тождество »

докажите тождество - страница 8

  • Докажите тождество
    соs2x+tg^2x*cos2x-1=-tg^2x


    Решение: $$ cos(2x)+tg^2(x)*cos(2x)-1=-tg^2(x) \\ cos(2x)++cos(2x)*(\frac{sin(x)}{cos(x)})^2-1=-(\frac{sin(x)}{cos(x)})^2 \\ cos(2x)+\frac{cos(2x)sin^2(x)}{cos^2(x)}=-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} \\ \frac{cos(2x)sin^2(x)+cos^2(x)cos(2x)-cos^2(x)}{cos^2(x)}=-\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} \\ cos(2x)sin^2(x)+cos^2(x)cos(2x)-cos^2(x)=-sin^2(x) \\ (1-2sin^2x)sin^2x+(1-sin^2x)(1-2sin^2x)-(1-sin^2x)=-sin^2x \\ sin^2x-2sin^4x+1-3sin^2x+2sin^4x+sin^2x-1=-sin^2x \\ -sin^2x=-sin^2x $$

  • 1-cost/1+cost=tg^2t/2
    Докажите тождество


    Решение: $$ \frac{1-cost}{1+cost}= \frac{1-cos(2* \frac{t}{2} )}{1+cos(2* \frac{t}{2} )}= \frac{1-(cos^2( \frac{t}{2} )-sin^2( \frac{t}{2} ))}{1+cos^2( \frac{t}{2} )-sin^2( \frac{t}{2} )}= \\ \\ = \frac{1-cos^2( \frac{t}{2} )+sin^2( \frac{t}{2} )}{1+cos^2( \frac{t}{2} )-sin^2( \frac{t}{2} )}= \frac{sin^2( \frac{t}{2} )+sin^2( \frac{t}{2} )}{cos^2( \frac{t}{2} )+cos^2( \frac{t}{2} )}= \\ \\ = \frac{2sin^2( \frac{t}{2} )}{2cos^2( \frac{t}{2} )}=tg^2( \frac{t}{2} ) \\ \\ \\ \\ tg^2( \frac{t}{2} )=tg^2( \frac{t}{2} ) $$
    Что и требовалось доказать.

  • Докажите тождество 1) ctgα/tgα+1=1/sin²α 2) ctg²α -cos²α=ctg²α*cos²α


    Решение: 1) Преобразуем левую часть

    =cos(a)\sin(a) : sin(a)\cos(a) +1 = cos^{2}(a)\sin^{2}(a) + 1 = (cos^{2}+sin^{2})\sin^{2}(a) = 1\sin^{2)(a)

    Левая часть равна правой. Тождество доказано.

    2) Также преобразуем левую часть.

    =cos^{2}(a)\sin^{2}(a) - cos^{2}(a)= (cos^{2}(a)(1-sin^{2}(a))\sn^{2}(a) = ctg^{2}(a) * cos^{2}(a)

    Левая часть равна правой. Тождество доказано.

  • Докажите тождество 1+tg (П/2-a)*ctg (2П-a)*cos (3П/2+a)*tg (2П+a)=2sin^2a/2


    Решение:

    1+ctga*(-ctga)*sina*tga=1-cosa/sina *sina=1-cosa
    2sin²(a/2)=1-cosa
    1-cosa=1-cosa

    ctga -ctga sina tga -cosa sina sina -cosa sin a -cosa -cosa -cosa...

  • Упоростите выражение 1- sin2tcost / 2sint Решите уравнение sin5x = sin3x Докажите тождество 2cos^2(45©+4a)+sin8a=1 Вычислите cos70©+sin140© - cos10©


    Решение: 1- sin2tcost / 2sint= 1 -2sintcostcost/2sint=1 -cos^2t=sin^2t

     sin5x = sin3x sin5x -sin3x=0 2sinxcos4x=0

    sinx=0 x=pi n, neZ

    cos4x=0 4x=pi/2+pi k x=pi/8+1/4pi k, keZ

    cos70©+sin140© - cos10©=cos(90-20)+sin(180-40)+cos10=sin20+sin40+cos10=

    =2sin30cos10+cos10=2*1/2*cos10+cos10=2cos10

     2cos^2(45©+4a)+sin8a=1

     2cos^2(45©+4a)-1= -sin8a

    cos2{(45©+4a)}=cos(90+8a)= - sin8a

  • (1+tg a)^2+(1-tg a)^2 = 2/cos^2 a докажите тождество


    Решение: 1+2tga+tg^2a+1-2tga+tg^2a=2/cos^2a

    2+2tg^2a=2/cos^2a

    2(1+tg^2a)=2/cos^2a

    2((cos^2a+sin^2a)/cos^2a=2/cos^2a

    tga tg a - tga tg a cos a tg a cos a tg a cos a cos a sin a cos a cos a...

