интеграл »

найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции - страница 8

  • 1. Найдите координаты точки М относительно которой симметричны точки Е (-3;8;7) и К (-9;6;1)
    2. Найдите расстояние от точки А (2;3;-6) к координатной площади ху
    3. Ортогональной проекцией отрезка с концами в точках А (-1;0;5) и В (-1;0;8) на координатную площадь ху это :
    а) прямая б) луч в) отрезок г) точка д) фигура отличающиеся от выше сказанных
    4. Найдите вектор с=2а-b f(3 ;-1;2),b(-2;2;5)
    5. Параллелограмм ABCD построено на векторах а и b как на сторонах. Известно что модуль вектора а равен 3 а модуль вектора b равен 5 сума по модулю этих векторов равно 7 найдите величину угла между векторами а и b.


    Решение: 1) Если точка М симметрична точкам Е и К, то точка М есть серединой отрезка ЕК.
    М((-3-9)/2=-6; (8+6)/2=7; (7+1)/2=4) = (-6;7;4).
    2) Расстояние от точки А (2;3;-6) до координатной плоскости хОу соответствует модулю координаты z и равно 6.
    3) Ортогональная проекция отрезка с концами в точках А (-1;0;5) и В (-1;0;8) на координатную плоскость хОу это :
     г) точка, так как координаты х и у совпадают и проекция - это точка.
    4) Вектор с=2а-b а(3 ;-1;2),b(-2;2;5)
      a  b
    x  y  z  x y z
    3  -1  2 -2 2   5
    a * m  m = 2 b * n n =  -1
     6  -2 4  2 -2 -5
    Результат am+bn =  x   y  z
      8   -4 -1
    5. Параллелограмм ABCD построено на векторах а и b как на сторонах. Известно что модуль вектора а равен 3 а модуль вектора b равен 5 сумма по модулю этих векторов равна 7. Найти величину угла между векторами а и b.
    При известных модулях воспользуемся теоремой косинусов:
    cos C = |(a² + b² - c²)/(2ab)| = |(25+9-49)/)2*5*3)| = 15/30 = 1/2.
    arc cos (1/2) = 60°.

  • Найдите площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функций f(x) = x^2-6x+9 и прямой x=2


    Решение: Фигура ограничена осью OX и OY и прямой x = 2

    OY = 0 по иксу, значит площадь фигуры будем искать на промежутке 0,2. Они же будут пределами интегрирования.

    Нижний предел - 0, верхний - 2

    Площадь фигуры находится по формуле

    $$ \int\limits^a_b {f(x)} \, dx $$

    Теперь подставляем

    $$ \int\limits^2_0 {(x^2 - 6x + 9)} \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 9x = \frac{2^3}{3} - \frac{6 * 2^2}{2} + 9 * 2 \ =\\= \frac{8}{3} - \frac{24}{2} + 18 = \frac{16 - 72}{6} + 18 = -9\frac{1}{3} + 18 = 8\frac{2}{3} $$ ед^2

  • 1) вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции у=f(x) и осями координат f(x)=-x^2+6x-9
    2) Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=х^2 y=-2x


    Решение: Найдём границы интегрирования: -x² + 6x -9 = 0
      -(х² - 6х + 9) = 0
      -(х - 3)² = 0
      х = 3
    Данная функция на графике парабола ветвями вниз. Она пересекает ось у  в точке у = -9
    Ищем интеграл от 0 до 3, под интегралом
    ( -x² + 6x -9) dx = -х³/3 + 6х/2 - 9х в пределах от 0 до 3=
    = -9 + 9 - 27 = 27
    Получили результат с минусом.
    Это значит, что наша фигура под осью х
    Ответ: 27

  • 1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат. 2.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абсцисс.


    Решение: 1) площадь = интеграл от (-2) до (0) (x^2+8x+16) dx =

      = 1/3*x^3+4x^2+16x (подстановка от (-2) до (0) =

      = 0 - ( 1/3*(-2)^3+4(-2)^2+16*(-2) ) = 0 - (-8/3 +16 - 32) = 16 + 8/3 = 18 + 2/3

    2) площадь = интеграл от (-1) до (3) (x^2-6x+10) dx =

      = 1/3*x^3-3x^2+10x (подстановка от (-1) до (3) =

      = 1/3*(3)^3-3*(3)^2+10*(3) - ( 1/3*(-1)^3-3*(-1)^2+10*(-1) ) =

      = 9 - 27 + 30 - ( -1/3 - 3 - 10 ) = 12 - ( - 13 - 1/3) = 25+1/3

  • 1.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат.
    2.) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2-6x+10, прямыми x=-1, x=3 и осью абсцисс.
    , очень надо


    Решение: Просто подставляем значения в формулу S = $$ \int\limits^b_a {f(x)} \, dx $$ и решаем

    1) Фигура ограничена осями OX и OY.

    OY - x = 0

    Значит будем искать площадь фигуры на промежутке [-2;0]

    S = $$ \int\limits^0_{-2} {x^2 + 8x + 16} \, dx = -(\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + 16x) =\\= -(-\frac{8}{3} + \frac{32}{2} - 32) = \frac{8}{3} - 16 + 32 = \frac{8}{3} + 16 = 2\frac{2}{3} + 16 = 18\frac{2}{3} $$ ед^2

    2) Тут так же. Ищем площадь фигуры на промежутке [-1;3]

    Для начала найдём первообразную этой функции, чтоб не переписывать потом

    F(x) = F(x^2-6x+10) = $$ \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 10x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x $$

    S = $$ \int\limits^3_{-1} {(x^2-6x+10)} \, dx = (\frac{3^3}{3} - 3 * 3^2 + 10 * 3) - (-\frac{1^3}{3} - 3 * (-1)^2 + 10 * (-1)) =\\= 9 - 27 + 30 + \frac{1}{3} + 3 + 10 = 25\frac{1}{3} $$ ед^2

<< < 678 9 > >>