интеграл »

найти интеграл - страница 5

  • Решите интеграл:
    dx/(x-1)sqrt(x^2+3x)


    Решение: $$ \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2+3x}}=[x-1=\frac{1}{t},\; x=1+\frac{1}{t}\;,\; dx=-\frac{dt}{t^2}\;,\\\\x^2+3x=1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}+3+\frac{3}{t}= \frac{1}{t^2} +\frac{5}{t}+4= \frac{4t^2+5t+1}{t^2} \; ]=\\\\=-\int \frac{t\cdot dt}{t^2\cdot \frac{1}{t}\sqrt{4t^2+5t+1}} =-\int \frac{dt}{\sqrt{4t^2+5t+1}} =-\int \frac{dt}{2\cdot \sqrt{(t+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}} = \\ =-\frac{1}{2}ln\left |t+\frac{5}{8}+\sqrt{(t+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}\right |+C=\\\\=-\frac{1}{2}ln\left | \frac{1}{x-1}+\frac{5}{8}+\sqrt{(\frac{1}{x-1}+\frac{5}{8})^2-\frac{9}{64}}\right |+C $$

  • Интеграл x^2ln(x+1), интеграл x^3dx/sqrt(4-x^3)


    Решение: $$ \int x^2ln(x+1)\, dx=[\, u=ln(x+1),\; du=\frac{dx}{x+1},\; dv=x^2dx,\; v=\frac{x^3}{3}\, ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}\int \frac{x^3}{x+1}dx=\\\\=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}\int (x^2-x+1-\frac{1}{x+1})dx=\\\\=\frac{x^3}{3}ln(x+1)-\frac{1}{3}(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-ln|x+1|)+C \\ 2)\; \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{4-x^3}}=[\, t=4-x^3,\; dt=-3x^2\, dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{t}+C=-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{4-x^3}+C $$

  • интеграл x^5+x^4-8/x^3+4x dx=


    Решение: Выражение: x^5+x^4-8/x^3+4*x d*x

    Ответ: x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x

    Решаем по действиям:
    1) 4*(x+d)=4*x+4*d
    2) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
    (4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
    2.1) x*x=x^2
    x*x=x^(1+1)
    2.1.1) 1+1=2
    +1
    _1_
    2

    Решаем по шагам:
    1) x^5+x^4-8/x^3+(4*x+4*d)*x
    1.1) 4*(x+d)=4*x+4*d
    2) x^5+x^4-8/x^3+4*x^2+4*d*x
    2.1) (4*x+4*d)*x=4*x^2+4*d*x
    (4*x+4*d)*x=4*x*x+4*d*x
    2.1.1) x*x=x^2
    x*x=x^(1+1)
    2.1.1.1) 1+1=2
    +1
    _1_
    2

  • интеграл (x^3dx/sqrt(x^8-3))


    Решение: интеграл (x^3dx/sqrt(x^8-3))=делаем замену

    =    x^4=t, x^8-3=t^2-3, 4x^3 dx=dt, 4x^3 dx=dt/4

    интеграл (dt/(4*sqrt(t^2-3))=выносим множитель

    =1/4интеграл (dt/sqrt(t^2-3))=табличный интеграл

    =1/4ln |t+корень(t^2-3)|+c=возвращаемся к замене

    =1/4ln |x^4+корень(x^8-3)|+c=избавляемся от модуля в виду неотрицательности подмодульного выражения заданного на ОДЗ исходного подинтерального выражения

    =1/4 ln(x^4+корень(x^8-3)), c є R

  • Помогите: интеграл x^3dx/(x-1)^2(x+3)


