тождество »

докажите тождество - страница 4

  • Докажите тождество
    \( \frac{cos \alpha }{1-sin \alpha } = \frac{1+sin \alpha}{cos \alpha } \)


    Решение: Домножаем обе части равенства на произведение знаменателей:
    $$ cos \alpha \cdot cos\alpha=(1+sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha) \\\\ cos^2\alpha=1-sin^2\alpha \\\\ cos^2\alpha+sin^2\alpha=1 $$
    Получили основное тригонометрическое тождество. Что и требовалось доказать.
    PS: надо бы еще указать область определения: $$ \alpha eq \frac{ \pi }{2}+\pi k \; (k \in Z) $$

  • Sin^4a+cos^4a+2sin^2a*cos^2a=1
    докажите тождество


    Решение: В левой части "сворачиваем" квадрат двучлена=(sin^2(x)+cos^2(x))^2=в скобках 1, т. е. 1^2=1. все. доказано.

    $$ sin^4 \alpha +cos^4 \alpha +2sin^2 \alpha *cos^2 \alpha =1 \\ (sin^2 \alpha)^2 +(cos^2 \alpha)^2 +2sin^2 \alpha *cos^2 \alpha =1 \\ (sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)^2 =1 \\ 1^2=1 $$ 
    ч. т. д.
    P.S. $$ sin^2 \alpha+cos^2 \alpha =1 $$
      $$ a^2+b^2+2ab=(a+b)^2 $$

  • Докажите тождество

    а) cos x cos2x cos4x = sinx/ 8 sin x

    б) sin x cos 2x = sin 4x/ 4 cos x

    в) sin x cos 2x cos 4x = sin 8x/ 8 cos x


    Решение: 1) Множим на син что делиться на син(имеем право домножить потому что син\син =1), умножим числитель и знаменатель на 2 и применим формулу синуса двойного аргумента (2sinxcosx=2sinx)
    Выходит 2 sinx cosx cos 2x cos4x

    - = 2sin2xcos2xcos4x

    2sinx -= 2sin4x cos4x

     4sinx - = sin8x 

     8sinx

    б) умножаем и делим на 4кос кс, сначала на 2 кос кс потом потом просто на 2
    2cosxsinx cos2x
    - =sin2xcos2x 

    2cosx -=*2

     2cosx - = 2sin2x cos2x

    2 - = sin4x

    4cosx -

    4cosx

    в) sinxcos2xcos4x=sin8x\8cosx

    множим и делим на 2 cosx, потом 2 раза множим и делим на 2

    2sinx cosx cos2x cos4x
    -= 2sin2x cos2x cos4x

    2cosx - = 2sin4x cos4x
     

    4cosx - = sin8x
      

    8cosx

  • Докажите тождество: cos(60+x)cosx+sin(60+x)sinx=0.5


    Решение: $$ \cos(60а+x)\cos x+\sin(60а+x)\sin x=\\=\cos(60а+x-x)=\cos60а= \frac{1}{2} $$

    cos а x cos x sin а x sin x cos а x-x cos а frac...

  • Докажите тождество
    1) 1+2sinacosa / (sina+cosa)^2 =1
    2) sin^2a-cos^2a+1 / sin^2a=2
    3) (2-sina)(2+sina)+(2-cosa)(2+cosa)=7


    Решение: $$ 3) (2-sin \alpha)(2+sin \alpha)+ (2-cos \alpha)(2+cos \alpha)=7 \\ 4-sin^{2} \alpha +4-cos^{2} \alpha =7 \\ 8-(sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha )=7 \\ 8-1=7 \\ 7=7 \ 1) \frac{1+2sin \alpha cos \alpha }{(sin \alpha +cos \alpha )^{2}}=1 \\ \frac{1+2sin \alpha cos \alpha }{(sin^{2} \alpha +2sin \alpha cos \alpha + cos^{2} \alpha )}=1 \\ \frac{1+2sin \alpha cos \alpha }{(1 +2sin \alpha cos \alpha)}=1 \\ 1=1 \\ 2) \frac{sin^{2} \alpha -cos^{2} \alpha +1}{sin^{2} \alpha } =2 \\ \frac{sin^{2} \alpha -cos^{2} \alpha +sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha}{sin^{2} \alpha } =2 \\ \frac{2sin^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha } =2 \\ 2=2 \\ $$

