интеграл »

найти интеграл - страница 28

  • 1-вычислите интегралы 2,25 до 0,25 (dx)/ корень из x
    2-вычислите интегралы пи/2 до 0 sin2xdx


    Решение: $$ \int\limits^{2,25}_{0,25} {\frac{dx}{\sqrt{x}}} = \int\limits^{2,25}_{0,25} {x^{-\frac{1}{2}}} \, dx = (\frac{x^{-\frac{1}{2} +1}}{-\frac{1}{2} + 1}) |^{2,25}_{0,25} = (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}) |^{2,25}_{0,25} = ( 2\sqrt{x} ) |^{2,25}_{0,25} = \\ \\ = 2 \cdot ( \sqrt{2,25}- \sqrt{0,25} )= 2 \cdot ( \sqrt{2\frac{1}{4}}- \sqrt{\frac{1}{4}} ) = 2 \cdot ( \sqrt{\frac{9}{4}}- \frac{1}{2} ) =\\ \\ = 2 \cdot ( \frac{3}{2}- \frac{1}{2} ) = 2 \cdot 1=2 \\ \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\sin 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\sin 2x} \, d(2x)=-\frac{1}{2} \cdot (\cos 2x) |^{\frac{\pi}{2}}_0=-\frac{1}{2} \cdot (\cos \pi - \cos 0) = \\ \\ =-\frac{1}{2} \cdot (-1 - 1)=-\frac{1}{2} \cdot (-2) = 1 $$

  • Решите интеграл:
    \( \int\limits^{ \frac{pi^2}{4} }_0 {sin \sqrt{x} } \, dx \)


    Решение: √x=t
    dt=1/2(√x) *dx
    dx=dt*2*√x
    2*int( t*sint*dt)=-2*int(t*(cos’(t)))=-2(t*cost -int(cost*dt))=
    -2(t*cost -sint)=-2*(√x*cos√x-sin√x)
    Ну осталось считать по ньютону лейбницу:
    F(pi^2/4)-F(0)=2

    Замена переменной
    √x=t, тогда х=t²
    dx=2tdt
    Меняем пределы интегрирования:
    если х₁=0, то t₁=√x₁=0
    если х₂=(π)²/4, то t₂=√x₂=π/2
    $$ = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _0 {sint\cdot 2tdt} \=[u=t\Rightarrow du=dt,dv=sintddt\Rightarrow v=-cost]= \\ =2(-tcost)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0 +2 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _0 {costdt} \ =2(-tcost)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0+2(sint)|^{ \frac{ \pi }{2}}_0 = \\ =- 2\frac{ \pi }{2} cos \frac{ \pi }{2}+0+2sin\frac{ \pi }{2}-2sin0= \\ =-2\frac{ \pi }{2}\cdot0+ 2= 2 $$

  • Тема: Физические и геометрические приложения интегралов
    1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
    f(x)=x^2+1, x=-1, x=2, y=0
    2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
    f(x)=(1/3) x^3, x=-2, x=4, y=0
    3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
    f(x)=x^2, y=-3x


    Решение: 1) Int (-1; 2) (x^2 + 1) dx = (x^3/3 + x) | (-1; 2) = 2^3/3 + 2 - (-1^3/3 - 1) =
    = 8/3 + 2 + 1/3 + 1 = 9/3 + 3 = 6
    2) Int (-2; 4) (x^3/3) dx = -Int (-2, 0) (x^3/3) dx + Int (0, 4) (x^3/3) dx =
    = -x^4/12 | (-2; 0) + x^4/12 | (0; 4) = 0 + (-2)^4/12 + 4^4/12 - 0 =
    = 16/12 + 256/12 = 4/3 + 64/3 = 68/3
    Часть графика от -2 до 0 находится ниже оси Ох, поэтому ее нужно прибавить, а не вычесть.
    3) Найдем точки пересечения графиков
    x^2 = -3x
    x^2 + 3x = x(x + 3) = 0
    x1 = -3; x2 = 0
    График y = -3x в этой области лежит выше, чем y = x^2
    Int (-3; 0) (-3x - x^2) dx = (-3x^2/2 - x^3/3) | (-3; 0) =
    = 0 - (-3*(-3)^2/2 - (-3)^3/3) = -(-3*9/2 + 27/3) = 27/2 - 9 = 13,5 - 9 = 4,5

  • Решите подробно примеры. приведенные ниже.
    Тема: "Вычисление неопределенного интеграла по частям"
    Формула по которой решают: интеграл udv=uv- интеграл vdu \( 1) \int (5x-1)e^{-x}dx=\\ 2) \int ( \frac{3}{7} x-4)e^{ \frac{1}{6}x }dx=\\ 3)\int x^{-4}\cdot ln3x\, dx=\\ 4) \int (4-9x)\cdot ln3x\; dx= \)


