докажите тождество - страница 7
Докажите тождество: (1+sinx+cosx)/(1+sinx-cosx)=cos (x/2)
Решение: Тождество неверное.
Рассмотрим левую часть тождества.
1) Рассмотрим числитель: 1+sinx+cosx с помощью формул двойного угла можно с легкостью разложить на 2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))
2) Рассмотрим знаменатель: 1+sinx - cosx опять таки, аналогично числителю по формулам двойного угла. Получаем: 2sin(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))
Откуда видим, что в левой части тождества получается ctg (x/2)
Также можно с легкостью на примере угла П/2 доказать, что тождество не верно.докажите тождество
1. 2 cos40° - cos20° / sin20° = √3
2. 2 cos80° + cos40° / sin40° = √3
Решение: 1)(-2*sin(5*пи/9)+%i*(2*cos(5*пи/9)-3*sin(4*пи/9)+4*cos(4*пи/9)+ 3*sin(2*пи/9)+2*cos(2*пи/9)+ 3*sin(пи/9)-2*cos(пи/9))-4*sin(4*пи/9)-3*cos(4*пи/9)-2*sin(2*пи/9)+3*cos(2*пи/9)+ 2*sin(пи/9)+3*cos(пи/9)-корень(3))/3 = корень(3)
2) -(i(3*sin(5*пи/9)+4*cos(5*пи/9)- 3*sin(4*пи/9)+2*cos(4*пи/9)-2*cos(2*пи/9)+ 2*cos(пи/9))-4*sin(5*пи/9)+3*cos(5*пи/9)- 2*sin(4*пи/9)-3*cos(4*пи/9)+ 2*sin(2*пи/9)-2*sin(пи/9)+корень(3))/3 = корень(3)
Докажите тождество Cos2x/1+cos2x=tgx/tg2x
Решение: $$ \frac{cos2x}{1+cos2x}=\frac{tgx}{tg2x} $$
Преобразуем правую часть в левую:
$$ \frac{tgx}{tg2x}=\frac{sinx*cos2x}{cosx*sin2x}=\frac{sinx*cos2x}{cosx*2sinx*cosx}=\frac{cos2x}{2cos^{2}x}=\frac{cos2x}{1+cos2x} $$
Использовались формулы:
1) $$ tgx= \frac{sinx}{cosx} $$
2) $$ cos2x=2cos^{2}x-1 $$, из нее следует формула: $$ 2cos^{2}x=1+cos2x $$
3) $$ sin2x=2sinx*cosx $$Докажите тождество(равенство): (1- cos2a +sin2a) / (1+ cos2a + sin2a) = tga
Решение: Выражение: (1-cos(2*x)+sin(2*x))/(1+cos(2*x)+sin(2*x))=t*g*a
Ответ: 1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)-t*g*a=0
Решаем по действиям:
1. (1-cos(2*x)+sin(2*x))/(1+cos(2*x)+sin(2*x))=1+(-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))
2. 1+(-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))=1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)
Решаем по шагам:
1. 1+(-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))-t*g*a=0
1.1. (1-cos(2*x)+sin(2*x))/(1+cos(2*x)+sin(2*x))=1+(-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))
2. 1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)-t*g*a=0
2.1. 1+(-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))=1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)
Решаем уравнение 1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)-t*g*a=0:
Тестовая функция, правильность не гарантируется
Решаем относительно g:
g=-(-1+2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))/t/a=(1-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1))/t/a=(1/t-2*cos(2*x)/(sin(2*x)+cos(2*x)+1)/t)/a=(1/t-2*cos(2*x)/(sin(2*x)*t+cos(2*x)*t+t))/a=1/t/a-2*cos(2*x)/(sin(2*x)*t+cos(2*x)*t+t)/a=1/t/a-2*cos(2*x)/(sin(2*x)*t*a+cos(2*x)*t*a+t*a).
Докажите тождество 1\sinX-sinX=cosX×ctgX
Решение: Так как это тождество, то нам можно разобрать либо левую часть, либо правую.
И вот что получилось:
(см. приложение)
Левая часть равна правой.
Что и требовалось доказать.
