тождество »

докажите тождество - страница 2

  • Докажите тождество:
    cos^4t-sin^4t=cos2t


    Решение: Раскладываем левую часть как разность квадратов:
    $$ cos^4t-sin^4t=(cos^2t)^2-(sin^2t)^2=(cos^2t-sin^2t)*(cos^2t+sin^2t) $$
    Второй множитель  по основному тригонометрическому тождеству всегда равен 1, первый равен косинусу  двойного угла по соответствующей формуле. Значит, цепочку равенств можно продолжить: $$ (cos^2t-sin^2t)*(cos^2t+sin^2t)=cos(2t)*1=cos(2t) $$, т. е. левая часть равна правой при любом t. Тождество доказано.

  • Докажите тождество
    \( \frac{sin^{2} \alpha - cos^{2} \alpha - 1 }{(cos \alpha - sin \alpha)^{2} - 1 } = ctg ( \pi + \alpha ) \)


    Решение: $$ \frac{sin^{2} \alpha - cos^{2} \alpha - 1 }{(cos \alpha - sin \alpha)^{2} - 1 } =\\= ctg ( \pi + \alpha ) \\ \\ \frac{sin^{2} \alpha - cos^{2} \alpha - 1 }{(cos \alpha - sin \alpha)^{2} - 1 }=\\ =\frac{sin^{2} \alpha - cos^{2} \alpha - sin^2\alpha-cos^2\alpha }{cos^2 \alpha -2sin\alpha cos\alpha+ sin^2 \alpha - 1 }=\\=\frac{-2cos^2\alpha}{1-2sin\alpha cos\alpha-1}=\frac{-2cos^2\alpha}{-2sin\alpha cos\alpha}= \\ \\ =\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=ctg\alpha=ctg(\pi+\alpha) $$

    frac sin alpha - cos alpha - cos alpha - sin alpha - ctg pi alpha frac sin alpha - cos alpha - cos alpha - sin alpha - frac sin alpha - cos alpha - sin alpha-cos alpha cos al...

  • Докажите тождество.sin^4a +sin^2*cos^2a cos^2a=1


    Решение: По действиям:

    Выносим sin^2a за скобки: 

    sin^4a + sin^2a*cos^2a + cos^2a = sin^2a (sin^2a+cos^2a) + cos^2a;

    Вспоминаем, что в скобках единица по основному тригонометрическому тождеству: 

    sin^2a(sin^2a+cos^2a) + cos^2a = sin^2a+cos^2a;

    и опять в скобках единица =>

    sin^2a+cos^2a=1; 1=1 тождество верно. 

  • 1) сравните значения выражения:
    cos 25п/13 tg 11п/10 и sin(-330 градусов)ctg 100 градусов
    2) докажите тождество:
    ((cos^4A-sin^4A)/(1-sinA)(1+sinA))+2tg^2A=1/cos^2A
    3) упростите выражение:
    ctg^6B-((cos^2B-ctg^2B)/sin^2B-tg^2B))
    4) докажите тождество:
    sinA-cosB/sinB+cosA=sinB-cosA/sinA+cosB


    Решение:           Решение :
    1) сравните значения выражения:
    cos 25п/13 tg 11п/10 и sin(-330 градусов)ctg 100 градусов
    cos25П/13=cos(П/13)>0
    tg11П/10=tgП/10=tg18>0
    ctg100=ctg(90+10)=-tg10<0
    sin(-330)=sin(-330+360)=sin30>0
    cos 25п/13 tg 11п/10>sin(-330 градусов)ctg 100 градусо
    2) докажите тождество:
    ((cos^4A-sin^4A)/(1-sinA)(1+sinA))+2tg^2A=1/cos^2A
    (cos^2a-sin^2a)/(1-sin^2a)+2tg^2a=(cos^2a-sin^2a)/cos^2a+2tg^2a=1+tg^2a=1/cos^2a
    3) упростите выражение:
    ctg^6B-((cos^2B-ctg^2B)/sin^2B-tg^2B))
    ctg^6b-cos^4b(sin^2b-1)/sin^4b(cos^2b-1)=ctg^6b+ctg^6b=2ctg^6b
    4) докажите тождество:
    sinA-cosB/sinB+cosA=sinB-cosA/sinA+cosB
    (sina-cosb)(sina+cosb)-(sinb-cosa)(sinb+cosa)=sin^2a-cos^2b-sin^2b+cos^2a=0.

