тождество »
докажите тождество - страница 12
Докажите тождество: (z/z-2 - z^2/z^3+8 * z^2+2z/z-2) : 8/z^2-2z+4 + z^2+z+6/4z+8 = 6-z/4z+8
Решение: $$ (\frac{z}{z-2}-\frac{z^2}{z^3+8}*\frac{z^2+2z}{z-2}):\frac{8}{z^2-2z+4}+\frac{z^2+z+6}{4z+8} \\ 1) \frac{z^2}{z^3+8}*\frac{z^2+2z}{z-2}=\\=\frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)}*\frac{z(z+2)}{z-2}=\frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)} \\ \\ 2) \frac{z}{z-2}-\frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\\=\frac{z(z^2-2z+4)-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\\=\frac{z^3-2z^2+4z-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}= \\ \\ =\frac{-2z^2+4z}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\frac{-2z(z-2)}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\frac{-2z}{z^2-2z+4} \\ 3) \frac{-2z}{z^2-2z+4}:\frac{8}{z^2-2z+4}=\frac{-2z}{z^2-2z+4}*\frac{z^2-2z+4}{8}=-\frac{z}{4} \\ \\ 4) -\frac{z}{4}+\frac{z^2+z+6}{4z+8}=\\=\frac{z^2+z+6}{4(z+2)}-\frac{z}{4}=\\= \frac{z^2+z+6-z(z+2)}{4(z+2)}=\\=\frac{z^2+z+6-(z^2+2z)}{4(z+2)} = \\ \\ =\frac{z^2+z+6-z^2-2z}{4(z+2)}=\\=\frac{6-z}{4(z+2)}=\frac{6-z}{4z+8} $$
ответ: тождество верноДокажите тождество: (y^2+9/27-3y^2 + y/3y+9 - 3/y^2-3y): (3y+9)^2/3y^2-y^3= y/9y+27
Решение: $$ (\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}):\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3} \\ 1) \frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}=\frac{y^2+9}{-3(y-3)(y+3)}+\frac{y}{3(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}= \\ \\ =\frac{y}{3(y+3)}-\frac{y^2+9}{3(y-3)(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}= \frac{y^2(y-3)-y(y^2+9)-9(y+3)}{3y(y-3)(y+3)} = \\ \\ =\frac{(y^3-3y^2)-(y^3+9y)-(9y+27)}{3y(y-3)(y+3)} =\frac{y^3-3y^2-y^3-9y-9y-27}{3y(y-3)(y+3)} = \\ \\ =\frac{-3y^2-18y-27}{3y(y-3)(y+3)} =\frac{-3(y+3)^2}{3y(y-3)(y+3)} =-\frac{y+3}{y(y-3)} \\ 2) -\frac{y+3}{y(y-3)}:\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3}=-\frac{y+3}{y(y-3)}:(-\frac{9(y+3)^2}{y^2(y-3)})= \\ \\ =\frac{y+3}{y(y-3)}*\frac{y^2(y-3)}{9(y+3)^2}=\frac{y}{9(y+3)}=\frac{y}{9y+27} $$
ответ: тождество верноДокажите тождество и ОБЪЯСНИТЕ
x^2+14x+48=(x+8)(x+6)
Решение: X²+14x+48=(x+8)(x+6)
Приведём правую часть к левой, для этого раскроем скобки
(x+8)(x+6)=х²+8х+6х+48=х²+14х+48
Правая часть равна левой, тождество доказаноХод решения взять одну часть (левую или правую) тождества и привести ее к виду второй части.
возьмем правую часть и раскроем скобки:
(х+8)(х+6)=х²+8х+6х+48=х²+14х+48
правая часть равна левой, т. е. тождество доказано
можно было взять левую часть и привести ее к правой
Докажите тождество: \( 2) \frac{sin2\alpha - 2cos\alpha}{sin\alpha - sin^2\alpha}= -2ctg\alpha;\\ 4) \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha}{1+cos2\alpha +sin2\alpha}\cdot ctg\alpha =1 \)
Решение: 1) $$ \frac{2sin \alpha cos \alpha -2cos \alpha }{sin \alpha (1-sin \alpha )}=-2ctg \alpha \\ \frac{-2cos \alapha (1-sin \alpha )}{sin \alpha (1-sin \alpha )} =-2ctg \alpha \\ \frac{-2cos \alpha }{sin \alpha } =-2 ctg \alpha \\ -2 ctg \alpha=-2 ctg \alpha $$
2) Используем формулу
$$ cos2 \alpha =1-2sin^2 \alpha =2cos^2 \alpha -1 \\ \frac{2sin^ 2\alpha+2sin \alpha cos \alpha }{2cos^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha } *ctg \alpha =1 \\ \frac{2sin \alpha (sin \alpha +cos \alpha )}{2cos \alpha (cos \alpha +sin \alpha )} *ctg \alpha =1 \\ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } * \frac{cos \alpha }{sin \alpha } =1 \\ 1=1 $$
Докажите тождество \( \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})= \frac{1}{b} \)
Решение: $$ \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})= \frac{1}{b} \\ \\ \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})=\\= \frac{2a-b}{ab} - \frac{1}{a+b} * \frac{a^2-b^2}{ab}=\\= \frac{2a-b}{ab} - \frac{1}{a+b} * \frac{(a+b)*(a-b)}{ab}= \\ \\ =\frac{2a-b}{ab}- \frac{a-b}{ab}= \frac{a}{ab}= \frac{1}{b} $$Докажите тождество
ctgA*sinA-(1-2cos²A)/(sinA-cosA)=cos(3П/2-A)
Решение: ctgA*sinA-(1-2cos²A)/(sinA-cosA)=cos(3П/2-A)(cosA/sinA)*sinA-(sin²A+cos²A-2cos²A)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-(sin²A-cos²A)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-(sinA-cosA)(sinA+cosA)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-sinA-cosA=-sinA
-sinA=-sinA
Докажите тождество:
1) a²+b²=(a+b)²-2ab
2) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²
Решение: 1. Тождество= равенство, значит надо доказать, что одна часть равна другой.
