докажите тождество - страница 13
Докажите тождество a(a-2)-8=(a+2)(a-4)
Решение: Если тождество верно, то при перенесении правой части в левую будет 0
Раскроем скобки в левой части и получится:
а^2-2a-8=(a+2)(a-4)
в левой части получилось квадратное уравнение решаем его:
D= 4+32=36
a1=2-6/2= -2
a2= 2+6/2 = 4
по формуле разложения на множители получается:
(a+2)(a-4)=(a+2)(a-4)
Докажите тождество x^2 - 12x + 32 = (x - 8)(x - 4)
Решение: x^2 - 12x + 32 = (x - 8)(x - 4)
x^2 - 12x + 32 = x^2 - 8x - 4x + 32
x^2 - 12x + 32 = x^2 - 12x + 32
Докажите тождество \( \frac{1+2cos x +cos2x}{1+cos2x-2cosx}=-ctg^2\frac{x}{2} \)
Решение: 1 + 2cos x + cos 2x = 1 + 2cos x + 2cos^2 x - 1 = 2cos^2 x + 2cos x
1 - 2cos x + cos 2x = 1 - 2cos x + 2cos^2 x - 1 = 2cos^2 x - 2cos x
(1 + 2cos x + cos 2x) / (1 - 2cos x + cos 2x) =
= (1 + 2cos x + 2cos^2 x - 1) / (1 - 2cos x + 2cos^2 x - 1) =
= (2cos^2 x + 2cos x) / (2cos^2 x - 2cos x) = (cos x + 1)/(cos x - 1) =
= - (1 + cos x)/(1 - cos x) = - [1 + 2cos^2(x/2) - 1] / [1 - 1 + 2sin^2(x/2)] =
= - (2cos^2(x/2)) / (2sin^2(x/2)) = - (cos(x/2) / sin(x/2))^2 = -ctg^2 (x/2)
Докажите тождество a(a-2)-8=(a+2)(a-4)
Решение: Преобразуем левую часть, оставив правую без изменения: a^2-2a-8. Разложим квадратный трехчлен на множители, для этого найдем корни трехчлена: а1=4; а2=-2.
Квадратный трехчлен вида ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2);
значит а^2-2a-8=(а-4)(а+2). У нас получилось, что левая часть равна правой, значит заданные выражения тождественны.Докажите тождество:Sin x + cos x +√2= 2√2cos^2(x/2-п/8)
Решение: Sin x + cos x +√2= 2√2cos^2(x/2-п/8)
2√2cos^2(x/2-п/8)=2√2(1+cos(x-pi/4))/2 = √2(1+cos(x-pi/4))=
=√2+√2cos(x)*cos(pi/4)+√2sin(x)*sin(pi/4)) = √2+√2cos(x)*√2/2+√2sin(x)*√2/2 =
= √2+cos(x)+sin(x) - доказано
Докажите тождество
(а+b)(в квадрате)-(а-b)(в квадрате)=4аb
Решение: (а+b)(в квадрате)-(а-b)(в квадрате)=по формуле квадрата двучленаa^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=раскрывая скобки
=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab+b^2=сводя подобные члены
4ab, что и требовалось доказать
(a+b)^2 -(a-b)^2 =4ab В левой части имеем разность квадратов двух выражений
Раскладываем по формуле, получаем
((а+в)-(а-в))(а+в+а+в)=4ав
Раскрываем скобки
2в х 2а= 4ав
4ав=4ав
ч. т. д
Докажите тождество
sinx+cosx+√2=(2√2)cos²(x/2-П/8)
Решение: Cos^2 (Pi/8 - x) - cos^2 (Pi/8 + x) = (cos Pi/8*cos x + sin Pi/8*sin x)^2 - (cos Pi/8*cos x - sin Pi/8*sin x)^2 =
= (cos^2 Pi/8*cos^2 x + 2cos Pi/8*cos x*sin Pi/8*sin x + sin^2 Pi/8*sin^2 x) -
- (cos^2 Pi/8*cos^2 x - 2cos Pi/8*cos x*sin Pi/8*sin x + sin^2 Pi/8*sin^2 x) =
= 4cos Pi/8*cos x*sin Pi/8*sin x = 2sin Pi/8*cos Pi/8 * 2sin x*cos x = sin Pi/4 * sin 2x = V(2)/2 * sin 2x = 1/2
sin 2x = 1/V(2) = V(2)/2
2x1 = Pi/4 + 2Pi*n
2x2 = 3Pi/4 + 2Pi*n
x1 = Pi/8 + Pi*n
x2 = 3Pi/8 + Pi*nДокажите тождество 3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x^3
Решение: 3x(1-2x)(2x+1) = 3x-12x^3
левая часть
3x(1-2x)(2x+1) =3x * - (2x-1)(2x+1) = -3x *(4x^2 -1) =3x-12x^3
после преобразований видно, что правая и левая части одно и тоже выражение
ДОКАЗАНО
Докажите тождество,
A²+b²=(a-b)²+2ab
(a-b)²+(ab+1)²=(a²+1)(b²+1)
Решение: A²+b²=(a-b)²+2ab
Л. Ч.=a²+b²
П. ч.=(a-b)²+2ab=a²-2ab+b²+2ab=a²+b²
Л. ч.=П. ч.
Тождество доказано
(a-b)²+(ab+1)²=(a²+1)(b²+1)
Л. ч.=(a-b)²+(ab+1)²=a²-2ab+b²+a²b²+2ab+1=a²+b²+a²b²+1
П. ч.=(a²+1)(b²+1)=a²b²+a²+b²+1
Л. ч.=П. ч.
Тождество доказано
1. (a-b)^2+2ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2
2. (a-b)^2+(ab+1)^2=(a^2-2ab+b^2)+(a^2b^2+2ab+1)=a^2+1+a^2b^2+b^2=(a^2+1)+b^2(a^2+1)=(b^2+1)(a^2+1)докажите тождество (a+b)2-2*(a+b-1)-1=(a+b-1)^2
Решение: (a+b)²-2*(a+b-1)-1=(a+b-1)²
Л. ч.=(a+b)²-2*(a+b-1)-1=a²+2ab+b²-2a-2b-2+1=a²+2ab+b²-1
П. ч.=(a+b-1)²=((a+b)-1)²=(a+b)²-1²=a²+2ab+b²-1
Л. ч.=П. ч.
Тождество доказано
$$ (a+b)^2-2*(a+b-1)-1=(a+b-1)^2 \\ (a+b-1)*(a+b+1) - 2*(a+b-1)=(a+b-1)^2 \\ (a+b-1)*(a+b+1- 2)=(a+b-1)^2 \\ (a+b-1)*(a+b-1)=(a+b-1)^2 \\ (a+b-1)^2=(a+b-1)^2 $$
Тождество доказано
