение: Выражение: x^5+x^4-8/x^3+4*x d*x

    Ответ: x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x

    Решаем по действиям:
    1) 4*(x+d)=4*x+4*d
    2) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
    (4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
    2.1) x*x=x^2
    x*x=x^(1+1)
    2.1.1) 1+1=2
    +1
    _1_
    2

    Решаем по шагам:
    1) x^5+x^4-8/x^3+(4*x+4*d)*x
    1.1) 4*(x+d)=4*x+4*d
    2) x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x
    2.1) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
    (4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
    2.1.1) x*x=x^2
    x*x=x^(1+1)
    2.1.1.1) 1+1=2
    +1
    _1_
    2

  • интеграл (x^3dx/sqrt(x^8-3))


    Решение: интеграл (x^3dx/sqrt(x^8-3))=делаем замену

    =    x^4=t, x^8-3=t^2-3, 4x^3 dx=dt, 4x^3 dx=dt/4

    интеграл (dt/(4*sqrt(t^2-3))=выносим множитель

    =1/4интеграл (dt/sqrt(t^2-3))=табличный интеграл

    =1/4ln |t+корень(t^2-3)|+c=возвращаемся к замене

    =1/4ln |x^4+корень(x^8-3)|+c=избавляемся от модуля в виду неотрицательности подмодульного выражения заданного на ОДЗ исходного подинтерального выражения

    =1/4 ln(x^4+корень(x^8-3)), c є R

  • Помогите: интеграл x^3dx/(x-1)^2(x+3)


    Решение: $$ \int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=\int \frac{x^3\, dx}{(x^2-2x+1)(x+3)}=\int \frac{x^3}{x^3+x^2-5x+1}dx=\\\\=\int (1+\frac{-x^2+5x-1}{x^3+x^2-5x+1})dx=\int dx-\int \frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}dx;\\\\\frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}\quad \to \\\\x^2-5x+1=A(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)^2\; \; \to \\ x=1:\; \; A=\frac{1-5+1}{1+3}=-\frac{3}{4}\\\\x=-3:\; \; C=\frac{9+15+1}{16}=\frac{25}{16}\\\\x^2|\; \; 1=B+C\; \; \; \rightarrow \; \; \; B=C-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16} \\ \int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=x+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}-\frac{9}{16}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{25}{16}\int \frac{dx}{x+3}=\\\\=x+\frac{3}{4}\cdot \frac{(x-1)^3}{3}-\frac{25}{16}\cdot ln|x+3|+C $$

<< < 789 10 11 > >>