    Решение: $$ 1)\int (5x-1)e^{-x}dx=[\, u=5x-1,\; du=5dx,\; dv=e^{-x}dx,\\\\v=-e^{-x}\; ]=-(5x-1)e^{-x}+\int e^{-x}\cdot 5dx=\\\\=-(5x-1)e^{-x}-5e^{-x}+C\\\\2)\; \; \int ( \frac{3}{7} x-4)e^{ \frac{1}{6}x }dx=[\; u= \frac{3}{7} x-4\;,\; du= \frac{3}{7}dx,\; dv=e^{\frac{1}{6}x} dx,\\\\v=6e^{\frac{1}{6}x}\; ]=6( \frac{3}{7}x-4)e^{\frac{x}{6}} -6\cdot \frac{3}{7} \cdot \int e^{\frac{x}{6}}dx=\\\\=6( \frac{3}{7} x-4)e^{\frac{x}{6}}- \frac{18}{7} \cdot 6\cdot e^{\frac{x}{6}}+C \\ 3)\; \; \int x^{-4}\cdot ln3x\, dx=[\, u=ln3x\;,\; du= \frac{3}{3x} dx= \frac{dx}{x} \;,\\\\dv=x^{-4}dx\;,\; v= \frac{x^{-3}}{-3} =- \frac{1}{3x^3} \; ]=- \frac{ln3x}{3x^3} +\int \frac{dx}{3x^4} =\\\\=- \frac{ln3x}{3x^3} +\frac{1}{3}\cdot \frac{x^{-3}}{-3} +C\\\\4)\; \; \int (4-9x)\cdot ln3x\; dx=[\, u=ln3x,\; du=\frac{dx}{x}\,\\\\dv=(4-9x)dx\;,\; v=-\frac{1}{9}\cdot \frac{(4-9x)^2}{2} \; ]=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+ \\ +\frac{1}{18}\cdot \int \frac{(4-9x)^2}{x} dx=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+\frac{1}{18}\int \frac{16-72x+81x^2}{x} dx= \\ =- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+ \frac{1}{18} \int ( \frac{16}{x}-72+81x)dx=\\\\=- \frac{1}{18} (4-9x)^2\cdot ln3x+\frac{1}{18}\cdot (16ln|x|-72x+81\cdot \frac{x^2}{2} )+C \\ P.S.\\\\\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+C\\\\\int (ax+b)^{k}dx= \frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{k+1}}{k+1} +C $$

    Решение первого. могут быть ошибки. остальные по аналогии
    1) интегрирование по частям. формула есть сверху 
    $$ \int {u} \, dv= uv - \int {v} \, du $$
    для того чтобы решить интеграл, необходимо найти все замены и подставить их в данную формулу, с чего мы и начнем:
    $$ \int {(5x-1)( e^{-x}) } dx = \\ [u=(5x-1) ; du = (5x-1)^{’} = 5dx, \\ dv = e^{-x}dx ; v = \int {e^{-x}} dx = - e^{-x}] $$
    теперь подставляем в формулу:
    $$ (5x-1)(- e^{-x})- \int { -5e^{-x} } dx = (5x-1)(- e^{-x}) + 5 \int { e^{-x}dx } = \\ (5x-1)(- e^{-x}) - 5 e^{-x} $$
    дальше приводим подобные. Еще где-то потерялась константа C наверняка, т. к. интеграл неопределенный

  • Найти общий интеграл (общее решение) уравнения с разделяющейся переменной
    \( x\sqrt{1+ y^{2} }dx+y\sqrt{1+ x^{2} } dy=0 \)


    Решение: Найдем интегралы
    $$ (x*\sqrt{1+y^{2} } )dx $$, так как интеграл ищем относительно х, то $$ (\sqrt{1+y^{2} } $$ рассматриваем как число, поэтому интеграл будет равен $$ (x^{2}*\sqrt{1+y^{2}})/2 $$
    Теперь поработаем со второй половиной уравнения
    $$ [(y^{2}*\sqrt{1+x^{2}})/2 $$
    тогда в общем уравнение будет иметь такой вот вид:
    $$ (x^{2}*\sqrt{1+y^{2}})/2+(y^{2}*\sqrt{1+x^{2}})/2 $$ заметим, что обе половинки уравнения неотрицательны, поэтому, чтобы они были равны 0, они обе должны быть равны 0, поэтому решим систему
    $$ \left \{ {{(y^{2} *\sqrt{1+x^{2}})/2=0} \atop {( x^{2} *\sqrt{1+y^{2}})/2=0}} \right. \\ \left \{ {{y^{2} *\sqrt{1+x^{2}}=0} \atop { x^{2} *\sqrt{1+y^{2}}=0}} \right. $$
    квадратные корни в данном случае 0 равны быть не могут, поэтому решением будет являться пара$$ \left \{ {{y=0} \atop {x=0}} \right. $$

<< < 262728 29 30 > >>