НОД и НОК »

наибольшее общее кратное чисел

  • Наименьшее общее кратное чисел 420, одно из них 60. Найдите другое число, если наибольший общий делитель равен 10.


    Решение: Для начала распишем, что такое наименьшее общее кратное, и наибольший общий делитель.
    Так как в задаче у нас именно два числа, то:
    Наименьшее общее кратное двух чисел, это наименьшее целое число, КОТОРОЕ делится без остатка на каждое из этих двух чисел.
    Наибольший общий делитель двух чисел, это наибольшее целое число НА КОТОРОЕ делится каждое из наших двух чисел.
    Если наибольший общий делитель равен 10, то наше второе число также четное, и может быть разделено на 10 без остатка.
    Наименьшее общее кратное равно отношению произведения наших двух чисел к наибольшему общему делителю этих чисел.
    На бумаге это выглядит так:
    $$ [A,B]= \frac{A*B}{(A,B)} $$
    Где $$ [A,B] $$ - это наименьшее общее кратное, а (A,B) - наибольший общий делитель.
    Отсюда, неизвестное число B будет равно:
    $$ B=\frac{[A,B]*(A,B)}{A} $$
    Оно равно:
    B=(420*10)/60=4200/60=70.
    Ответ: второе число будет равно 70.

  • Наименьшее общее кратное двух чисел равно 360, а наибольший общий делитель этих чисел-18. Найдите первое число, если второе равно 90


    Решение: Пусть первое число, которое нужно найти, равно х.
    НОК(х; 90)=360
    НОД(х; 90)=18
    $$ \frac{360}{x}=m \\ =>  \frac{360}{18n}=\frac{20}{n}=m \\ =>  n*m=20 \\ \frac{x}{18}=n \\ => x=18n $$
    Где n, m ∈ N
    20=1*20=2*10=4*5
    n=1, m=20, x=18
    n=2, m=10, x=36
    n=4, m=5, x=72
    n=20, m=1, x=360
    n=10, m=2, x=180
    n=5, m=4, x=90 - посторонний корень, т. к. совпадает со вторым числом.
    Получилось 5 возможных значений х. Выясним, какие из них лишние (не удовлетворяют условию):
    18=2*3*3
    36=2*2*3*3
    72=2*2*2*3*3
    360=2*2*2*3*3*5
    180=2*2*3*3*5
    90=2*3*3*5
    НОК(18;90)=2*3*3*5=90, х=18 - посторонний корень
    НОК(36; 90)=2*2*3*3*5=180, х=36 - посторонний корень
    НОК(72; 90)=2*2*2*3*3*5=360, х=72 - возможный корень
    НОК(360; 90)=360, х=360 - возможный корень
    НОК(180; 90)=180, х=180 - посторонний корень
    Осталось проверить 2 числа:
    НОД(72;90)=2*3*3=18, х=72 - корень
    НОД(360;90)=90, х=360 - посторонний корень
    Ответ: 72

  • Найди наименьшее общее кратное данных чисел?
    1) наибольшего трехзначного числа и наибольшего двухзначного числа.
    2) наибольшего трехзначного числа и наибольшего однозначного числа.
    3) наименьшего трехзначного числа и наибольшего однозначного числа.
    4) первых трех последовательных двузначных простых чиселю


    Решение: 1) числа 999 и 99 - НОК=10989
    999=3*3*3*37
    99=3*3*11
    НОК=999*11=10989
    2) числа 999 и 9 - НОК=999
    999=3*3*111
    9=3*3
    НОК=999
    3) числа 100 и 9 - НОК=900
    100=2*2*5*5
    9=3*3
    НОК=100*9=900
    4) числа 11, 13, 17 - НОК=2431
    Так как числа простые, то НОК=11*13*17=2431

