тождество »

докажите тождество - страница 15

  • докажите тождество y(x+y)^2/x^4-y^4 + x/ x^2+y^2 = 1/ x-y

    ,

    \( y(x+y)^2/(x^4-y^4) + x/ (x^2+y^2) =\\= 1/ (x-y) \)


    Решение: Подводим все под общий знаменатель (x^4 - y^4)

    Числитель: y*(x+y)^2 + x*(x^2 - y^2) - 1*(x+y)*(x^2 + y^2)

    Знаменатель: x^4 - y^4

    Но теперь можно от знаменателя избавиться, и получится:

    y*(x+y)^2 + x*(x^2 - y^2) - 1*(x+y)*(x^2 + y^2) = 0

    Раскрываем скобки.

    y*(x^2 + 2xy + y^2) + x^3 - xy^2 - 1*(x^3 + xy^2 + x^2y + y^3) = 0

    x^2y + 2xy^2 + y^3 + x^3 - xy^2 - x^3 - xy^2 - x^2y - y^3 = 0

    0=0

    Тождество доказано.

  • докажите тождество a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)²-4abc = (a+b)(b+c)(c+a)


    Решение: Здесь формулы сокращенного умножения.

    a(b^2+2bc+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+c(a^2+2ab+b^2)-4abc=

    ab^2+2abc+ac^2+bc^2+2abc+ba^2+ca^2+2abc+cb^2-4abc=

    ab^2+2abc+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2=ab^2+2abc+c^2(a+b)+a^2(b+c)+cb^2=

    b^2(a+c)+c^2(a+b)+a^2(b+c)+2abc

    А (a+b)(b+c)(c+a)= если перемножать первые две скобки, то = ab+ac+b^2+bc и это умножить на третью скобку, то = (c+a)(ab+ac+b^2+bc)= abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc=

    c^2(a+b)+b^2(c+a)+a^2(b+c)+2abc.

    Эти два выражения равны, то есть

    b^2(a+c)+c^2(a+b)+a^2(b+c)+2abc = c^2(a+b)+b^2(c+a)+a^2(b+c)+2abc то есть = (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)(c+a)

  • Докажите тождество \(\frac{a^3 -4a}{a+3}\cdot(\frac{3a+9}{2+a} - \frac{2a^2+9a+9}{a^2+4a+4})=\frac{a^2+6a+9}{a^2-4}\cdot \frac{a^3-4a^2+4a}{3+a} \)


    Решение: Левая часть
    1)(3a+9)/(2+a)-(2a²+9a+9)/(2+a)2=[(3a+9)(2+a)-2a²-9a-9)/(2+a)²=
    =(6a+18+3a²+9-2a²-9a-9)/(2+a)²=(a²+6a+9)/(2+a)²=(a+3)²/(2=a)2
    2)a(a-2)(a+2)/(a+3)*(a+3)²/(2+a)²=a(a-2)(a+3)/(2+a)
    Правая часть
    (a+3)²/(a-2)(a+2) * a(a-2)²/(a+3)=a(a-2)(a+3)/(a+2)
    a(a-2)(a+3)/(2+a)=a(a-2)(a+3)/(a+2)

    Левая часть a a - a a a a a - a - a- a a a - a - a- a a a a a a a a- a a a a a a- a a Правая часть a a- a a a- a a a- a a a a- a a a a- a a...

  • Докажите тождество (m+n)*(m^2-mn+n^2)=m^3+n^3


    Решение: Просто открываем скобки * * *  
    (m+n)*(m² - mn+n²) =m³-m²n+mn² +nm² -mn²+n³ = m³+n³.
    * * * или обратном порядке * * *
    Используем тождество : (m+n)³ =m³+3m²n+3mn²+n³ = m³+n³ +3mn(m+n) ⇒
    m³+n³ =(m+n)³  - 3mn(m+n) =(m+n)( ((m+n)² - 3mn) =
    (m+n)( (m²+2mn+n² - 3mn)  = m+n)( (m² mn+n²). 

  • Докажите тождество: 1) ab(b-c)+ac(c-b)-a(b²-3bc+c²) = abc; 2) 4a(a+b)-a(3a-4b)-8ab = a²; 3) a(a+2b)+b(a+b) = b(2a+b)+a(a+b); 4) a(b+c-bc)-b(a+c-ac) = (a-b)c


    Решение: ...