a^2+b^2= a^2+2ab+b^2- 2ab
2ab и -2ab противоположны. Значит они уничтожаются, остается a^2+b^2= a^2+b^2
2. a^2+2ab+b^2- 2ab- 2b^2 = a^2- b^2
Опять же 2ab и -2ab уничтожаются.b^2-2b^2= -b^2
a^2-b^2= a^2-b^2.
Оба примера равны, тождества доказаны.
Докажите тождество:
1).(a^2+4)^2-16a^2=(a+2)^2(a-2)^2
2).(4a+1)^2(4a-1)^2=(16a^2+1)^2-64a^2
Решение: 1) (a^2 + 4)^2 - 16a^2 = (a + 2)^2 * (a - 2)^2
a^4 + 8a^2 + 16 - 16a^2 = (a^2 + 4a + 4) * (a^2 - 4a + 4)
a^ - 8a^2 + 16 = a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 4a^3 - 16a^2 + 16a + 4a^2-16a - 16
a^4 - 8a^2 + 16 = a^ - 8a^2 + 16
a^ - 8a^2 + 16 -a^4 + 8a^2 - 16 = 0
(4a + 1)^2 * (4a - 1)^2 = (16a^2 + 1)^2 - 64a^2
(16a^2 + 8a +1) * (16a^2 - 8a + 1) = 256a^4 + 32a^2 1 - 64a^2
256a^4 - 128a^3 + 16a^2 + 128a^3 - 64a^2 + 8a + 16a^2 -8a + 1 = 256a^4 - 32a^2 + 1
256a^4 - 32a^2 + 1 = 256a^4 - 32a^2 + 1
256a^4 - 32a^2 + 1 -256a^4 + 32a^2 - 1 = 0
Докажите тождество a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)
Решение: a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)a(b²+2bc+c²)+b(c²+2ca+a²) +c(a²+2ab+b²)-4abc = (ab+ac+b²+bc)(c+a)
ab²+2abc+ac²+bc²+2abc+ a²b+a²c+2abc+b²c-4abc = abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²+abc
(2abc+2abc+2abc-4abc) +ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c = (abc+abc)+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²
2abc+ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c = 2abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²
доказано
решаем слева: a(b^2+2ab+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+C(a^2+2ab+b^2)-4abc=ab^2+2ab+ac^2+bc^2+2abc+ a^2b+a^2c+2abc+ b^2c-4abc = ab^2+ac^2+bc^2+a^2b +a^2c+b^2c+2abc
теперь правую часть:2abc+ac^2+b^2c+ +bc^2+a^2b+a^2c+b^2a решая дальше получим 0=0
Докажите тождество и решите уравнения
Решение: 1) ((n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)) /(2*3*4*5)+((n+3)(n+2)n+1)n)/2*3*4=((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n/
/(1*2*3*4*5
((n+3)(n+2)(n+1)n)(n-1+5))/(5!)=((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n)/(5!)
n+4=n+4; 0n=0; n-любое натур число?n+3>5; n>2
n+3>4; n>1; n+4>5; n>1
Ответ. n>2, n-натур число
2) (1*2*.*((2n-3)(2n-2)(2n-1)2n) /(2n-3)!=40*(1*2*3.*(n-1)n) /(n-1)!
(2n-2)(2n-1)2n=40*n
4n^2-6n+2=20
4n^2-6n-18=0; 2n^2-3n-9=0; D=9+72=81=9^2; n1=(3-9)/4=-3/2 постор; n2=(3+9)/4=3
3)7((2n-2)!/(n-2)!(2n-2-n+2)!)=((3(2n-1)!)/((2n-1)!(2n-1-n+1)!
(7(2n-2)!/((n-2)!n!)=(3(2n-1)!/(2n-1)!n!)
умножим на (n-2)!n!) /(2n-2)!
7=3(2n-1)/(n-1); 7(n-1)=3(2n-1)
7n-6n=-3+7; n=4