    1) НСК(999;99)=(3^3)*11*37=10989
    999=3*3*3*37=(3^3)*37
    99=3*3*11=(3^2)*11
    2) НСК(999;9)= (3^3)*37=999
    999=3*3*3*37=(3^3)*37
    9=3*3=3^2
    3) НСК(100;9)= (2^2)*(5^2)*(3^2)=900
    100=2*2*5*5=(2^2)*(5^2)
    9=3*3=3^2
    4) НСК(11;13;17)=1*11*13*17=2431
    11=1*11
    13=1*13
    17=1*17

  • Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:
    12 и 18
    13 и 39


    Решение: 12 = 3*2*2
    18=3*3*2
    НОД (12, 18) = 6
    НОК (12,18) = 3*3*2*2 = 36
    39=3*13
    НОД (39, 13) = 13
    НОК (39, 13) = 13*3 = 39

    Я сейчас тоже самое решаю.
    а) НОД(12,18)=18
    12 2 18 3
     6 2 6 3
     3 3 2 2
     1 1
    12=2*2(вычеркиваем)*3 18=3*3*2
    2*3*3=18
    НОК(12,18)=36
    12 2 18 3
    6 2 6 3
    3 3 2 2
    1 1
    12=2*2*3 18=3*3*2
    2*2*3*3=36
    б) НОД(13,39)=39
    13 13 39 3
    1 13 13
    13=13*1(вычеркиваем) 1
      39=3*13
    3*13=39
    НОК(13,39)=39
    13 13 39 3
    1 13 13
    13=1*13 1
      39=3*13
    1*13*3=39

  • Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. а) 10и15 б)12,18и 2


    Решение: А)10=2*5, 15=3*5 НОД(наибольший общий делитель)=5, НОК(наименьшее общее кратное)=2*3*5=30 б)12=2*2*3, 18=2*3*3, 2=2*1 НОД=2, НОК=2*2*3*3=36

  • Подготовка к контрольной помагите 1. Найдите:
    а) наибольший общий делитель чисел 24 и 18
    б) наименьшее общее кратное чисел 12 и 15
    2. Разложите на простые множители число 546.
    3. Какую цифру можно записать вместо звездочки в числе 681*, чтобы оно
    а) делилось на 9
    б) делилось на 5
    в) было кратно 6
    4. Выполните действия
    а) 7 – 2,35 + 0,435
    б) 1,763:0,086 – 0,34∙16
    5. Найдите произведение чисел a и b, если их наименьшее общее кратное равно 420, а наибольший общий делитель равен 30.


    Решение: 1. а)24=2*2*2*3
    18=2*3*3
    НОД=3*2=6
    НОК=3*3*2*2*2=72 (наименьшее общее кратное)
    б)12 = 2*2*3
    15 = 3*5
    2)5*100+4*10+6*1=546
    3) 1) 6813
    2) 6810
    3) 6816
    4) а.4,215
    б.322,56
    5) Такие, кратные 30, то есть 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240 и т. д.
    Теперь посмотрим, на какие из них можно поделить 420 без остатка. Это будут 60 и 210.
    Перемножим их, получим 12600
    Ответ: 12600.

  • Наибольший общий делитель двух чисел равен 4, а их наименьшее общее кратное равно 120. Одно из чисел равно 24. Найдите второе число.


    Решение: 120 = 24•х/4,
    120 = 6х,
    х = 20,

    Ответ: Второе число 20. 

    • Знак умножения

    / Знак деления

    НОД = 4 = 2*2

    НОК = 120 = 2*2*2*3*5

    24=2*2*2*3

    НОД - это все общие делители чисел, значит у второго числа тоже будут множители 2*2

    НОК - это все делители меньшего числа и, не совпадающие с ним делители другого числа, у числа 24 и НОК не совпадает делитель - 5.

    Значит искомое число имеет множители 2*2*5=20

    Ответ: второе число 20

  • Решить найдите частное. в котором делимым является наименьшее общее кратное чисел 4. 8 и 12. а делителем-наибольший общий делитель чисел 84 и 120.


