тождество »

докажите тождество

  • Докажите тождество 1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    2) a2 + 2 ab + b2 - c2 + 2cd -d2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)


    Решение: Решение
    1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    Упростим левую часть тождества:
    (a + 2)³ - 25*(a + 2) = (a + 2)*(a² + 4a + 4 - 25) = 
    = (a + 2)*(a² + 4a - 21)
    a² + 4a - 21 = 0
    a₁ = - 7
    a₂ = 3
    a² + 4a - 21 = (a + 7)*(a - 7)
    (a + 2)*(a² + 4a - 21) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
     (a + 2)*(a + 7)*( a - 3) =  (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
    доказано
    2) a²+ 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    Упростим левую часть тождества:
    a² + 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a² + 2 ab + b²) -(c² - 2cd + d²) =
    = (a + b)² - (c - d)² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    (a + b + c - d)*(a + b - c + d) =     (a + b + c - d)*(a + b - c + d)
    доказано

  • Докажите тождество an= a1+(n-1)d ( формула n-го члена арифметической прогрессии) методом математической индукции


    Решение: При n=1 имеем a(1=a1+d*(1-1)=a(1), так что для n=1 формула верна.

    Допустим теперь, что формула верна и для произвольного n=k: 
    a(k)=a1+d*(k-1) и перейдём теперь к n=k+1:

    a(k+1)=ak+d=a1+d*(k-1)+d=a1+d*k - формула верна и для n=k+1. А значит, она верна и для любого целого n. Действительно, из справедливости формулы при n=1 (а в этом мы убедились непосредственно) вытекает её справедливость для n=2; из справедливости для n=2 следует справедливость для n=3 и. т. д. Тождество доказано.  


  • Докажите тождество:

    sin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа = cos (3П/2 - 2 альфа)


    Решение: по формуле синуса разности

    sin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа =sin(альфа-3альфа)=sin(-2альфа)=

    учитывая нечетность синуса -sin(2альфа)

    по формуле приведения

    cos(3П/2 - 2 альфа)=- sin( 2 альфа)

    значит sin альфа * cos 3 альфа - cos альфа * sin 3 альфа = cos (3П/2 - 2 альфа)

    Доказано

  • Докажите тождество:

    sin 105° cos 105° = - 1/4


    Решение: А вот попроще решение: $$ 105^{0}=60^{0}+45^{0} $$

    По формулам суммы аргументов получаем: $$ sin(60^0+45^0)*cos(60^0+45^0)= \\ =(sin60^0cos45^0+cos60^0sin45^0)*(cos60^0cos45^0-sin60^0sin45^0) $$

    Подставляем известные значения синусов и косинусов:

    $$ (\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2})(\frac{1}{2}\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\frac{\sqrt2}{2})=\\=\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}\frac{\sqrt2(1-\sqrt3)}{4}=\frac{2*(-2)}{16}=-\frac{1}{4} $$

  • докажите тождество (sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α)


    Решение: (sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α=1/(sin²α) 

    чтобы доказать какое-либо дождество надо одну из частей привести к другой. Мы будем рассматривать левую часть и приведем ее к виду правой:

    (sin⁴α-cos⁴α)/(sin²α)+2ctg²α = (sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

    теперь воспоьзуемся тождеством:

    sin²α+cos²α=1

    sin²α=1-cos²α

    и подставим в числителе полученное выражение:

     = (1-cos²α-cos²α)(1-cos²α+cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = (1-2cos²α)/(sin²α)+2ctg²α = 

    теперь применим, что

    ctg²α = cos²α/sin²α

    подставим:

    = (1-2cos²α)/(sin²α)+2cos²α/sin²α = (1-2cos²α+2cos²α)/(sin²α) = 1/(sin²α) - а это и есть правая часть нашего тождества. Следовательно, оно доказано.

1 2 3 > >>