  • Докажите тождество

    cos^2 a-sin^2 a\\cos a-sin a -tg a *cos a =cos a


    Решение: cos^2 a-sin^2 a\\cos a-sin a -tg a *cos a =cos a

    (cos a-sin a)(cos a+sin a)\(cos a-sin a) -(sin a/cos a) *cos a =cos a

    cos a+sin a-sin a =cos a
    cos a=cos a

    Cos^2a-sin^2a/cos a - sin a - tg a* cos a=

    = cos a - sin a/-tg a* cos a(сократили кос и син внизу, убрав квадраты наверху)=

    =- sin a/- tg a(сократили косинусы)=cos a(по определению tg a=sin a/cos a, => cos a=sin a/ tg a). Доказано.

  • Докажите тождество: sin^4(x)+sin^2(x)*cos^2(x)+cos^2(x)=1


    Решение: (квадрат синуса+квадрат косинуса=1 по основному тригонометрическому тождеству)

    квадрат синуса квадрат косинуса по основному тригонометрическому тождеству...

  • Докажите тождество:
    1)sin4b + 2 sin 2b/2(cos b + cos3b) = cosb tg2b
    2)2cos^2 2a + cos5a - 1/sin5a + 2cos2asin2a = ctg4,5a


    Решение: 1) (sin4β+2sin2β)/(2(cosβ+cos3β))=(sin2*2β+2sin2β)/(2(cos3β+cosβ))=
    = (2sin2β*cos2β +2sin2β)/(2*2cos2β*cosβ) =2sin2β(1+cos2β)/(4cos2β*cosβ)=
    =sin2β*2cos²β/(2cos2β*cosβ)=cosβ*tq2β.
    2) (2cos²2α +cos5α -1)/(sin5αα+2cos2αsin2α) =ctq4,5α.
     (2cos²2α +cos5α -1)/(sin5α+2cos2αsin2α) =(1+cos2*2α+cos5α-1)/(sin5α+sin2*2α) =(cos4α+cos5α)/(sin5α+sin4α)=(2cos(4α+5α)/2*cos(4α-5α)/2)/(2sin(5α+4α)/2*cos(5α-4α)/2)=(2cos4,5α*cos(α/2))/(2sin4,5α*cosα/2) =cos4,5α/sin4,5α=ctq4,5α. [ ! cos(-β) =cosβ ⇒cos(-α/2)=cosα]

  • Решить: ctg^2a - 1 = cos2a/sin^2a. Докажите тождество


    Решение: Рассмотрим левую часть тождества и приведем её к правой: 

    $$ \frac{cos^2a}{sin^2a}=\frac{cos^2a-sin^2a}{sin^2a}=\frac{cos^2a}{sin^2a}-\frac{sin^2a}{sin^2a}=ctg^2a-1 $$

    Что и требовалось доказать

    выписываем левую часть ctgaрасписываем и получаем cos( квадра) а/sin( квадра) а-1=

    (cos( квадрат) а - sin( квадрат) а) /sin( квадрат) а) =cos2a/sin ( квадрат) а)

    поясняю (cos( квадрат) а - sin( квадрат) а)=cos2a эо формула двойного угла

  • Докажите тождество cos a-cos 5а/sin 5a+sin a=tg 2a


    Решение: Числитель cos α - cos 5α. Это разность  косинусов, ее можно преобразовать в произведение -2 sin((α+5α)/2)*sin( (α-5α)/2)=-2sin3α*sin(-2α)=2sin3α*sin2α.
    Знаменатель - сумма синусов, ее тоже преобразуем в произведение
    2sin((5α+α)/2)*cos((5α-α)/2)=2sin3α*cos2α.
    Теперь дробь сокращаем на 2 sin3α, а sin2α/cos2α= tg2α/

  • Докажите тождество: cos^2 альфа - sin^2 альфа = дробному выражению 2cos^2 альфа * tg альфа/tg 2альфа. ))


    Решение: $$ cos^{2}a-sin^{2}a=\frac{2cos^{2}a*tga}{tg2a} $$

    Разберём правую часть и докажем, что она равна левой части:

    П. Ч.= $$ \frac{2cos^{2}a*tga}{tg2a}=\frac{2cos^{2}a*tga}{\frac{2tga}{1-tg^{2}a}}=cos^{2}a(1-tg^{2}a)= \\ =cos^{2}a-cos^{2}a*tg^{2}a=cos^{2}a-cos^{2}a*\frac{sin^{2}a}{cos^{2}a}=cos^{2}a-sin^{2}a $$

    Итак, Л. Ч.=П. Ч.

    Тождество доказано

<< < 12 3 4 > >>