докажите тождество - страница 8
1) Докажите тождество, указав область его определения:
1+cos(b)-sin(b)-ctg(b)=(1-ctg(b)(1-sin(b))
2) Найдите sin(a)-cos(a), если sec^2(a)+cosec^2(a)=6.25 и a(альфа) принадлежит (п; 5п/4)
Решение: 1) Перемножим правую часть и убедимся в ее тождественном совпадении с левой:1 + cosb - sinb - ctgb = 1 - ctgb - sinb + cosb. что и треб. доказать.
Область определения: sinb не равен 0. b не равен Пк, к прин. Z
2) 1/cos^2(a) + 1/sin^2(a) = 6,25
1/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 6,25
cosa * sina = 0,4 (берем с плюсом так как произведение синуса на косинус для угла в III четверти положительно).
sin2a / 2 = 0,4 sin2a = 0,8
Теперь возведем в квадрат искомое выражение, запомнив, что по знаку оно положительно(так как cosa и sina отрицательны, но cosa по модулю больше на данном промежутке).
(sina - cosa)^2 = 1 - sin2a = 1 - 0,8 = 0,2
Теперь извлекаем корень и берем его с плюсом:
(sina - cosa) = кор(0,2) = (кор5)/5
Ответ: (кор5)/5
1. Так как ctg b = cos b/sin b, область определения будет: sin b≠0
b≠πn, n∈Z
Группируем левую часть и выносим общий множитель за скобки.
(1-sin b) - (ctg b - cos b) = 1(1-sin b) - ctg b (1-sin b) = (1-ctg b)(1-sin b), что и требовалось доказать.
2. Преобразовываем данное равенство.
1/cos²a + 1/sin²a = 6,25
1/(cos²a · sin²a) = 6,25
sin² a · cos² a = 0,16
Учитывая данную область определения, получаем:sin a · сos a = 0,4
Используя формулу двойного угла, имеем:
sin 2a /2 = 0,4sin 2a = 0,8
1 - sin 2a = 1 - 0,81 - sin 2a = 0,2
sin² a - 2sin a cos a + cos² a = 0,2
(sin a - cos a)² = 0,2
Учитывая область определения, получаем:
sin a - cos a = √(0,2) = √5 / 5
Ответ. √5 / 5Докажите тождество:
а) \( 2sin( \frac{ \pi }{6}+ \alpha )- \sqrt{3} sin \alpha =cos \alpha \)
б) \( sin( \alpha + \beta )sin( \alpha - \beta )+sin ^{2} \beta =sin^2 \alpha \)
в) \( \frac{sin( \alpha + \beta )-2sin \alpha cos \beta }{2cos \alpha cos \beta -cos( \alpha + \beta )} =tg( \beta - \alpha ) \)
Решение: А)2sinπ/6cosa+2cosπ/6sina-√3sina=2*1/2sina+2*√3/2sina-√3sina=sina+√3sina-√3sina=
=sina
б)(sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasinb)+sin²b=sin²acos²b-cos²asin²b+sin²b=
=sin²acos²b+sin²b(-cos²a+1)=sin²acos²b+sin²bsin²a=sin²a(cos²b+sin²b)=sin²a
в)(sinacosb+cosasinb-2sinacosb)/(2cosacosb-cosacosb+sinbsina)=
=(cosasinb-sinacosb)/(cosacosb+sinbsina)=sin(b-a)/cos(b-a)=tg(b-a)
Чему равен cos α, если sin α=-0,6 и <α< ? 3. Упростите выражение (sin α+cos α) +(sin α-cos α) - 2. 4. Выразите в радианной мере величины углов 60º и 144º. 5. Выразите в градусной мере величины углов и. 6. Докажите тождество 1- 7. Определите знак произведения cos 350 sin.
Решение: 1) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и выразим из него нужную величину:sin²α + cos²α = 1
cos²α = 1 - sin²α = 1 - 0.36 = 0.64
cos a = 0.8 или cos α = -0.8
По условию ясно, что угол α находится в 3 четверти, где косинус отрицателен, значит,
cos α = -0.8
2)(sin α+cos α) +(sin α-cos α) - 2 = sin α + cos α + sin α - cos α - 2 = 2sin α - 2
3)60° = π/3(в радианной мере)
144° = 144 * π/180 = 144π/180 = 72π/90 = 36π/45 = 4π/5
4)3π /4 = 3*180 / 4 = 3 * 45 = 135°
5π / 18 = 5 * 180 / 18 = 5 * 10 = 50°
5) Найду разность этих выражений и докажу, что она равна 0:
1 - 1/1 + tg²a - 1/1+ctg²a = 1 - 1:1/cos²a - 1 : 1/sin²a = 1 - cos²a - sin²a = sin²a - sin²a = 0. Таким образом, раз разность обоих частей получилась равной 0, то тождество доказано.
6)cos 350° > 0, так как 350° - угол 4 четверти, где косинус положителен.
sin 5π/4 = sin(π + π/4) - это 3 четверть, где синус отрицателен.
Таким образом, значение данного произвдеения меньше 0. (знак -)
1. Решите неравенство и уравнения sin x < 1/2; sin 3x = 0,5; cos² x - cos x - 2 = 0
2. Докажите тождество : sin² α(1 + ctg²α)+cos³α(1 + tg²α)= sin α + cos α
3. Дано: cos α = -12/13, π<α< 3π/2. Вычислить sin α, tg α,ctg α
Решение: 1) Sin x < 1/2
π/6 + 2πk < x < 7π/6 + 2πk, k ∈Z
2)Sin 3x = 0,5
3x = (-1)^n arcSin0,5 + nπ, n ∈Z
3x = (-1)^n π/6 + nπ, n ∈Z
x = (-1)^n π /18 + nπ/3, n ∈Z
3)Cos²x - Cos x - 2 = 0
решаем как квадратное
а) Cos x = 2 б) Cos x = -1
нет решений x = π + 2πk, k ∈Z
4)= Sin²a · 1/Sin² a + Cos²a· 1/Cos²a = 1 + 1 = 2
5) Cos a = -12/13 a ∈ III четв.
Sin a = -√ 1 - 144/169 = -√25/169 = -5/13
tg a = Sin a/Cos a = 5/12
Сtg a = 12/5\( \frac{sin2 \alpha cos4 \alpha (1+cos2 \alpha )}{(sin3 \alpha +sin \alpha )(cos3 \alpha +cos5 \alpha )}= \frac{1}{2} \)
Докажите тождество
Решение: $$ \sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\\ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \\ \frac{\sin2 \alpha \cos4 \alpha (1+\cos2 \alpha )}{(\sin3 \alpha +\sin \alpha )(\cos3 \alpha +\cos5 \alpha )}=\\= \frac{\sin2 \alpha \cos4 \alpha (\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha )}{2\sin \frac{3 \alpha + \alpha }{2}\cos \frac{3 \alpha - \alpha }{2} \cdot 2\cos \frac{3 \alpha +5 \alpha }{2} \cos \frac{3 \alpha -5 \alpha }{2} }= \\ =\frac{2\sin2 \alpha \cos4 \alpha \cos^2 \alpha }{4\sin2 \alpha \cos \alpha \cos 4 \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{2} $$
