докажите тождество - страница 5

Докажите тождество:

cos^2(a)*(1+tg^2(a))-sin^2(a)=cos^2(a)

Решите уравнение:

a) sin(2x)=0;

б) cos(x)*cos(2x)-sin(x)*sin(2x)=0

в)sin^2(x)=-cos(2x)

sin (2x)=0

2x=пи*к

х=пи*к/2

Б

cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)=0

cos(x)cos(2x)=sin(x)sin(2x)

существуют формулы

cosAcosB=1/2(cos(A-B)+cos(A+B))

по ней

cos(x)cos(2x)=1/2(cos(x-2x)+COS(X+2X)

cos(x)cos(2x)=1/2(COS(-X)+COS(3X))

cos(x)cos(2x)=1/2(COS(X)+COS(3X)) минус в косинусе исчезает

далее по формуле

sinAsinB=1/2(cos(A-B)-cos(A+B)

по ней

sin(x)sin(2x)=1/2(cos(x)-cos(3x))

получаем 

1/2(COS(X)+COS(3X))=1/2(cos(x)-cos(3x)) делим на 1/2

(COS(X)+COS(3X)=(cos(x)-cos(3x))

теперь по формулам сумма и разность косинусов

2cos(2x)cos(x)=-2sin(2x)sin(-x) и выносим минус

2cos(2x)cos(x)=2sin(2x)sin(x) делим на 2

cos(2x)cos(x)=sin(2x)sin(x)

cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=0

cos(2x)cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x) раскрыли синус по формуле двойного угла и вынесем общий косинус

cos(x)(cos(2x)-2sin(x)sin(x))=0

cos(x)=0 

х=пи/2 +пи*к

И

cos(2x)-2sin(x)sin(x)=0 раскроем косинус по формуле двойного угла

(1-2sin^2(x))-2sin^2(x)=0

1-4sin^2(x)=0

-4sin^2(x)=-1

sin^2(x)=1/4

sin(x)=1/2 И sin(x)=-1/2

x=пи/6+2пи*к

х=5пи/6+2пи*к

х=7пи/6+2пи*к

х=11пи/6+2пи*к

Ответ:

x=пи/6+2пи*к

х=5пи/6+2пи*к

х=7пи/6+2пи*к

х=11пи/6+2пи*к

х=пи/2 +пи*к

1. Дано: \( sin\alpha=-\frac{4}{5}, 180^{0}<\alpha<270^{0}. \)

Найдите \( cos\alpha \) и \( ctg\alpha \)

2. Докажите тождество:

\( tg\alpha + ctg\alpha = \frac{1}{cos\alpha*sin\alpha} \)

1. Докажите тождество
\( \sqrt{2} cos \) \( ( \alpha + \frac{ \pi }{4}) \) = \( cos \alpha - sin \alpha \)
2. Вычислите sin 165
3. Зная, что cost = \( \frac{8}{17} \), \( \frac{3 \pi }{2} \)< t <\( 2 \pi \), вычислите cos \( ( \frac{3 \pi }{4} + t) \)
4. Упростите выражение
\( sin( \frac{ \pi }{3} - \alpha ) + cos( \frac{ \pi }{6} - \alpha ) \)
5. Решите уравнения:
а) cos7xcos2x+sin7xsin2x=\( \frac{1}{3} \)
б)cosx - \( \sqrt{3} \)

1) cosa-sina=sin(П/2-a)-sina=2cosп/4sin(П/4-a)=sqrt(2)cos(П/2-(П/4-a))=sqrt(2)cos(a+п/4)
2) sin165=sin(180-15)=sin15=sin(45-30)=sqrt(2)/2*sqrt(3)/2-1/2*sqrt(2)/2=(sqrt(6)-sqrt(2))/4
3) cos(3П/4+t)=cos3П/4cost-sin3П/4sint=-sqrt(2)/2*8/17-[-15/17*sqrt(2)/2]=
15sqrt(2)/34-8sqrt(2)/34=7sqrt(2)/34
sint=sqrt(1-64/289)=-15/17
4)sin(П/3-a)+cos(П/6-a)=sqrt(3)/2cosa-1/2sina+sqrt(3)/2cosa+1/2sina=sqrt(3)cosa
5)cos5x=1/3
5x=arccos1/3+2Пk
x=1/5arccos1/3+2Пk/5
cosx-sqrt(3)sinx=1
1/2cosx-sqrt(3)/2sinx=1/2
sin(П/6-x)=1/2
П/6-x=П/6+2Пk  x=2Пk
П/6-x=5П/6+2Пk
x=-2П/3+2Пk

A)cos15cos75
b)(cos pi/8+sin pi/8)x(cos^3 pi/8-sin^3 pi/8)
Докажите тождество
1+tga tg2a=1/cos2a

Докажите тождество:
tgatgb+(tga+tgb)ctg(a+B)=1
вычислите:
(cosП/12-sinП/12)*(cos^3П/12+sin^3П/12)
Известно, что cosA=2/корень из 5 и 0Упростите выражение:
cosA/(ctg A/2)-sinA
Докажите тождество:
ctgA-ctg2A=1/sin2A

Докажите тождество\( \frac{tg ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha }{ctg ^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha } =tg ^{2} \alpha \)

Докажите тождество
cos^4a(1+tg^2a)+sin^2a=1

Вариант 2
1. Вычислите: a) cos180°+ 4tg 45°; б) 3 cos π/2 - 2sin π/6
2. Упростите выражение: а)1- ctgα*cosα*sinα
3. Найдите sin и tg, если известно, что cos=8/17 и 3π/2<α< 2π.
4. Упростите выражение:.
1/ctgα + cosα/1+sinα
5. Докажите тождество:
1/cosβ - cosβ = cosβ * tgβ.

1. Дано: sinα=-0,6 и π<α<\( \frac{3 \pi }{4} \). Найдите: а) cosα; б) cos(\( \frac{\pi }{3} \)-α).
2. Дано: cosα=-\( \frac{15}{17} \) и \( \frac{ \pi }{2}\ \ \alpha \ \ \pi \). Найдите: а) sinα; б) sin(\( \frac{ \pi }{3} + \alpha \))
3. Докажите тождество \( \frac{2sin^{2} \alpha ctg \alpha }{cos^{2} \alpha -sin^{2} \alpha } =tg2 \alpha \)

Докажите тождество:
\( sin^{2}( \alpha + \beta )=\\= sin^{2} \alpha +sin^{2} \beta +2sin \alpha sin \beta cos( \alpha + \beta ) \)