интеграл »

найти интеграл - страница 26

  • Интеграл dx/sinx*cosx


    Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождество:
    cos^2(x) + sin^2(x) = 1
    Интеграл ( dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( 1*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( ( cos^2(x) + sin^2(x) )*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( cos^2(x)*dx:(sin(x)*cos(x)) ) + Интеграл ( sin^2(x)*dx : (sin(x)*cos(x)) ) = Интеграл ( cos(x)*dx : sin(x) ) + Интеграл ( sin(x)*dx : cos(x) ) = Интеграл ( d(sin(x)) : sin(x) ) + Интеграл ( -d(cos(x)) : cos(x) ) =
    ln (sin(x)) - ln(cos(x)) + C = ln (tg(x)) + C 

  • Интеграл от dx/(sinx+cosx)


    Решение: $$ \int \frac{dx}{sinx+cosx}=[\, t=tg\frac{x}{2},sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}\, ]=\\\\=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\, dt}{-(t^2-2t-1)}=\\=-2\int \frac{dt}{(t-1)^2-2}=[v=t-1,dv=dt]=\\\\=-2\int \frac{dv}{v^2-2}=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt2}\cdot ln|\frac{v-\sqrt2}{v+\sqrt2}|+C=\\=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln|\frac{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}|+C= \\ =\frac{1}{\sqrt2}\cdot ln\, |\frac{tg\frac{x}{2}-1+\sqrt2}{tg\frac{x}{2}-1-\sqrt2}|+C $$

  • Нужна помощь с интегралом:
    интеграл от пи до 0= e^x*cos^2xdx


    Решение: $$ \int\limits^ \pi _0 {e^xcos^2x} \, dx= \int\limits^ \pi _0 {e^x(1+cos2x)/2} \, dx=1/2( \int\limits^ \pi _0 {e^x} \, dx + \int\limits^ \pi _0 {e^xcos2x} \, dx ) $$
    найдем интеграл $$ \int\limits {e^xcos2x} \, dx $$
    u = cos2x  du=-1/2sin2xdx
    dv=e^xdx  v=e^x
    $$ \int\limits {e^xcos2x} \, dx =e^xcos2x+ 1/2\int\limits {e^xsin2x} \, dx = $$
    u = sin2x  du=1/2cos2xdx
    dv=e^xdx  v=e^x
    =$$ e^xcos2x+1/2(e^xsin2x-1/2 \int\limits {e^xcos2x} \, dx )= \ e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx \\ \int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x-1/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx \\ 5/4 \int\limits {e^xcos2x} \, dx= e^xcos2x+1/2e^xsin2x \\ \int\limits {e^xcos2x} \\, dx= 4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x \\ 1/2( {e^x} +4/5e^xcos2x+2/5e^xsin2x) \int\limits^ \pi _0= \\ 1/2 {e^x} (1 +4/5cos2x+2/5sin2x) \int\limits^ \pi _0=1/2e^ \pi (1+4/5+0)-1/2e^0(1+4/5+0) = 9/10(e^ \pi -1) $$

  • Интеграл от п/2 до -п/2 dx/1+cosx


    Решение: $$ 1+cosx=cos ^{2} \frac{x}{2}+sin ^{2} \frac{x}{2}+cos ^{2} \frac{x}{2}-sin ^{2} \frac{x}{2}=2cos ^{2} \frac{x}{2} \\ \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{dx}{1+cosx} } \,= \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{dx}{2cos ^{2} \frac{x}{2} } } \,= \int\limits^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{d( \frac{x}{2}) }{cos ^{2} \frac{x}{2} } } \,=tg \frac{x}{2}|^{\frac{ \pi }{2}}_{- \frac{ \pi }{2}} =tg \frac{ \pi }{4}-tg(- \frac{ \pi }{4})= \\ = 1-(-1)=2 $$

  • Решите простенький интеграл и объясните как вы его решили.
    S cos½x dx


    Решение: $$\int{cos1/2x}\, dx=2\int{cos1/2x}\;\\, d1/2x=-2sin1/2x+C $$

    ничего обозначать не нужно через t. чтобы нати первообразную, вам нужно чтобы то, что было перед х в интеграле, то было и перед х у dx

    там cos1/2x, значит 1/2 должна быть и перед dx.

    чтобы не нарушать уравнение, мы берем 2/2, 2 выносим за знак интеграла, а 1/2 подставляем в dx

    первообразная от cosx это -sinx

<< < 242526 27 28 > >>