докажите тождество - страница 9
Докажите тождество:
cos^2(a)*(1+tg^2(a))-sin^2(a)=cos^2(a)
Решите уравнение:
a) sin(2x)=0;
б) cos(x)*cos(2x)-sin(x)*sin(2x)=0
в)sin^2(x)=-cos(2x)
Решение: Аsin (2x)=0
2x=пи*к
х=пи*к/2
Б
cos(x)cos(2x)-sin(x)sin(2x)=0
cos(x)cos(2x)=sin(x)sin(2x)
существуют формулы
cosAcosB=1/2(cos(A-B)+cos(A+B))
по ней
cos(x)cos(2x)=1/2(cos(x-2x)+COS(X+2X)
cos(x)cos(2x)=1/2(COS(-X)+COS(3X))
cos(x)cos(2x)=1/2(COS(X)+COS(3X)) минус в косинусе исчезает
далее по формуле
sinAsinB=1/2(cos(A-B)-cos(A+B)
по ней
sin(x)sin(2x)=1/2(cos(x)-cos(3x))
получаем
1/2(COS(X)+COS(3X))=1/2(cos(x)-cos(3x)) делим на 1/2
(COS(X)+COS(3X)=(cos(x)-cos(3x))
теперь по формулам сумма и разность косинусов
2cos(2x)cos(x)=-2sin(2x)sin(-x) и выносим минус
2cos(2x)cos(x)=2sin(2x)sin(x) делим на 2
cos(2x)cos(x)=sin(2x)sin(x)
cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=0
cos(2x)cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x) раскрыли синус по формуле двойного угла и вынесем общий косинус
cos(x)(cos(2x)-2sin(x)sin(x))=0
cos(x)=0
х=пи/2 +пи*к
И
cos(2x)-2sin(x)sin(x)=0 раскроем косинус по формуле двойного угла
(1-2sin^2(x))-2sin^2(x)=0
1-4sin^2(x)=0
-4sin^2(x)=-1
sin^2(x)=1/4
sin(x)=1/2 И sin(x)=-1/2
x=пи/6+2пи*к
х=5пи/6+2пи*к
х=7пи/6+2пи*к
х=11пи/6+2пи*к
Ответ:
x=пи/6+2пи*к
х=5пи/6+2пи*к
х=7пи/6+2пи*к
х=11пи/6+2пи*к
х=пи/2 +пи*к
1. Дано: \( sin\alpha=-\frac{4}{5}, 180^{0}<\alpha<270^{0}. \)
Найдите \( cos\alpha \) и \( ctg\alpha \)
2. Докажите тождество:
\( tg\alpha + ctg\alpha = \frac{1}{cos\alpha*sin\alpha} \)
Решение: 1. $$ cos \alpha = \sqrt{1-sin^2 \alpha }= \sqrt{1- \frac{16}{25} }= \sqrt{ \frac{9}{25} } =- \frac{3}{5} $$ тк угол находится в 3 четверти
$$ ctg \alpha = \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = -\frac{4}{5} :(- \frac{3}{5} )= \frac{4}{3} $$
2. $$ \frac{sin \alpha }{cos \alpha }+ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{1}{sin \alpha cos \alpha } \\ \frac{sin^2 \alpha +cos^2 \alpha }{sin \alpha cos \alpha } = \frac{1}{sin \alpha cos \alpha } \\ \frac{1}{sin \alpha cos \alpha } =\frac{1}{sin \alpha cos \alpha } $$
1. Докажите тождество
\( \sqrt{2} cos \) \( ( \alpha + \frac{ \pi }{4}) \) = \( cos \alpha - sin \alpha \)
2. Вычислите sin 165
3. Зная, что cost = \( \frac{8}{17} \), \( \frac{3 \pi }{2} \)< t <\( 2 \pi \), вычислите cos \( ( \frac{3 \pi }{4} + t) \)
4. Упростите выражение
\( sin( \frac{ \pi }{3} - \alpha ) + cos( \frac{ \pi }{6} - \alpha ) \)
5. Решите уравнения:
а) cos7xcos2x+sin7xsin2x=\( \frac{1}{3} \)
б)cosx - \( \sqrt{3} \)
Решение: Решение:
Смотри вложение :.