    Решение: $$ \int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=\int \frac{x^3\, dx}{(x^2-2x+1)(x+3)}=\int \frac{x^3}{x^3+x^2-5x+1}dx=\\\\=\int (1+\frac{-x^2+5x-1}{x^3+x^2-5x+1})dx=\int dx-\int \frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}dx;\\\\\frac{x^2-5x+1}{(x-1)^2(x+3)}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}\quad \to \\\\x^2-5x+1=A(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)^2\; \; \to \\ x=1:\; \; A=\frac{1-5+1}{1+3}=-\frac{3}{4}\\\\x=-3:\; \; C=\frac{9+15+1}{16}=\frac{25}{16}\\\\x^2|\; \; 1=B+C\; \; \; \rightarrow \; \; \; B=C-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16} \\ \int \frac{x^3\, dx}{(x-1)^2(x+3)}=x+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{(x-1)^2}-\frac{9}{16}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{25}{16}\int \frac{dx}{x+3}=\\\\=x+\frac{3}{4}\cdot \frac{(x-1)^3}{3}-\frac{25}{16}\cdot ln|x+3|+C $$

  • Найти интеграл \( \int\limits { \frac{dx}{x^3-8} } \, = \)


    Решение: Знаменатель разложим на множители
    x³-8=(x-2)(x²+2x+4)
    Подинтегральную функцию на простейшие дроби
    $$ \frac{1}{x^3-8} = \frac{A}{x-2} + \frac{Mx+N}{x^2+2x+4} \\ \\ 1=A(x^2+2x+4)+(Mx+N)(x-2) $$
    применяя метод частных значений
    при х=2 получим
    1=A·12⇒   A=1/12
    приравнивая многочлены
    1=(A+M)x²+(2A+N-2M)+(4A-2N)
    получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
    A+M=0  ⇒  M=-A=-1/12
    2A+N-2M=0  ⇒ 2A+N+2A=0  ⇒  N=-4A=-4/12=-1/3
    4A-2N=1  это уравнение можно использовать для проверки
    4·(1/12)-2·(-1\3)=1  1/3+2/3=1  - верно
    $$ \int \frac{1}{x^3-8}dx= \int \frac{ \frac{1}{12} }{x-2}dx+\int \frac{- \frac{1}{12}x- \frac{1}{3} }{x^2+2x+4}dx= \\ \\ =\frac{1}{12}\int \frac{dx}{x-2} - \frac{1}{12}\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx $$
    1)$$ \int \frac{dx}{x-2} =ln|x-2|+C_1 $$
    2)  $$ \int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=\int \frac{x+4}{x^2+2x+1+3}dx=\int \frac{x+4}{(x+1)^2+3}dx= $$
    замена переменной
    х+1=t
    x=t-1
    dx=dt
    $$ =\int \frac{t-1+4}{t^2+3}dt=\int \frac{t}{t^2+3}dt+\int \frac{3}{t^2+3}dt= \\ \\ = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{t^2+3}dt+3\int \frac{1}{t^2+( \sqrt{3})^2 }dt= \\ \\ = \frac{1}{2} ln|t^2+3|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{t}{ \sqrt{3} } +C_2 $$
    Ответ.
    $$ \frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{12}( \frac{1}{2} ln|x^2+2x+4|+3\cdot \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} })+C= \\ \\ =\frac{1}{12} ln|x-2|- \frac{1}{24} ln|x^2+2x+4|-\frac{ \sqrt{3} }{ 12 }arctg \frac{x+1}{ \sqrt{3} }+C $$

  • Вопрос про интеграл.
    К примеру возьмём такой интеграл:
    \( \int\limits^2_{-3} ({2x-3}) \, dx \)
    Как правильно интегрировать?