    Решение: Натуральные числа - это числа, используемые для счета: 1, 2, 3, 4, n, Множество всех натуральных чисел обозначается N.
    Натуральное число, единственными делителями которого являются только единица и оно само, называется простым числом. Все остальные натуральные числа называются составными. Натуральное число 1 не является простым! Пример:2, 3, 5, 7, 11 - простые числа.4, 6, 8, 9, 10, 12 - составные числа
    Признаки делимости натуральных чисел. Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8. Примечание: числа, которые делятся на 2, называются четными, а которые на 2 не делятся - нечетными. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 4. Признак делимости на 5: число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, делящееся на 8. Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
    Наименьшее общее кратное. Общим кратным натуральных чисел называется натуральное число, которое делится на эти числа. Наименьшее из них называется наименьшим общим кратным (НОК).
    Нахождение НОК:1. разложить их на простые множители; 2. выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3. домножить их на недостающие множители из разложений остальных чисел; 4. найти произведение получившихся множителей.
    Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 36.1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*32. 2*2*2*33. 2*2*2*3*34. 2*2*2*3*3=72 Ответ: НОК(24; 36)=72
    Наибольший общий делитель. Общим делителем натуральных чисел называется число, на которое делятся эти числа. Наибольший из них называется наибольшим общим делителем (НОД).
    Нахождение НОД:1. разложить их на простые множители;2. в группах множителей, входящих в разложение этих чисел, оставляем только совпадающие множители; 3. найти произведение оставшихся множителей.
    Пример: Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 36.1. 24=2*2*2*3 36=2*2*3*32. 2*2*33. 2*2*3=12Ответ: НОД(24; 36)=12
    Примечание: Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти числа называются взаимно простыми.

  • 1) Разложите на простые множители число
    5544
    2) Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 504 и 756
    3) Докажите, что числа : а) 255 и 238 не взаимно простые ; б) 392 и 675 взаимно простые.
    4) Выполните действия : 268,8 : 0,56 + 6,44 х 12
    5) Может ли разность двух простых чисел быть простым числом?


    Решение: 1)5544|2.
    2772|2
    1386|2
    693|3
    231|3
    77|7
    11|11
    1. ( сплошная черта)
    5544= 2в кубе•3в квадрате•7•11
    2) НОД(504;756)= 2•2•3•3•7=252
    НОК(504;756)=2•2•2•3•3•3•7=1512
    4)268,8:0,56+6,44•12=480+77,28=557,28
    5) нет
    Пример 7-3=4

    1)5544|2
    2772|2
    1386|2
    693|3
    231|3
    77|11
    11|11
    1
    2) НСД (504 і 756)=7×7×2×2=252
    НСК (504 і 756)=2×2×3×7×7=588
    504|2
    252|2
    126|3
    63|7
    7|7
    1|
    756|3
    252|2
    126|2
    63|7
    7|7
    1|

  • Найдите наибольший общий делитель чисел и наименьшее общее кратное чисел : 1) 4 и 10 2)6 и 14 3)8 и 12 4)15 и 18 5)20 и 24 6)26 и 39


    Решение: НОД 4 и 10=2  НОК 4 и 10 =20
    4/2  10/2
     2/2  5/5 
    1  1
    НОД 6 и 14=2  НОК 6 и 14=2*3*7=42
    6/2  14/2 
    3/3  7/7
    1  1
    НОД 8 и 12=2*2=4  НОК=2*2*2*3*3=72
    8/2  12/2
    4/2  6/2
    2/2  3/3
    1  1
    НОД 15 и 18=3  НОК=3*5*2*3=90
    15/3  18/2
    5/5  9/3
    1  3/3
       1
    НОД 26 и 39=13 НОК=2*13*3=78
    26/2  39/3
    13/13  13/13
    1  1

1 2 3 > >>