тождество »

докажите тождество - страница 10

  • Докажите тождество\( \frac{tg ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha }{ctg ^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha } =tg ^{2} \alpha \)


    Решение: $$ \frac{tg^2 \alpha -sin^2 \alpha }{ctg^2 \alpha -cos^2a} =tg^6 \alpha \\ \\ \frac{ \frac{sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha } -sin^2 \alpha }{ \frac{cos^2 \alpha }{sin^2 \alpha } -cos^2a} =tg^6 \alpha \\ \\ \frac{ \frac{sin^2 \alpha -sin^2 \alpha *cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } }{ \frac{cos^2 \alpha -cos^2 \alpha *sin^2 \alpha }{sin^2 \alpha } } =tg^6 \alpha \\ \\ \frac{(sin^2 \alpha -sin^2 \alpha *cos^2 \alpha)*sin^2 \alpha }{(cos^2 \alpha -cos^2 \alpha *sin^2 \alpha)*cos^2 \alpha } =tg^6 \alpha \\ \frac{sin^2 \alpha (1-cos^2 \alpha )sin^2 \alpha }{cos^2 \alpha(1- sin^2 \alpha )cos^2 \alpha } =tg^6 \alpha \\ \\ \frac{sin^2 \alpha*sin^2 \alpha*sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha*cos^2 \alpha*cos^2 \alpha} =tg^6 \alpha \\ \\ \frac{sin^6 \alpha }{cos^6 \alpha } =tg^6 \alpha \\ \\ tg^6 \alpha =tg^6 \alpha $$

  • Докажите тождество
    cos^4a(1+tg^2a)+sin^2a=1


    Решение: 1) Мы раскладываем тангенс в скобках и переносим синус квадрат в правую часть, пользуясь основным триг тождеством $$ 1 - sin^{2}a = cos^{2}a \\ cos^{4}a*(1 + \frac{sin^{2}a}{cos^{2}a} )= cos^{2}a $$
    2) Раскрываем скобки:
    $$ cos^{2} + cos^{2}sin^{2} - cos^{2} = 0 \\ cos^{2}*(cos^{2} + sin^{2} - 1) = 0 $$
    3) По основному триг тождеству $$ sin^{2}a+cos^{2}a = 1 $$
    получается:
    $$ cos^{2}*(1 - 1) = 0 \\ 0 = 0 $$
    чтд

  • Вариант 2
    1. Вычислите: a) cos180°+ 4tg 45°; б) 3 cos π/2 - 2sin π/6
    2. Упростите выражение: а)1- ctgα*cosα*sinα
    3. Найдите sin и tg, если известно, что cos=8/17 и 3π/2<α< 2π.
    4. Упростите выражение:.
    1/ctgα + cosα/1+sinα
    5. Докажите тождество:
    1/cosβ - cosβ = cosβ * tgβ.


    Решение: 1. Вычислите:
    a) cos180°+ 4tg 45°=-1+4*1=3;
    б) 3 cos π/2 - 2sin π/6=3*0-2*1/2=-1
    2. Упростите выражение:
    а)1- ctgα*cosα*sinα=1- cosα*cosα=sin^2(a)
    3. Найдите sin и tg, если известно, что
    cos=8/17 и 3π/2<α< 2π.
    sin=-корень(1-(8/17)^2) = -15/17
    tg = sin/cos=-15/8
    4. Упростите выражение:.
    1/ctgα + cosα/(1+sinα)=sin/cosα + cosα/(1+sinα)=
    =(sin*(1+sinα) + cos^2(α))/ ((1+sinα)cosα)=(sin+1)/ ((1+sinα)cosα)=1/cosα

  • 1. Дано: sinα=-0,6 и π<α<\( \frac{3 \pi }{4} \). Найдите: а) cosα; б) cos(\( \frac{\pi }{3} \)-α).
    2. Дано: cosα=-\( \frac{15}{17} \) и \( \frac{ \pi }{2}\ \ \alpha \ \ \pi \). Найдите: а) sinα; б) sin(\( \frac{ \pi }{3} + \alpha \))
    3. Докажите тождество \( \frac{2sin^{2} \alpha ctg \alpha }{cos^{2} \alpha -sin^{2} \alpha } =tg2 \alpha \)


    Решение: 1)sina=-0.6 a-3 четверть
     sin²a+cos²a=1 0.36+cos²a=1 cos²a=1-0.36=0.64 cosa=+-√0.64=+-0.8
      cosa=-0.8 
     cos(π/3-a)=cosπ/3*cosa+sinπ/3sina=1/2*-0.8+√3/2*-0.6=-4/10-3√3/10=
     =(-4-3√3)/10
    2) cosa=-15/17. a-во второй четверти
      cos²a+sin²a=1 (-15/17)²+sin²a=1 sin²a=1-225/289=64/289
      sina=8/17
      sin(π/3+a)=sinπ/3*cosa+ cosπ/3*sina=√3/2*-15/17+1/2*8/17=
      -15√3/34+8/34=8-15√3)/34

  • Докажите тождество:
    \( sin^{2}( \alpha + \beta )=\\= sin^{2} \alpha +sin^{2} \beta +2sin \alpha sin \beta cos( \alpha + \beta ) \)


    Решение: Левая часть: $$ sin^{2}(a+b)=1-cos^{2}(a+b) \\ 1-cos^{2}(a+b)=sin^{2}a+sin^{2}b+2sina*sinb*cos(a+b) \\ 1=sin^{2}a+sin^{2}b+2sina*sinb*cos(a+b)+cos^{2}(a+b) \\ cos(a+b)*(2sina*sinb+cos(a+b))+sin^{2}a+sin^{2}b=1 $$ - сгруппировали и вынесли общий множитель за скобки
    $$ cos(a+b)*(2sina*sinb+cosa*cosb-sina*sinb)+sin^{2}a+sin^{2}b=1 $$ - в скобках раскрыли формулу суммы аргументов косинуса
    $$ cos(a+b)*(cosa*cosb+sina*sinb)+sin^{2}a+sin^{2}b=1 $$ - привели подобные в скобке
    $$ (cosa*cosb-sina*sinb)*(cosa*cosb+sina*sinb)+sin^{2}a+sin^{2}b=1 $$ - раскрыли формулу суммы аргументов косинуса
    $$ cos^{2}a*cos^{2}b-sin^{2}a*sin^{2}b+sin^{2}a+sin^{2}b-1=0 $$ - воспользовались формулой разности квадратов (свернули)
    $$ sin^{2}a*(1-sin^{2}b)-(1-sin^{2}b)+cos^{2}a*cos^{2}b=0 $$ - сгруппировали и вынесли общий множитель за скобки
    $$ (sin^{2}a-1)*(1-sin^{2}b)+cos^{2}a*cos^{2}b=0 $$ - еще раз вынесли общий множитель за скобки
    $$ -cos^{2}a*cos^{2}b+cos^{2}a*cos^{2}b=0 $$ - выразили квадраты косинусов по основному тригонометрическому тождеству
    $$ 0=0 $$ - верно, тождество доказано

<< < 8910 11 12 > >>