докажите тождество
Докажите тождество 1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
2) a2 + 2 ab + b2 - c2 + 2cd -d2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
Решение: Решение
1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
Упростим левую часть тождества:
(a + 2)³ - 25*(a + 2) = (a + 2)*(a² + 4a + 4 - 25) =
= (a + 2)*(a² + 4a - 21)
a² + 4a - 21 = 0
a₁ = - 7
a₂ = 3
a² + 4a - 21 = (a + 7)*(a - 7)
(a + 2)*(a² + 4a - 21) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
(a + 2)*(a + 7)*( a - 3) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
доказано
2) a²+ 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
Упростим левую часть тождества:
a² + 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a² + 2 ab + b²) -(c² - 2cd + d²) =
= (a + b)² - (c - d)² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
(a + b + c - d)*(a + b - c + d) = (a + b + c - d)*(a + b - c + d)
доказаноДокажите тождество an= a1+(n-1)d ( формула n-го члена арифметической прогрессии) методом математической индукции
Решение: При n=1 имеем a(1=a1+d*(1-1)=a(1), так что для n=1 формула верна.
Допустим теперь, что формула верна и для произвольного n=k:
a(k)=a1+d*(k-1) и перейдём теперь к n=k+1:
a(k+1)=ak+d=a1+d*(k-1)+d=a1+d*k - формула верна и для n=k+1. А значит, она верна и для любого целого n. Действительно, из справедливости формулы при n=1 (а в этом мы убедились непосредственно) вытекает её справедливость для n=2; из справедливости для n=2 следует справедливость для n=3 и. т. д. Тождество доказано.
Докажите тождество:
sin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа = cos (3П/2 - 2 альфа)
Решение: по формуле синуса разностиsin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа =sin(альфа-3альфа)=sin(-2альфа)=
учитывая нечетность синуса -sin(2альфа)
по формуле приведения
cos(3П/2 - 2 альфа)=- sin( 2 альфа)
значит sin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа = cos (3П/2 - 2 альфа)
Доказано
Докажите тождество:
sin 105° cos 105° = - 1/4
Решение: А вот попроще решение: $$ 105^{0}=60^{0}+45^{0} $$По формулам суммы аргументов получаем: $$ sin(60^0+45^0)*cos(60^0+45^0)= \\ =(sin60^0cos45^0+cos60^0sin45^0)*(cos60^0cos45^0-sin60^0sin45^0) $$
Подставляем известные значения синусов и косинусов:
$$ (\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2})(\frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2})=\\=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}\frac{\sqrt2(1-\sqrt3)}{4}=\frac{2*(-2)}{16}=-\frac{1}{4} $$
докажите тождество (sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α)
Решение: (sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α)чтобы доказать какое-либо дождество надо одну из частей привести к другой. Мы будем рассматривать левую часть и приведем ее к виду правой:
(sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α = (sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α =
теперь воспоьзуемся тождеством:
sin²α+cos²α=1
sin²α=1-cos²α
и подставим в числителе полученное выражение:
= (1-cos²α-cos²α)(1-cos²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = (1-2cos²α)/(sin²α)+2ctg²α =
теперь применим, что
ctg²α = cos²α/sin²α
подставим:
= (1-2cos²α)/(sin²α)+2cos²α/sin²α = (1-2cos²α+2cos²α)/(sin²α) = 1/(sin²α) - а это и есть правая часть нашего тождества. Следовательно, оно доказано.
Докажите тождество :
sin a / 1+ cos a + 1+cos a / sin a = 2 / sin a
решите уравнение :
sin в квадрате x - 6 sin x = 0
Решение: Приводим левую часть тождества к общему знаменателю:(sin^2a+(1+cosa)^2)/(1+cosa)sina=2(1+cosa)/(1+cosa)sina=2/sina что и т. д.
sinx(sinx-6)=0
sinx=6 решения нет
sinx=0
x=(пи)n, n принадлежит классу целых чисел
Приводим левую часть тождества к общему знаменателю:
(sin^2a+(1+cosa)^2)/(1+cosa)sina=2(1+cosa)/(1+cosa)sina=2/sina что и т. д.
sinx(sinx-6)=0
sinx=6 решения нет
sinx=0
x=(пи)n, n принадлежит классу целых чисел.
Докажите тождество:
\( sin x+cos x+ \sqrt{2}=2\sqrt{2}cos^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}) \)
Решение: Воспользуемся 2 тригонометрическими формулами:1. $$ cos^2x=\frac{1+cos2x}{2} $$
2. $$ cos(x-y)=cosx\cdot cosy+sinx \cdot siny $$
Теперь воспользуемся первой формулой преобразуем левую часть выражения, получим:
$$ 2\sqrt{2}cos^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})= \\ =2\sqrt{2}(\frac{1+cos2\cdot (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})}{2})= \\ =\sqrt{2}(1+cos(x-\frac{\pi}{4})) $$
Воспользуемся формулой 2. И упростим cos:
$$ \sqrt{2}(1+cos(x-\frac{\pi}{4}))= \\ =\sqrt{2}(1+cosx\cdot cos(\frac{\pi}{4})+sinx \cdot sin(\frac{\pi}{4}))= \\ =\sqrt{2}(1+cosx\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+sinx \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \\ =\sqrt{2}+cosx+sinx $$
Получаем что левая часть равна правой части:
$$ sinx+cosx+\sqrt{2}=\sqrt{2}+cosx+sinx $$
Что и требовалось доказать
Докажите тождество: sin(45-альфа) / cos(45-альфа)=1
Тема: синус и косинус разности
Решение: sin(45-альфа) / cos(45-альфа)=1
sin45cosA-cos45sinA/cosAcos45+sin45sinA=cosA-sinA/cosA+sinA не равно 1
cos(45+фльфа)=cos45cosA-sin45cosA при таком знаменателе =1
Докажите тождество:
1) 1-sin t / cos t=cos t / 1+sin t
2)sin t / 1-cos t=1+ cos t / sin t
Решение: Умножаем крест на крест
cos^2t=(1-sint)(1+sint)
cos^2t=1-sin^2t
cos^2t+sin^2t=1
1=1
2)(1+cost)(1-cost)=sin^2t
1-cos^t=sin^2t
1=sin^2t+cos^2t
1=1. В данном случае метод доказательства разность между левой и правой частями =0
второй номер доказывается аналогично
докажите тождество sin^4a+sin^2a cos^2a=1-cos^2a
Решение: используя основное тригонометриеское тождество$$ sin^4 a+sin^2 a cos^2 a=sin^2 a(sin^2+cos^2 a)=sin^2 a*1=sin^2 a=1-cos^2 a $$
Доказано
в левой части выносим за скобки sin²a:
sin²a(sin²a+cos²a)=1-cos²a
в правой части применяем основное тригонометрическое тождество:
sin²a(sin²a+cos²a)=sin²a
sin²a сокращается
sin²a+cos²a=1, а это основное тригонометрическое тождество. ч. т. д