    1) 1+2sinacosa / (sina+cosa)^2 =(sin²a+cos²a+2sinacosa)/(sin²a+2sinacosa+cos²a)=1
    2) sin^2a-cos^2a+1 / sin^2a=(sin²a-cos²a+sin²a+cos²a)/sin²a=2sin²a/sin²a=2
    3) (2-sina)(2+sina)+(2-cosa)(2+cosa)=4-sin²a+4-cos²a=8-(sin²a+cos²a)=8-1=7

  • 1) Докажите тождество, указав область его определения:

    1+cos(b)-sin(b)-ctg(b)=(1-ctg(b)(1-sin(b))

    2) Найдите sin(a)-cos(a), если sec^2(a)+cosec^2(a)=6.25 и a(альфа) принадлежит (п; 5п/4)


    Решение: 1)  Перемножим правую часть и убедимся в ее тождественном совпадении с левой:

    1 + cosb - sinb - ctgb = 1 - ctgb - sinb + cosb.  что и треб. доказать.

    Область определения: sinb не равен 0. b не равен Пк, к прин. Z

    2) 1/cos^2(a)  +  1/sin^2(a) = 6,25

    1/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 6,25

    cosa * sina = 0,4  (берем с плюсом так как произведение синуса на косинус для угла в III четверти положительно).

    sin2a / 2 = 0,4   sin2a = 0,8

    Теперь возведем в квадрат искомое выражение, запомнив, что по знаку оно положительно(так как cosa и sina отрицательны, но cosa по модулю больше на данном промежутке).

    (sina - cosa)^2 = 1 - sin2a = 1 - 0,8 = 0,2

    Теперь извлекаем корень и берем его с плюсом:

    (sina - cosa) = кор(0,2) = (кор5)/5

    Ответ: (кор5)/5

    1. Так как ctg b = cos b/sin b, область определения будет: sin b≠0

      b≠πn, n∈Z

    Группируем левую часть и выносим общий множитель за скобки.

    (1-sin b) - (ctg b - cos b) = 1(1-sin b) - ctg b (1-sin b) = (1-ctg b)(1-sin b), что и требовалось доказать. 

    2. Преобразовываем данное равенство.

    1/cos²a + 1/sin²a = 6,25
    1/(cos²a · sin²a) = 6,25
    sin² a · cos² a = 0,16
    Учитывая данную область определения, получаем:

    sin a · сos a = 0,4 
    Используя формулу двойного угла, имеем:
    sin 2a /2 = 0,4

    sin 2a = 0,8
    1 - sin 2a = 1 - 0,8

    1 - sin 2a = 0,2

    sin² a - 2sin a cos a + cos² a = 0,2
    (sin a - cos a)² = 0,2
    Учитывая область определения, получаем:
    sin a - cos a = √(0,2) = √5 / 5
    Ответ. √5 / 5 

  • Докажите тождество:
    а) \( 2sin( \frac{ \pi }{6}+ \alpha )- \sqrt{3} sin \alpha =cos \alpha \)
    б) \( sin( \alpha + \beta )sin( \alpha - \beta )+sin ^{2} \beta =sin^2 \alpha \)
    в) \( \frac{sin( \alpha + \beta )-2sin \alpha cos \beta }{2cos \alpha cos \beta -cos( \alpha + \beta )} =tg( \beta - \alpha ) \)


    Решение: А)2sinπ/6cosa+2cosπ/6sina-√3sina=2*1/2sina+2*√3/2sina-√3sina=sina+√3sina-√3sina=
    =sina
    б)(sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasinb)+sin²b=sin²acos²b-cos²asin²b+sin²b=
    =sin²acos²b+sin²b(-cos²a+1)=sin²acos²b+sin²bsin²a=sin²a(cos²b+sin²b)=sin²a
    в)(sinacosb+cosasinb-2sinacosb)/(2cosacosb-cosacosb+sinbsina)=
    =(cosasinb-sinacosb)/(cosacosb+sinbsina)=sin(b-a)/cos(b-a)=tg(b-a)

    А sin cosa cos sina- sina sina sina- sina sina sina- sina sinaб sinacosb cosasinb sinacosb-cosasinb sin b sin acos b-cos asin b sin b sin acos b sin b -cos a sin acos b sin b...