    Решение: Можно воспользоваться заменой переменной:
    $$ \int (2x-3)\, dx=[t=2x-3\;,\; dt=d(2x-3)=(2x-3)’\, dx=2\, dx,\\\\dx=\frac{dt}{2}\, ]=\frac{1}{2}\cdot \int t\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}+C=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2+C;\; \; \to \\\\\int _{-3}^2(2x-3)\, dx=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2\, |_{-3}^2=\frac{1}{4}\cdot (1^2-(-9)^2)=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (1-9)=-2 $$
    Можно воспользоваться формулой, так как если линейная функция будет не в 1 степени, а например, в 100-ой, то представить в виде многочлена такое выражение будет почти невозможно. Фактически формула выводится с помощью подстановки ( или с помощью подведения под знак дифференциала). Для степенной функции формула будет выглядеть так:
    $$ \int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C $$

  • найти значение интеграла:) :
    \( \int\limits 2cos^{2}3x dx \) ;
    \( \int\limits^2_1\, \frac{3x^5+2x^3-3x}{x^3} dx \)
    )


    Решение: $$ \int\limits {2cos^{2}3x } \, dx = \int\limits {(1+cos6x)} \, dx=\\= \int\limits {} \, dx + \int\limits {cos6x} \, dx = x+ \frac{1}{6} \int\limits {cos6x} \, d(6x)=x+ \frac{1}{6}sin6x+C \\ \int\limits^2_1 ({ \frac{3x^{5} }{ x^{3} } } + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}- \frac{3x}{ x^{2} } )\, dx =\\= \int\limits^2_1 ({3 x^{2} +2- \frac{3}{ x^{2} } } )\, dx =\\=( \frac{3 x^{3} }{3} +2x- \frac{3 x^{-2+1} }{-2+1} )\int\limits^2_1=\\=( x^{3}+2x+ \frac{3}{x} ) \int\limits^2_1=\\=(8+4+ \frac{3}{2})-(1+2+3)=6+1.5=7.5 $$

  • Ребят найти интегралы
    ∫(7x⁶-sinx+3)dx
    ∫(5-∛x²)/x
    ∫(3x-5)⁶dx
    ∫(sinx dx)/3-cosx
    ∫(xdx)/(x²+3)²


    Решение: $$ 1)\; \int (7x^6-sinx+3)dx=7\cdot \frac{x^7}{7}+cosx+3x+C\\\\2)\; \int (5-\sqrt[3]{x^2})dx=5x-\frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}+C\\\\3)\; \int (3x-5)^6dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x-5)^7}{7}+C \\ 4)\; \int \frac{sinx\, dx}{3-cosx} =[\, t=3-cosx,\; dt=sinx\, dx\, ]=\int \frac{dt}{t}=\\\\=ln|t|+C=ln|3-cosx|+C\\\\5)\; \int \frac{x\, dx}{(x^2+3)^2} =[\, t=x^2+3,\; dt=2t\, dt\, ]=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2}=\\\\=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{t})+C=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2+3}+C $$

  • Интегралы
    1){(9^2+x^9+9)dx
    2){(x^2+3)(3x^3+1)dx
    3){(6x^3-3x^2+2x/2x^3dx
    4){(корень x-^3корень x^2)dx


    Решение: 1)∫(81+9+х⁹)dx=∫(x⁹+100)dx=∫x⁹dx+100 ∫dx=х¹⁰/10+100х+с=0,1*х¹⁰+100х+с
    2)∫(3x⁵+9x³+x²+3)dx=3*x⁶/6+9x⁴/4+x³/3+3x+c=0.5x⁶+2.25x⁴+x³/3+3x+c
    3)∫(6x^3-3x^2+2x)/2x^3)dx=∫(6x³/2x³-3x²/2x³+2x/x³)dx=∫3dx-∫1.5/xdx+∫2/x²dx=3x+1.5*lnIxI+2*x⁻³/(-3)+c=3x+1.5lnIxI-2/3*x⁻³+c
    4)$$ \int\limits{ x^{ \frac{1}{2} } } \, dx - \int\limits { x^{ \frac{2}{3} }} \, dx =x ^{ \frac{3}{2} }: \frac{3}{2} - x^{ \frac{5}{3} }: \frac{5}{3}+c = \frac{2 \sqrt{ x^{3} } }{3} - 0.6 *x \sqrt[3]{ x^{2} } +c $$

<< < 345 6 7 > >>