  • Докажите тождество:
    1)-a²-(3-2a²)+(7a²-8)-(5+8a²)+16=0
    2)(x³+2x²)-(x+1)-(x²-x)+(4-x³)=x²+3


    Решение: 1) Сначала раскрываем скобки -а^2-3+2а^2+7а^2-8-5-8а^2+16=0
    Затем сокращаем всё, что можно
    И получается, что коэффициент при а^2=0 и все остальные числа сокращаются. В итоге получаем 0=0.
    2) делаем то же самое: х^3+2х^2-х-1-х^2+х+4-х^3. При сокращении икс куб сокращается и остаётся икс квадрат плюс три. В итоге получаем: х^2+3=х^2+3. Что и требовалось доказать.

  • Докажите тождество \((\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) : \frac{ a^{2} + 5a }{1-5a} + \frac{ a^{2}+5 }{a+1} = a-1 \)


    Решение: 1)(a+5)/(5a-1)+(a+5)/(a+1)=(a+5)(a+1+5a-1)/(5a-1)(a+1)=6a(a+5)/(5a-1)(a+1)
    2)6a(a+5)/(5a-1)(a+1) * (1-5a)/a(a+5)=-6/(a+1)
    3)-6/(a+1)+(a²+5)/(a+1)=(-6+a²+5)/(a+1)=(a²-1)/(a+1)=(a-1)(a+1)/(a+1)=a-1

    Вот решение.
    $$ (\frac{a+5}{5a-1} + \frac{a+5}{a+1}) : \frac{ a^{2} + 5a }{1-5a} + \frac{ a^{2}+5 }{a+1} = a-1 \\ \frac{(a+5)(a+1) + (a+5)(5a-1)}{(5a-1)(a+1)} * \frac{1-5a}{a(a+5)} + \frac{ a^{2}+5 }{a+1} = a-1 \\ \frac{(a+5)((a+1)+(5a-1))}{(5a-1)(a+1)} * \frac{(1-5a)}{a(a+5)} + \frac{ a^{2}+5 }{a+1} = a-1 \\ - \frac{a+1+5a-1}{a+1}* \frac{1}{a}+ \frac{ a^{2}+5}{a+1} = a-1 \\ - \frac{6}{a+1}+ \frac{ a^{2}+5 }{a+1}=a-1 \\ \frac{ a^{2}-1}{a+1} =a-1 \\ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)}=a-1 \\ a-1=a-1 $$

  • Докажите тождество (х-у)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)


    Решение: просто открой квадраты: x^2 -2*x*y + y^2 + x^2 + 2*x*y +y^2= 2*x^2+2y^2=2(x^2+y^2) что и требовалось доказать.

     (х-у)²+(x+y)²=2(x²+y²)

    x²-2xy+y²+x²+2xy+y²=2x²+2y²

    2x²+2y²=2x²+2y²

     (х-у)²+(x+y)²=2(x²+y²)

    x²-2xy+y²+x²+2xy+y²=2x²+2y²

    2x²+2y²=2x²+2y²

     (х-у)²+(x+y)²=2(x²+y²)

    x²-2xy+y²+x²+2xy+y²=2x²+2y²

    2x²+2y²=2x²+2y²

  • Докажите тождество

    x^2-12x+32=(x-8)(x-4)


    Решение: D=144-4*32=16

    x1=(12-4)/2=4

    x2=(12+4)/2=8

    по формуле, т. к. ax^2+bx+c=0 => a(x-x1)(x-x2)

    (x-8)(x-4)=(x-8)(x-4)

    тождество доказано

    x^2-12x+32=(x-8)(x-4)

    правая часть:$$ (x-8)(x-4)=x^2-4x-8x+32=x^2-12x+32 $$ 

    x^2-12x+32=x^2-12x+32, чтд.

    Можно доказать, используя правую часть

    x^2-12x+32=0

    $$ \left \{ {{x1+x2=12} \atop {x1*x2=32}} \right.\left \{ {{x1=4} \atop {x2=8}} \right. $$

    x^2-12x+32=(x-4)(x-8)

    (x-4)(x-8)=(x-8)(x-4, чтд 

  • Докажите тождество (a-b)=-(b-a)


    Решение: при вносе знака - в скобку и выносе из её то все числа участвующие в действии в нутри этой скобки меняются местами. Из этого следует, что (a-b) =-(b-a), так как при вносе минуса в скобку получится (a-b)=(a-b).

    (a-b)=-(b-a)

    изменим порядок действий в первой скобке

    (-b+а)=-(b-a)

    вынесем знак минус за скобку

    -(b-а)=-(b-a)

    сравниваем полученное выражение с выражением правой части и сделаем вывод, что обе половины равны

    Тождество доказано

<< < 131415 16 17 > >>