1) cosa-sina=sin(П/2-a)-sina=2cosп/4sin(П/4-a)=sqrt(2)cos(П/2-(П/4-a))=sqrt(2)cos(a+п/4)
2) sin165=sin(180-15)=sin15=sin(45-30)=sqrt(2)/2*sqrt(3)/2-1/2*sqrt(2)/2=(sqrt(6)-sqrt(2))/4
3) cos(3П/4+t)=cos3П/4cost-sin3П/4sint=-sqrt(2)/2*8/17-[-15/17*sqrt(2)/2]=
15sqrt(2)/34-8sqrt(2)/34=7sqrt(2)/34
sint=sqrt(1-64/289)=-15/17
4)sin(П/3-a)+cos(П/6-a)=sqrt(3)/2cosa-1/2sina+sqrt(3)/2cosa+1/2sina=sqrt(3)cosa
5)cos5x=1/3
5x=arccos1/3+2Пk
x=1/5arccos1/3+2Пk/5
cosx-sqrt(3)sinx=1
1/2cosx-sqrt(3)/2sinx=1/2
sin(П/6-x)=1/2
П/6-x=П/6+2Пk x=2Пk
П/6-x=5П/6+2Пk
x=-2П/3+2Пk
A)cos15cos75
b)(cos pi/8+sin pi/8)x(cos^3 pi/8-sin^3 pi/8)
Докажите тождество
1+tga tg2a=1/cos2a
Решение: А) cos15 cos75 = cos15 cos(90-15) = cos15 sin15 = 2sin15 cos15 =
2
= sin(2*15) = sin30 = 1 = 1/4
2 2 2*2
б) (cos(π/8) + sin(π/8)) (cos³(π/8) - sin³(π/8)) =
=(cos(π/8) + sin(π/8))(cos(π/8) - sin(π/8))(cos²(π/8)+cos(π/8) *sin(π/8)+sin²(π/8))= =(cos²(π/8) - sin²(π/8)) (1 + 2sin(π/8) cos(π/8)) =
2
= cos(2 * (π/8)) * (1 + sin(2 * (π/8))) =
2
= cos(π/4) * (1 + sin(π/4)) =
2
= √2 ( 1 + √2 ) = √2 (4 + √2) = 4√2 + 2 = 2 (2√2 + 1) = 2√2 +1
2 2*2 2 4 2*4 2*4 4
в) 1+tgα tg2α = 1
cos2α
1+tgα tg2α = 1 + sinα * sin2α = 1 + sinα * 2sinα cosα =
cosα cos2α cosα cos2α
= 1 + 2sin²α = cos2α + 2sin²α = cos²α - sin²α + 2sin²α =
cos2α cos2α cos2α
= cos²α + sin²α = 1
cos2α cos2α
1 = 1
cos2α cos2α
Что и требовалось доказать.Докажите тождество:
tgatgb+(tga+tgb)ctg(a+B)=1
вычислите:
(cosП/12-sinП/12)*(cos^3П/12+sin^3П/12)
Известно, что cosA=2/корень из 5 и 0
cosA/(ctg A/2)-sinA
Докажите тождество:
ctgA-ctg2A=1/sin2A
Решение: Решение:
Докажите тождество:
tgatgb+(tga+tgb)ctg(a+B) = 1
sinasinb/(cosacosb)+sin(a+b)/cosacosb*cos(a+b)/sin(a+b) = sinasinb/cosacosb+cos(a+b)/cosacosb = (sinasinb+cosacosb-sinasinb)/coscosb = 1
вычислите:
(cosП/12-sinП/12)*(cos^3П/12+sin^3П/12)=(cos^2П/12-sin^2П/12)(1-0,5sinП/6)=sqrt(3)/2*3/4=3sqrt(3)/8
Упростите выражение:
cosA/(ctg A/2)-sinA=cosa(1-cosa)/sina-sina=(cosa-1)/sina=-2sin^2a/2/sina=-sina/2/cosa/2=-tga/2
Докажите тождество:
ctgA-ctg2A=1/sin2A
ctga-(ctga-tga)/2=(ctga+tga)/2=(sina/cosa+cosa/sina)/2=(sin^2a+cos^2a)/2sinacosa=1/sin2a.
