НОД и НОК »

наибольшее общее кратное чисел

  • Наименьшее общее кратное чисел 420, одно из них 60. Найдите другое число, если наибольший общий делитель равен 10.


    Решение: Для начала распишем, что такое наименьшее общее кратное, и наибольший общий делитель.
    Так как в задаче у нас именно два числа, то:
    Наименьшее общее кратное двух чисел, это наименьшее целое число, КОТОРОЕ делится без остатка на каждое из этих двух чисел.
    Наибольший общий делитель двух чисел, это наибольшее целое число НА КОТОРОЕ делится каждое из наших двух чисел.
    Если наибольший общий делитель равен 10, то наше второе число также четное, и может быть разделено на 10 без остатка.
    Наименьшее общее кратное равно отношению произведения наших двух чисел к наибольшему общему делителю этих чисел.
    На бумаге это выглядит так:
    $$ [A,B]= \frac{A*B}{(A,B)} $$
    Где $$ [A,B] $$ - это наименьшее общее кратное, а (A,B) - наибольший общий делитель.
    Отсюда, неизвестное число B будет равно:
    $$ B=\frac{[A,B]*(A,B)}{A} $$
    Оно равно:
    B=(420*10)/60=4200/60=70.
    Ответ: второе число будет равно 70.

  • Наименьшее общее кратное двух чисел равно 360, а наибольший общий делитель этих чисел-18. Найдите первое число, если второе равно 90


    Решение: Пусть первое число, которое нужно найти, равно х.
    НОК(х; 90)=360
    НОД(х; 90)=18
    $$ \frac{360}{x}=m \\ =>  \frac{360}{18n}=\frac{20}{n}=m \\ =>  n*m=20 \\ \frac{x}{18}=n \\ => x=18n $$
    Где n, m ∈ N
    20=1*20=2*10=4*5
    n=1, m=20, x=18
    n=2, m=10, x=36
    n=4, m=5, x=72
    n=20, m=1, x=360
    n=10, m=2, x=180
    n=5, m=4, x=90 - посторонний корень, т. к. совпадает со вторым числом.
    Получилось 5 возможных значений х. Выясним, какие из них лишние (не удовлетворяют условию):
    18=2*3*3
    36=2*2*3*3
    72=2*2*2*3*3
    360=2*2*2*3*3*5
    180=2*2*3*3*5
    90=2*3*3*5
    НОК(18;90)=2*3*3*5=90, х=18 - посторонний корень
    НОК(36; 90)=2*2*3*3*5=180, х=36 - посторонний корень
    НОК(72; 90)=2*2*2*3*3*5=360, х=72 - возможный корень
    НОК(360; 90)=360, х=360 - возможный корень
    НОК(180; 90)=180, х=180 - посторонний корень
    Осталось проверить 2 числа:
    НОД(72;90)=2*3*3=18, х=72 - корень
    НОД(360;90)=90, х=360 - посторонний корень
    Ответ: 72

  • Найди наименьшее общее кратное данных чисел?
    1) наибольшего трехзначного числа и наибольшего двухзначного числа.
    2) наибольшего трехзначного числа и наибольшего однозначного числа.
    3) наименьшего трехзначного числа и наибольшего однозначного числа.
    4) первых трех последовательных двузначных простых чиселю


    Решение: 1) числа 999 и 99 - НОК=10989
    999=3*3*3*37
    99=3*3*11
    НОК=999*11=10989
    2) числа 999 и 9 - НОК=999
    999=3*3*111
    9=3*3
    НОК=999
    3) числа 100 и 9 - НОК=900
    100=2*2*5*5
    9=3*3
    НОК=100*9=900
    4) числа 11, 13, 17 - НОК=2431
    Так как числа простые, то НОК=11*13*17=2431

    1) НСК(999;99)=(3^3)*11*37=10989
    999=3*3*3*37=(3^3)*37
    99=3*3*11=(3^2)*11
    2) НСК(999;9)= (3^3)*37=999
    999=3*3*3*37=(3^3)*37
    9=3*3=3^2
    3) НСК(100;9)= (2^2)*(5^2)*(3^2)=900
    100=2*2*5*5=(2^2)*(5^2)
    9=3*3=3^2
    4) НСК(11;13;17)=1*11*13*17=2431
    11=1*11
    13=1*13
    17=1*17

  • Наибольший общий делитель двух чисел равен 4, а их наименьшее общее кратное равно 120. Одно из чисел равно 24. Найдите второе число.


    Решение: 120 = 24•х/4,
    120 = 6х,
    х = 20,

    Ответ: Второе число 20. 

    • Знак умножения

    / Знак деления

    НОД = 4 = 2*2

    НОК = 120 = 2*2*2*3*5

    24=2*2*2*3

    НОД - это все общие делители чисел, значит у второго числа тоже будут множители 2*2

    НОК - это все делители меньшего числа и, не совпадающие с ним делители другого числа, у числа 24 и НОК не совпадает делитель - 5.

    Значит искомое число имеет множители 2*2*5=20

    Ответ: второе число 20

  • Решить найдите частное. в котором делимым является наименьшее общее кратное чисел 4. 8 и 12. а делителем-наибольший общий делитель чисел 84 и 120.