Докажите тождество ((1+tan(2a))*(cos(pi/4)+2a))/(1-tan(2a))=cos((pi/4)-2a)
Решение: Проведем тождественное преобразование:
$$ \dfrac{1+tg2a}{1-tg2a}=\dfrac{cos( \frac{ \pi }{4}-2a) }{cos( \frac{ \pi }{4}+2a)} $$
Доказав, что данное тождество верно, таким образом, докажем, что и исходное тождество также верно.
$$ \dfrac{1+\frac{sin2a}{cos2a}}{1-\frac{sin2a}{cos2a}}=\dfrac{cos\frac{ \pi }{4}cos2a+sin \frac{ \pi }{4}sin2a }{cos\frac{ \pi }{4}cos2a-sin \frac{ \pi }{4}sin2a} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a+\frac{ \sqrt{2}}{2} sin2a }{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a-\frac{ \sqrt{2}}{2}sin2a} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a+sin2a) }{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a-sin2a)} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a} $$
Левая и правая части равны - тождество доказано.
Следовательно, доказано и исходное тождество.Докажите тождество:
\( \frac{1-cos2t+sin2t}{1+cos2t+sin2t}\cdot tg(\frac{\pi}{2}-t)=1 \)
Решение: Вместо t в решении написано x:
Докажите тождество
cosx=1-tg^2*x/2 дробь 1+tg^2*x/2
Решение: $$ cos(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)(1+tg^2(\frac{x}{2}))=1-tg^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(1+(\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})})^2)=1-(\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})})^2 \\ cos(x)(1+\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})})=1-\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)\frac{cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}=1-\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ \frac{cos(x)(cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2}))}{cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)(cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2}))=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(\frac{1+cos(x)}{2}+\frac{1-cos(x)}{2})=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}+\frac{1}{2}-\frac{cos(x)}{2})=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)=\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}+\frac{cos(x)}{2}-\frac{1}{2} \\ cos(x)=cos(x) $$
Cos20 градусов * cos40градусов * cos60градусов * cos80градусов = 1/16. Докажите тождество
Решение: умножим и разделим на sin20 градусовполучим:
(2*1/2*sin20*cos20*cos40*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/2*1/2*2*sin40*cos40*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/4sin80*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/8*sin160*cos60)/sin20=1/16
(1/8*sin20*1/2)/sin20=1/16
1/16=1/16
сos20°·cos40°·cos60°·cos80° = 1/16
сos20°·cos40°·cos60°·cos80° = 1/16
cos60° = 1/2
1/2 · (сos20°·cos40°·cos80°) = 1/16
1/2 · (сos20°·cos40°)·cos80° = 1/16
1/2 · 1/2 ·(сos60° + cos20°)·cos80° = 1/16
1/4 (сos60° + cos20°)·cos80° = 1/16
1/4 · (сos60°·cos80° + cos20°·cos80°) = 1/16
1/4 · (1/2 ·cos80° + 1/2 ·(cos60° + cos100°) = 1/16
1/8 · (cos80° + cos60° + cos100°) = 1/16
1/8 · (cos (90° - 10°) +1/2 + cos(90°+10°)) = 1/16
1/8 · (sin10° +1/2 - sin10°) = 1/16
1/8 · 1/2 = 1/16
1/16≡ 1/16
тождество доказано
(cosx+sinx)/cosx-sinx = tg2x+cos^-1(2x) докажите тождество
Решение: $$ \frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}=tg2x+cos^{-1}2x $$Будем работать с правой часть уравнения
$$ tg2x+cos^{-1}2x=\frac{sin2x}{cos2x} + \frac{1}{cos2x}=\\=\frac{sin2x+1}{cos2x}=\frac{cos^2x+sin^2x+2sinxcosx}{cos^2-sin^2}=\\=\frac{(cosx+sinx)^{2}}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}=\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx} $$
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = tg2x + 1/cos2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = sin2x/cos 2x + 1/cos2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sin2x + 1)/cos 2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sin2x + sin²x + cos²x)/cos 2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)²/(cos²x - sin²x)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)·(sinx + cosx)/(cosx - sinx)(sinx + cosx)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)/(cosx - sinx)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) ≡ ( cosx + sinx)/(cosx - sinx)