  • Чему равен cos α, если sin α=-0,6 и <α< ? 3. Упростите выражение (sin α+cos α) +(sin α-cos α) - 2. 4. Выразите в радианной мере величины углов 60º и 144º. 5. Выразите в градусной мере величины углов и. 6. Докажите тождество 1- 7. Определите знак произведения cos 350 sin.


    Решение: 1) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и выразим из него нужную величину:

    sin²α + cos²α = 1

    cos²α = 1 - sin²α = 1 - 0.36 = 0.64

    cos a = 0.8     или       cos α = -0.8

    По условию ясно, что угол α находится в 3 четверти, где косинус отрицателен, значит,

    cos α = -0.8

    2)(sin α+cos α) +(sin α-cos α) - 2 = sin α + cos α + sin α - cos α - 2 = 2sin α - 2

    3)60° = π/3(в радианной мере)

       144° = 144 * π/180 = 144π/180 = 72π/90 = 36π/45 = 4π/5

     4)3π /4 = 3*180 / 4 = 3 * 45 = 135°

        5π / 18 = 5 * 180  /  18 = 5 * 10 = 50°

    5) Найду разность этих выражений и докажу, что она равна 0:

     1 - 1/1 + tg²a - 1/1+ctg²a = 1 - 1:1/cos²a - 1 : 1/sin²a = 1 - cos²a - sin²a = sin²a - sin²a = 0. Таким образом, раз разность обоих частей получилась равной 0, то тождество доказано.

    6)cos 350° > 0, так как 350° - угол 4 четверти, где косинус положителен.

       sin 5π/4 = sin(π + π/4) - это 3 четверть, где синус отрицателен.

    Таким образом, значение данного произвдеения меньше 0. (знак -)

  • 1. Решите неравенство и уравнения sin x < 1/2; sin 3x = 0,5; cos² x - cos x - 2 = 0
    2. Докажите тождество : sin² α(1 + ctg²α)+cos³α(1 + tg²α)= sin α + cos α
    3. Дано: cos α = -12/13, π<α< 3π/2. Вычислить sin α, tg α,ctg α


    Решение: 1) Sin x < 1/2
      π/6 + 2πk < x < 7π/6 + 2πk, k ∈Z
    2)Sin 3x = 0,5
      3x = (-1)^n arcSin0,5 + nπ, n ∈Z
      3x = (-1)^n π/6 + nπ, n ∈Z
      x = (-1)^n π /18 + nπ/3, n ∈Z
    3)Cos²x - Cos x - 2 = 0
    решаем как квадратное
    а) Cos x = 2 б) Cos x = -1
    нет решений x = π + 2πk, k ∈Z
     4)= Sin²a · 1/Sin² a + Cos²a· 1/Cos²a = 1 + 1 = 2
    5) Cos a = -12/13 a ∈ III четв.
    Sin a = -√ 1 - 144/169 = -√25/169 = -5/13
    tg a = Sin a/Cos a = 5/12
    Сtg a = 12/5 

  • \( \frac{sin2 \alpha cos4 \alpha (1+cos2 \alpha )}{(sin3 \alpha +sin \alpha )(cos3 \alpha +cos5 \alpha )}= \frac{1}{2} \)
    Докажите тождество


    Решение: $$ \sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\\ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ \frac{\sin2 \alpha \cos4 \alpha (1+\cos2 \alpha )}{(\sin3 \alpha +\sin \alpha )(\cos3 \alpha +\cos5 \alpha )}=\\= \frac{\sin2 \alpha \cos4 \alpha (\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha )}{2\sin \frac{3 \alpha + \alpha }{2}\cos \frac{3 \alpha - \alpha }{2} \cdot 2\cos \frac{3 \alpha +5 \alpha }{2} \cos \frac{3 \alpha -5 \alpha }{2} }= \\ =\frac{2\sin2 \alpha \cos4 \alpha \cos^2 \alpha }{4\sin2 \alpha \cos \alpha \cos 4 \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{2} $$

<< < 234 5 6 > >>