    Решение: Натуральные числа - это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, 4, n, Множество всех натуральных чисел обозначается N.
    Натуральное число, единственными делителями которого являются только единица и оно само, называется простым числом. Все остальные натуральные числа называются составными. Натуральное число 1 не является простым! Пример:2, 3, 5, 7, 11 - простые числа.4, 6, 8, 9, 10, 12 - составные числа
    Признаки делимости натуральных чисел. Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8. Примечание: числа, которые делятся на 2, называются четными, а которые на 2 не делятся - нечетными. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 4. Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 8. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
    Наименьшее общее кратное. Общим кратным натуральных чисел называется натуральное число, которое делится на эти числа. Наименьшее из них называется наименьшим общим кратным (НОК).
    Нахождение НОК:1. разложить их на простые множители; 2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3. домножить их на недостающие множители из разложений остальных чисел; 4. найти произведение получившихся множителей.
    Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 36.1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*32. 2*2*2*33. 2*2*2*3*34. 2*2*2*3*3=72 Ответ: НОК(24; 36)=72
    Наибольший общий делитель. Общим делителем натуральных чисел называется число, на которое делятся эти числа. Наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).
    Нахождение НОД:1. разложить их на простые множители;2. в группах множителей, входящих в разложение этих чисел, оставляем только совпадающие множители; 3. найти произведение оставшихся множителей.
    Пример: Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 36.1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*32. 2*2*33. 2*2*3=12Ответ: НОД(24; 36)=12
    Примечание: Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти числа называются взаимно простыми.

  • Найди наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 1)10и70 2)22и88 3)25и75 4)14и20 5)18и30 6)16и40


    Решение: 1) 10=2×5
    70=2×5×7
    ▪НОД(10, 70)=2×5=10
    ▪НОК(10, 70)=2×5×7=70
    2) 22=2×11
    88=2×2×2×11
    ▪НОД(22, 88)=2×11=22
    ▪НОК(22, 88)=2×2×2×11=88
    3) 25=5×5
    75=3×5×5
    ▪НОД(25, 75)=5×5=25
    ▪НОК(25, 75)=3×5×5=75
    4) 14=2×7
    20=2×2×5
    ▪НОД(14, 20)=2
    ▪НОК(14, 20)=2×2×5×7=140
    5) 18=2×3×3
    30=2×3×5
    ▪НОД(18, 30)=2×3=6
    ▪НОК(18, 30)=2×3×5×3=90
    6) 16=2×2×2×2
    40=2×2×2×5
    ▪НОД(16, 40)=2×2×2=8
    ▪НОК(16, 40)=2×2×2×5×2=80

  • Найди наибольший общий делители и наименьшее общее кратное чисел 10 и 70 22и 88 25и75 14и 2о 18 и 30 16 и 40


    Решение: 1) 10 = 2*5
    70 = 2*5*7
    НОД = 2*5 = 10
    НОК = 2*5*7 = 70
    2) 22 = 2*11
    88 = 2*4*11
    НОД = 2*11 = 22
    НОК = 2*4*11 = 88
    3) 25 = 5*5
    75 = 3*5*5
    НОД = 5*5 = 25
    НОК = 3*5*5 = 75
    4) 14 = 2*7
    20 = 2*2*5
    НОД = 2
    НОК = 2*2*5*7 = 140
    5) 18 = 2*3*3
    30 = 2*3*5
    НОД = 2*3 = 6
    НОК = 2*3*3*5 = 90
    6) 16 = 2*2*2*2
    40 = 2*2*2*5
    НОД = 2*2*2 = 8
    НОК = 2*2*2*2*5 = 80.

  • Найдите инаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 2450 и 3500, 792 и 2178


    Решение: 2450 | 2                                                             3500 | 5
    1225 | 5                                                               700 | 7
      245 | 5                                                               100 | 5
        49 | 7                                                                 20 | 2
          7 | 7                                                                 10 | 2
          1 |                                                                      5 | 5
    2450=2*5*5*7*7                                                      1 |
                                                                               3500=5*7*5*2*2*5
    НОД(2450*3500)=5*5*7*2=350
    НОК(2450*3500)=5*5*5*7*7*2*2=24500
    792 | 2                                                             2178 | 2
    396 | 2                                                             1089 | 3
    198 | 2                                                               363 | 3
      99 | 11                                                             121 | 11
        9 | 3                                                                 11 | 11
        3 | 3                                                                   1 |
        1 |                                                                 2178=2*3*3*11*11
    792=2*2*2*11*3*3
    НОД(792*2178)=2*3*3*11=198
    НОК(792*2178)=2*2*2*3*3*11*11=8712         

  • Выбери из чисел 96 24 192 48:
    1) наименьшее общее кратное:
    2) наибольший общий делитель.


    Решение: 1) 192 - ответ. наименьшее общее кратное (НОК) это наименьшее число которые может поделить на себя другие числа с целым результатом 
    тут 192 можно поделить и на 96 и на 24 и на 192 (будет 1 ) и на 48
    2) 24- ответ. наибольший общий делитель (НОД) это наибольшее число на которое делятся все приведенные из списка числа 96 делится на 24
     24 делится на 24 192 делится на 24 и тд (это не 48 потому что например 24 меньше 48 и оно (24) не делится на 48)

  • Найдитте наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 1)375 и 3500 2)792 и 2178


    Решение: 1) НОК 10500 НОД 125
    2) НОК 8712 НОД 198

    Надо разложить на простые множители 375 = 5*5*5*3; 3500 = 5*5*5*7*2*2, для наибольшего общего делителя надо набрать из этих простых множителей только те, которые есть во всех 2 числаХ, а именно 5*5*5=125, а для наименьшего общего кратного надо набрать такой набор простых множителей, который содержится в разложении этих двух чисел, а именно 5*5*5*3*7*2*2 = 10500, аналогично со вторым.

1 2 3 > >>