  • Докажите тождества:

    1)2sin 2альфа sinальфа + cos3альфа = cosальфа;

    2) sinальфа - 2sin(альфа/2 - 15градусов) * cos(альфа/2+15градусов) = 1/2;

    3) sinальфа/2-2sin(альфа/4-30градусов) * cos(альфа/4+30градусов) = корень из трех/2.


    Решение: 2sin2альфа * sinальфа + cos3альфа = cosальфа

    4sinальфа * cosальфа * sinальфа+cos(альфа+2альфа) = cosальфа

    4sin^2альфа * cosальфа+cosальфа * cos2альфа-sinальфа * sin2альфа = cosальфа

     4sin^2альфа * cosальфа+cos (1-sin^2альфа)-2sin^2альфа * cosальфа=cosальфа

    4sin^2альфа * cosальфа+cosальфа-2sin^2альфа * cosальфа-2sin^2альфа * cosальфа = cosальфа

    cosальфа=cosальфа 

  • (1-tg^2t)cos^2t
    Докажите тождества
    1-sinα=2sin^2(45°-α/2)
    sin^2(3π/4+2t)=1-sin4t/2
    p.s / знак дроби


    Решение: (1-tg²t)·cos²t=cos²t-sin²tcos²t/cos²t=cos²t-sin²t=cos2t;
    1-sinα=2sin²(45⁰-α/2);
    2sin²(45-α/2)=2(sin45⁰·cosα/2-cos45⁰·sinα/2)²=
    =2·(√2/2·cosα/2-√2/2·sinα/2)²=2·2/4(cosα/2-sinα/2)²=
    =(cosα/2-sinα/2)²=cos²α/2-2cosα/2·sinα/2+sin²α/2=1-sinα;
    sin²(3π/4+2t)=1-sin4t/2;
    sin²(3π/4+2t)=(sin(3π/4)·cos2t+cos(3π/4)·sin2t)²=
    =(sin(π-π/4)·cos2t+cos(π-π/4)·sin2t)²=
    =(sinπ/4·cos2t+(-cosπ/4)·sin2t)²=
    =(√2/2cos2t-√2/2sin2t)²=2/4(cos²2t-2sin2t·cos2t+sin²2t)=
    =1/2(1-sin4t);

  • Докажите тождества
    а) \( \frac{cos2a}{1+sin2a} = \frac{1-tga}{1+ tga} \)
    б)\( 2cos(45 ^{\circ} +a)*cos(45 ^{\circ} - a) = cos 2a \)


    Решение: $$ a)\ \frac{\cos2 \alpha }{1+\sin2 \alpha }=\frac{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha }{\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )}{(\cos \alpha +\sin \alpha )^2}=\\\\=\frac{\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha })}{\cos \alpha (1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha })}=\frac{1-tg \alpha }{1+tg \alpha }; \\ b)\ 2\cos(45^\circ+ \alpha )\bullet\cos(45^\circ- \alpha )=\\\\2\bullet\frac{1}{2}(\cos((45^\circ+ \alpha) -(45^\circ- \alpha ))+\cos(45^\circ+ \alpha +45^\circ- \alpha ))=\\\\\cos2 \alpha +\cos90^\circ=\cos2 \alpha +0=\cos2 \alpha. $$

  • Докажите тождества:

    а) sin^4 + sin^2cos^2=1-cos^2

    б)(tg - sin)*(cos^2 ДРОБЬ sin + ctg)=sin^2


    Решение: sin^4 + sin^2cos^2=вынося общий множитель=sin^2*(sin^2+cos^2)=

    используя основное тригонометрическое тождество=sin^2*1=sin^2

    =используя основное тригонометрическое тождество=1-cos^2

    доказано


    (tg - sin)*(cos^2 ДРОБЬ sin + ctg)=используя tg x=sin x/cos x, ctg x=cos x/sin x, вынося общий множитель и основное тригонометрическое тождество и формулу разности квадратов

    (sin x/cos x-sin x)*(cos^2 x/sin x +cos x/sin x))=

    =sin x*(1-cos x)/cos x *cos x*(cos x+1)/sin x=1-cos^2 x=sin^2 x

<< < 678 9 10 > >>